Algebra lineal, álgebra multilineal y K-teoría algebraica clásica

190 Pages·2016·0.8 MB·Spanish

by  Lluis-Puebla

A L G E B R A L I N E A L,
A L G E B R A M U L T I L I N E A L
Y
K - T E O R I A
A L G E B R A I C A C L A S I C A
E M I L I O L L U I S - P U E B L A
Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico
2008 Segunda Edici´on: Sociedad Matem´atica Mexicana,
Publicaciones Electrnicas
ISBN 968-9161-31-8 (versi´on en l´ınea)
ISBN 968-9161-32-6 (versi´on en CD)
ISBN 968-9161-33-4 (versi´on en papel)
1997 Primera Edici´on: Sistemas T´ecnicos de Edici´on, S.A. de C.V.
San Marcos, 102. Tlalpan 14000 M´exico, D.F.
(cid:176)c1996 Emilio Lluis-Puebla
Obra compuesta y formada en TEX por Flor de Mar´ıa Aceff S´anchez
Hecho en M´exico.
ISBN 970-629-149-0
Sistemas T´ecnicos de Edici´on
ABCDEFGHIJKL-M 9987
INDICE GENERAL
Prefacio v
Introducci´on 1
Cap´ıtulo I
Conceptos Fundamentales
I.1 Espacios vectoriales y funciones lineales 21
I.2 Subespacios vectoriales 27
I.3 Espacios vectoriales de dimensi´on finita 35
I.4 Aplicaciones 42
I.5 La matriz asociada a una funci´on lineal 47
Cap´ıtulo II
Vectores Caracter´ısticos y Formas Can´onicas
II.1 Valores y vectores caracter´ısticos 55
II.2 Teorema de Cayley-Hamilton 62
II.3 El polinomio m´ınimo 67
II.4 Forma can´onica triangular 70
II.5 Forma can´onica de Jordan 77
iv
Indice general
Cap´ıtulo III
Formas y Operadores
III.1 Formas bilineales 87
III.2 Formas bilineales, sim´etricas, alternantes, cuadr´aticas
y hermitianas 97
III.3 Producto escalar 103
III.4 Operadores adjuntos 109
III.5 El teorema espectral 114
Cap´ıtulo IV
Algebra Multilineal y K-Teor´ıa Algebraica Cl´asica
IV.1 Producto tensorial 121
IV.2 Producto exterior 128
IV.3 Estructuras algebraicas 135
IV.4 K y K 141
0 1
Ap´endice
Notas Hist´oricas 151
Bibliograf´ıa 173
Lista de S´ımbolos 175
Indice Anal´ıtico 177
PREFACIO
La mayor´ıa de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ıs, en
espan˜ol, son traducciones de textos en ingl´es dirigidos a estudiantes de diversas
disciplinas (Psicolog´ıa, Mu´sica, Medicina, etc., para los cuales es obligatorio cur-
sar Algebra Lineal). Por lo tanto, dichos textos no poseen el enfoque que deben
tenerparaestudiantesdelascarrerasdeMatem´aticasoF´ısica,pormencionaralgu-
nas. Los textos en otros idiomas dirigidos exclusivamente a estudiantes de F´ısica o
Matem´atica son escasos y en espan˜ol lo son au´n m´as. Es as´ı que nuestra intenci´on
es la de proveer a los estudiantes de carreras cient´ıficas de un enfoque serio, fun-
damentado y moderno del Algebra Lineal. Hemos incluido el Algebra Multilineal,
tema excluido de los programas usuales pero que nosotros pensamos que es de im-
portancia fundamental, as´ı como la notaci´on que se utiliza en f´ısica para tensores.
No se ha descuidado el aspecto computacional, al contrario, se incluyen diversos
ejercicios de c´alculo expl´ıcito. Sin embargo, han sido incluidos una gran canti-
dad de problemas interesantes que preparan al estudiante para realmente darle la
oportunidad de crear matem´aticas. Todos ellos se resuelven utilizando el material
expuesto. Comoconsecuenciadeltrabajoderesolverlos,lebrindanalestudiantela
oportunidad de redactar matem´aticas.
Suponemos que el lector est´a familiarizado con algunos de los temas b´asicos del
Algebra Superior, es decir, que ya conoce y maneja estructuras algebraicas como
IN, QI, IR, CI , CI [x], la definici´on de campo, y ha trabajado num´ericamente con
matrices,determinantesysistemasdeecuacioneslineales. Esconvenientequehaya
conocido los espacios vectoriales IRn sobre el campo IR.
