Algebra [Lecture notes]

99 Pages·2013·0.507 MB·German

by  Eva Zerz

Algebra
Eva Zerz
Lehrstuhl D fu¨r Mathematik
RWTH Aachen
WS 2012/13

Inhaltsverzeichnis
1 Galois-Theorie 1
1.1 Zerf¨allungsk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Normale K¨orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Separable K¨orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Perfekte K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Galois-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Hauptsatz der Galois-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Hauptsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Der algebraische Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Diskriminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Gruppentheorie 37
2.1 Kommutatorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Kompositionsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Der Satz von Jordan-H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Au߬osbarkeit durch Radikale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Nilpotente Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Ringtheorie 57
3.1 Schiefpolynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Matrixringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Quotientenk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Kreisteilungspolynome und -k¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Schiefk¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Moduln u¨ber Hauptidealbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7 Jacobson-Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8 Halbeinfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9 Der Satz von Artin-Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.10 Lokale Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Kapitel 1
Galois-Theorie
Dieses Kapitel baut auf dem Kapitel K¨orpertheorie der Vorlesung Computeral-
gebra auf.
Wiederholung
Ist K ein Teilk¨orper des K¨orpers L, so nennt man L einen Erweiterungsk¨orper
von K und schreibt: L|K ist eine K¨orpererweiterung.
α ∈ L algebraisch u¨ber K ⇔ ∃0 (cid:54)= f ∈ K[x] : f(α) = 0
L|K algebraisch ⇔ ∀α ∈ L : α ist algebraisch u¨ber K
L|K endlich ⇔ dim (L) < ∞
K
Man nennt dim (L) den Grad der K¨orpererweiterung L|K.
K
Gradsatz: M|L|K K¨orpererweiterungen ⇒ dim (M) = dim (L)·dim (M)
K K L
Ist α ∈ L algebraisch u¨ber K, so ist K(α)|K eine endliche K¨orpererweiterung,
deren Grad durch den Grad des Minimalpolynoms µ ∈ K[x] von α gegeben ist.
α
Minimalpolynome sind irreduzibel.
L|K endlich ⇒ L|K algebraisch, aber ⇐(cid:54)
0 (cid:54)= f ∈ K[x] zerf¨allt u¨ber L (in Linearfaktoren) ⇔ f = lk(f)(cid:81)d (x−α ) mit
i=1 i
α ∈ L
i
1
2 KAPITEL 1. GALOIS-THEORIE
1.1 Zerf¨allungsk¨orper
Sei K ein K¨orper und f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad ≥ 1. Sei L|K eine
K¨orpererweiterung (KE). Man nennt L einen Wurzelk¨orper von f, wenn ein
α ∈ L existiert mit f(α) = 0. Ein Wurzelk¨orper L von f heißt minimal,
wenn es keinen Wurzelk¨orper K ⊆ M (cid:40) L von f gibt. Man nennt L einen
Zerf¨allungsk¨orper von f, wenn f u¨ber L zerf¨allt und L minimal ist mit dieser
Eigenschaft, d.h., es gibt keinen K¨orper K ⊆ M (cid:40) L so, dass f u¨ber M zerf¨allt.
Hilfssatz 1.1 Sei K ein K¨orper und f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad ≥ 1.
1. Es gibt minimale Wurzelk¨orper von f.
2. Ein minimaler Wurzelk¨orper von f hat die Form L = K(α) mit f(α) = 0.
3. Ist f irreduzibel, so sind zwei minimale Wurzelk¨orper von f als K-Algebren
(also sowohl als Ringe als auch als K-Vektorr¨aume) isomorph.
Beweis: 1. Sei f ein irreduzibler Teiler von f. Dann ist L = K[x]/(cid:104)f (cid:105) ein
