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Algebra Lineal con aplicaciones Traducción: Carlos Manuel Sánchez Trujillo Licenciado en Física Revisión Técnica: Abel Clemente Reyes Ingeniero Mecánico Electricista, UNAM Coordinador de Algebra Lineal, UNAM WILLIAM L. PERRY Texas A & M University McGRAW-HILL MÉXICO ● BOGOTÁ ● BUENOS AIRES ● CARACAS ● GUATEMALA ● LISBOA MADRID ● NUEVA YORK ● PANAMÁ ● SAN JUAN ● SANTIAGO ● SAO PAULO AUCKLAND ● HAMBURGO ● LONDRES ● MILÁN ● MONTREAL ● NUEVA DELHI PARÍS ● SAN FRANCISCO ● SINGAPUR ● ST. LOUIS ● SIDNEY ● TOKIO ● TORONTO Algebra Lineal con aplicaciones Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 1990, respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890 ISBN 968-422-576-8 Traducido de la primera edición en inglés de Elementary Linear Algebra Copyright © MCLXXXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U.S.A. ISBN 0-07-049431-2 1234567890 I.R. —90 9123456780 Impreso en México Printed in México Esta obra se terminó de imprimir en Febrero de 1990 en Impresora Roma, S.A. Tomás Vázquez No. 152 Col. Ampliación Moderna Delegación Benito Juárez 03510 México, D.F. Se tiraron 5 000 ejemplares SEMBLANZA DEL AUTOR Nacido y educado en Missouri, Bill Perry recibió su doctorado de matemáticas en la University of Illinois, Urbana-Champaign, en 1972. Desde entonces tra- baja en la Texas A&M University, donde es actualmente profesor de matemá- ticas. Su investigación se centra en las ecuaciones diferenciales, especialmente las que tienen aplicaciones en la física y en la ingeniería. Ha recibido los pre- mios University y College of Science por su labor docente. Fuera de las horas de trabajo, Perry disfruta su tiempo en actividades con su familia, sobre todo el alpinismo en el Parque Nacional de las Montañas Ro- callosas. A LINDA Prólogo ix Al estudiante xiii 1 SISTEMAS DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA MATRICIAL 1 1.1 Fuentes de las ecuaciones lineales, 1 1.2 Método de eliminación, 11 1.3 Computadoras, errores relacionados con ellas y estrategia en la eliminación gaussiana, 36 1.4 Matrices, 45 1.5 Álgebra matricial, 59 1.6 Determinantes y regla de Cramer para ecuaciones lineales, 80 1.7 Método de la inversa matricial, 96 1.8 Otros dos métodos de cálculo: descomposición LU e iteración de Gauss-Seidel, 112 2 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 131 2.1 Vectores, 131 2.2 Ángulo entre vectores; proyecciones, 141 2.3 Matrices como transformadores del espacio, 149 2.4 Aplicaciones a la geometría analítica, 167 3 ESPACIOS VECTORIALES 179 3.1 Espacio euclidiano En, 179 3.2 Espacios vectoriales, 184 3.3 El problema del subespacio, 195 3.4 Conjuntos de vectores linealmente independientes, 202 3.5 Bases de espacios vectoriales; el problema de la base, 216 3.6 Perpendicularidad en espacios vectoriales, 234 3.7 Reconsideración del problema de la base, 242 3.8 Cambios de base en espacios vectoriales, 253 3.9 Parangón con el cálculo, 266 VIII CONTENIDO 4 TRANSFORMACIONES LINEALES Y SUS MATRICES 277 4.1 Transformaciones lineales, 277 4.2 El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales, 295 4.3 Matrices similares y cambio de base, 307 4.4 Transformaciones invertibles y clasificación de las transformaciones, 314 4.5 Parangón con el cálculo, 327 5 VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y DIAGONALIZACIÓN 337 5.1 Importancia de la similaridad diagonal; aplicación a cadenas de Markov, 337 5.2 El problema de los valores característicos, 344 5.3 Diagonalización de matrices, 362 5.4 Diagonalización: matrices simétricas y hermitianas, 377 5.5 Postcálculo: sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, frecuencias fundamentales y estabilidad, 393 6 CÁLCULO NUMÉRICO DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS, 411 6.1 Estabilidad del problema numérico de valores característicos, 411 6.2 Método de las potencias, 416 6.3 Método QR, 432 7 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 447 7.1 Ejemplos simples, 447 7.2 Reformulación del problema de PL, 454 7.3 Independencia lineal, soluciones accesibles de PL y el algoritmo simplex, 457 APÉNDICES 467 I. Números complejos, 467 II. Principio de la inducción matemática, 471 III. Ajuste de curvas, 473 Respuestas a los problemas de número impar 477 Índice 539 El álgebra lineal, nombre con que se conoce actualmente esta disciplina, cons- tituye una bella estructura matemática; sus partes integrantes son herramientas poderosas para ingenieros, científicos y matemáticos. Los que estudian estas disciplinas llegan al álgebra lineal con una formación común; han aprendido matemáticas resolviendo problemas y estudiando ejemplos. Teniendo presente esta idea, en el libro he tratado de dirigir la atención del lector hacia lo que considero que son los cinco problemas básicos del álgebra lineal: 1. El problema de la solución de las ecuaciones lineales 2. El problema de la construcción de una base para un espacio vectorial 3. El problema de la construcción de una matriz que represente una transfor- mación lineal 4. El problema de los valores y los vectores propios 5. El problema de la diagonalización. Estos problemas le indican al estudiante el camino a seguir y las habilida- des y conocimientos que debe desarrollar en el curso. Como es de esperarse, las soluciones a los cinco problemas básicos dan por resultado los importantes teoremas del álgebra lineal. Éstos se enuncian con precisión y luego se demuestran, excepto cuando rebasan el ámbito del álgebra lineal elemental. Espero que el lector llegue a visualizar la estructura del álge- bra lineal sostenida por esas cinco vigas maestras que son los cinco problemas básicos, cuyos detalles se exponen en los ejemplos, las aplicaciones y los teoremas. He incluido una gran variedad de aplicaciones del álgebra lineal. Sin em- bargo, la mayor parte de ellas se centran en las ciencias y la ingeniería. Presentar aplicaciones puede parecer un poco difícil ya que debe darse una idea exacta

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