Este libro est´a disen˜ado para un curso de un an˜o (dos semestres, estudiando los
cap´ıtulosIyIIenelprimeroyloscap´ıtulosIIIyIVenelsegundo;obien,haciendo
vi
Prefacio
modificaciones adecuadas, como por ejemplo, el cap´ıtulo I, II.1, II.2, II.3 y III.3 en
el primer semestre y el resto en el segundo).
En la Introducci´on se presenta un panorama del presente texto. Obviamente no
sepretendequeellectorquenoconozcaeltemapuedacomprenderloqueenellase
expone. Al contrario, conforme el lector avance en el estudio, podr´a regresar a ella
y obtener una visi´on global del Algebra Lineal incluida en esta obra. Las refencias
sin nu´meros romanos indican resultados del cap´ıtulo en consideraci´on.
Hemos incluido un ap´endice que contiene notas hist´oricas sobre algunos de los
conceptos definidos en el texto. Tiene como finalidad la de motivar el estudio del
AlgebraLinealatrav´esdelan´alisisdelasideasquedieronlugaradichosconceptos
y del conocimiento de quienes contribuyeron a ellos. No est´a disen˜ado para una
lecturacontinua,m´asbien,loest´aparaserconsultadoconformeellectorencuentre
los conceptos en cada secci´on. Organizamos el ap´endice de acuerdo al orden de las
secciones indicadas con una A antepuesta.
Durante varios an˜os he impartido cursos basados en el material aqu´ı incluido a
alumnos de licenciatura, a quienes agradezco su atenci´on y sus oportunos comen-
tarios.
Delmismomodo,deseoagradeceravariosdemiscolegas,entreellosMar´ıaElena
Garc´ıayMaryGlazmanelhaberutilizadoversionespreliminaresensuscursos;muy
especialmente a mi padre, Emilio Lluis Riera por haber hecho importantes comen-
tarios, sugerencias y correcciones al haber utilizado el texto varios an˜os. Tambi´en,
mimayoragradecimientoamiesposaFlordeMar´ıaAceff,quienadem´asdehaberlo
utilizado en sus cursos, hecho numerosas correcciones y proporcionado agradables
conversacionessobreellibro,realiz´olaformaci´onycomposici´onenelsistemaTE X
de las mu´ltiples versiones preliminares. Sin embargo, cualquier falta u omisi´on es
exclusivamente m´ıa.
Igualmente, agradezco a Mar´ıa de Jesu´s Figueroa el haber escrito las notas
hist´oricas como consecuencia de su largo estudio de investigaci´on para realizar su
tesis doctoral y a Alejandro Garciadiego a quien agradecemos el asesoramiento
experto para la realizaci´on de dichas notas.
Finalmente, agradezco a Rosa Quintana la captura preliminar del texto. Este
libro, producto de varios an˜os de trabajo, se elabor´o durante su fase final bajo el
auspicio del CONACYT a trav´es de una C´atedra Patrimonial.
Emilio Lluis Puebla
vii
Prefacio
PREFACIO (SEGUNDA EDICION)
Este libro cumple ya m´as de diez an˜os de ser utilizado exitosamente como texto
sobre la materia en diversas universidades del Continente Americano, incluyendo
algunasuniversidadesdeEstadosUnidosdeNorteam´ericay,desdeluego,enM´exico.
He tenido el gusto de ofrecer conferencias en muchas universidades de Cen-
troam´erica y Sudam´erica donde me he encontrado con colegas, que llevan mi libro
como texto. Me han solicitado una nueva edici´on pues la anterior es imposible
de conseguir. Esta nueva edici´on, donde he corregido algunos errores tipogr´aficos
y atendido nuevas ideas o sugerencias que al trav´es de los an˜os me he hecho y
han hecho mis propios alumnos (a quienes mucho agradezco), la he incluido dentro
de las Publicaciones Electr´onicas de la Sociedad Matem´atica Mexicana mostrando
(como matem´atico y Editor Ejecutivo de las mismas) la confianza en este tipo de
publicaci´on. E´ste tiene una excelente accesibilidad, as´ı como un nulo costo, que
de no ser as´ı, resultar´ıa elevado para los estudiantes y colegas de muchos lugares.
Las Publicaciones Electr´onicas de la Sociedad Matem´atica Mexicana tienen acceso
libre en l´ınea, pueden copiarse en el ordenador o imprimirse en papel para uso
personal. Adem´as, el lector podr´a adquirir las publicaciones en CD o impresas en
papel empastado.
Primavera de 2008 Emilio Lluis-Puebla

INTRODUCCION
Siempre que se habla de alguna rama de la Matem´atica se establecen los objetos
deestudio. Losobjetosqueestudiaremosser´anlosespaciosvectoriales(quesonun
caso especial de los m´odulos). Sea K un campo. Diremos que el conjunto V junto
con la operaci´on binaria + y acci´on µ de K en V forman un espacio vectorial
sobre un campo K si bajo +, V es un grupo abeliano, µ distribuye tanto a la
sumadeelementosdeV comoalasumadeelementosdeK,laacci´ondelproducto
de dos elementos de K es igual a uno de ellos por la acci´on del otro y finalmente,
la acci´on del elemento unitario de K en V es trivial.
Los elementos de V se llaman vectores, los del campo K se llaman escalares
y la acci´on µ se llama multiplicacio´n escalar. Kn, K[x] y el conjunto de las
matrices de m×n con elementos en K denotado con M K son ejemplos de
m×n
espacios vectoriales.
¿C´omorelacionamosdosespaciosvectorialessobreuncampoK? As´ıcomoalos
conjuntos los podemos relacionar mediante funciones, a los espacios vectoriales los
relacionaremos mediante funciones que preservan la estructura de espacio vectorial
llamadas homomorfismos o funciones lineales (o aplicaciones o transforma-
ciones lineales). Entonces, si U y V son espacios vectoriales sobre un campo K,
f:U −→ V es un homomorfismo o funci´on lineal si f(u+v) = f(u)+f(v) y
adem´as f(αv) = αf(v); α ∈ K; u, v ∈ U. Resulta que la composici´on de homo-
morfismos es un homomorfismo. Se dice que una funci´on lineal f:U −→ V es un
isomorfismo si existe una funci´on g:V −→ U tal que g ◦f = 1 y f ◦g = 1 .
U V
Es un hecho el que si dicha g existe, es lineal, est´a determinada en forma u´nica, se
2
Introducci´on
denotaconf−1 ysellamainversadef. Siexisteunisomorfismoentredosespacios
vectoriales U y V se dice que los espacios son isomorfos y escribimos U ∼=V.
Si K es un campo, el conjunto de homomorfismos o funciones lineales de U en
V lo denotamos con Hom (U,V) (o con L(U,V), A(U,V)). Le podemos dar una
K
estructuradeespaciovectorialsobreK. UnagranpartedelAlgebraLinealconsiste
del estudio de este espacio vectorial.
Dada una funci´on lineal f:U −→ V entre espacios vectoriales sobre un campo
K podemos considerar su nu´cleo, es decir, el conjunto de todos los elementos
de U cuya imagen es el cero de V, denotado con ker f. Podemos considerar
la imagen de f, es decir, el conjunto de los elementos de V que provienen de
elementos de U, denotado con imf. Tambi´en podemos considerar subespacios de
unespaciovectorial. Estossonsubconjuntostalesqueelcerodelespaciopertenece
al subconjunto y este u´ltimo es cerrado bajo la suma y multiplicaci´on escalar.
Sucede lo esperado: la imagen bajo una funci´on lineal de un subespacio es un
subespacio; la imagen inversa de un subespacio bajo una funci´on lineal es un sub-
espacio; en particular, el nu´cleo y la imagen de una funci´on lineal son subespacios
(de donde deben serlo).
La suma de dos subespacios U y V de W, denotada U +V, es el conjunto de
todas las sumas u+v donde u ∈ U y v ∈ V. Se dice que W es suma directa
interna de U y V si todo elemento de W puede escribirse en forma u´nica como
suma de uno de U y uno de V y escribimos W =U⊕V. Podemos definir la suma
directa externa de espacios vectoriales {V }n sobre un campo K y la denotamos
i i=1
con ⊕n V como el espacio vectorial cuyos elementos son listas ordenadas de la
i=1 i
forma (v ,...,v ) con las operaciones usuales de suma y multiplicaci´on escalar. Si
1 n
un espacio vectorial V es suma directa interna de subespacios de V entonces es
isomorfo a la suma directa externa de los mismos subespacios. En vista de esto
u´ltimo hablaremos de la suma directa.
Un espacio vectorial es suma directa de dos subespacios si, y s´olo si, es suma
de ellos y su intersecci´on es vac´ıa. La suma directa posee la siguiente propiedad
importante llamada universal: si ϕ :V −→ V son funciones lineales de espacios
j j
vectoriales e ı : V −→ ⊕V son las inclusiones para i ∈ I = {1,...,n}, entonces
j j i
existe una funci´on lineal u´nica ϕ : ⊕n V −→ V tal que ϕ ◦ ı = ϕ , j ∈ I.
i=1 i j j