1 1
Erweiterungsk¨orper von K, der eine Nullstelle von f enth¨alt (n¨amlich x¯). Also
ist L ein Wurzelk¨orper von f und ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Ein
Dimensionsargument zeigt die Existenz eines minimalen Wurzelk¨orpers von f.
2. Sei L ein minimaler Wurzelk¨orper von f. Dann gilt L ⊇ K und L (cid:51) α, wobei α
eine Nullstelle von f ist. Da L ein K¨orper ist, folgt L ⊇ K(α). Da K(α) ebenfalls
ein Wurzelk¨orper von f ist, liefert die Minimalit¨at von L, dass L = K(α).
3. Sei f irreduzibel und oBdA normiert. Dann ist f das Minimalpolynom jeder
seinerNullstellen.SeienL = K(α )zweiminimaleWurzelk¨orpervonf.Danngilt
i i
∼ ∼
dank Einsetzungshomomorphismus und Homomorphiesatz L = K[x]/(cid:104)f(cid:105) = L .
1 2
(cid:3)
Beispiele: (i) Sei K = F und f = x16−x = x14 + ... + x + 1. Dann hat f
2 x(x−1)
den irreduziblen Faktor f = x4 +x+1 und L = F [x]/(cid:104)f (cid:105) = F ist demnach
1 2 1 16
ein Wurzelk¨orper von f. Aber L ist nicht minimal, denn L enth¨alt den echten
Teilk¨orper M = {0,1,x¯2 +x¯,x¯2 +x¯ +1}, der ebenfalls ein Wurzelk¨orper von f
ist (denn alle Elemente von L\{0,1} sind Nullstellen von f).
√ √
(ii) Das irreduzible Polynom f = x4 −2 ∈ Q[x] hat die Nullstellen ± 4 2, ±i 4 2
√ √
in C. Es sind Q( 4 2) und Q(i 4 2) zwei verschiedene (aber isomorphe) minimale
Wurzelk¨orper von f.
1.1. ZERFA¨LLUNGSKO¨RPER 3
Bemerkung: Ein K¨orperhomomorphismus φ : K → K kann zu einem Ringho-
1 2
momorphismus φˆ : K [x] → K [x] fortgesetzt werden, indem man φˆ((cid:80)a xi) :=
1 2 i
(cid:80)φ(a )xi setzt.
i
Hilfssatz 1.2 Sei φ : K → K ein K¨orperisomorphismus, f ∈ K [x] ein irre-
1 2 1 1
ˆ
duzibles Polynom und f := φ(f ) ∈ K [x]. Sei L ein minimaler Wurzelk¨orper
2 1 2 i
∼
von f . Dann l¨asst sich φ zu einem K¨orperisomorphismus L = L fortsetzen.
i 1 2
Bemerkung: Teil 3 des vorigen Hilfssatzes ergibt sich als Spezialfall K = K =
1
K , φ = id, f = f = f .
2 1 2
Beweis: Sei L = K(α ). Da f irreduzibel und oBdA normiert ist, gilt dies
i i 1
auch fu¨r f . Also ist f das Minimalpolynom von α und dank Einsetzungshomo-
2 i i
∼ ∼ ∼
morphismus und Homomorphiesatz folgt K (α ) = K [x]/(cid:104)f (cid:105) = K [x]/(cid:104)f (cid:105) =
1 1 1 1 2 2
K (α ). (cid:3)
2 2
Sei K ein K¨orper und f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad d ≥ 1. Laut Satz CA-3.16
gibt es eine endliche KE L|K so, dass f u¨ber L zerf¨allt. Dies folgt durch Induk-
tion u¨ber d aus der Existenz von Wurzelk¨orpern. Wieder kann man mit einem
Dimensionsargumentzeigen,dassesauchminimaleK¨orpermitdieserEigenschaft
geben muss. Also gibt es Zerf¨allungsk¨orper von f.
Satz 1.3 Ist φ : K → K ein K¨orperisomorphismus, L Zerf¨allungsk¨orper eines
1 2 1
ˆ
Polynoms f ∈ K [x] und L Zerf¨allungsk¨orper von f := φ(f ) ∈ K [x], so l¨asst
1 1 2 2 1 2
∼
sich φ zu einem K¨orperisomorphismus L = L fortsetzen.
1 2
Beweis: Wir zeigen die Aussage durch Induktion u¨ber n = dim (L ). Fu¨r n = 1
K1 1
gilt L = K , also zerf¨allt f u¨ber K . Aber dann zerf¨allt auch f u¨ber K , also
1 1 1 1 2 2
∼
ist L = K . Es folgt L = L . Sei die Aussage fu¨r alle m < n gezeigt und
2 2 1 2
n = dim (L ) > 1. Sei g ein irreduzibler normierter Teiler von f vom Grad
K1 1 1 1
ˆ
> 1 und g := φ(g ). Sei K (α ) ⊆ L ein minimaler Wurzelk¨orper von g . Laut
2 1 i i i i
∼
Hilfssatz gilt K (α ) = K (α ). Weiter gilt laut Gradsatz (CA-3.8)
1 1 2 2
n = dim (L ) = dim (K (α ))·dim (L ),
K1 1 K1 1 1 K1(α) 1
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
=grad(g1)>1
also dim (L ) < n. Es ist L ein Zerf¨allungsk¨orper von f ∈ K (α )[x]. Per
K1(α) 1 i i i i
Induktionsannahme folgt L ∼= L . (cid:3)
1 2
Folgerung 1.4 Sei K ein K¨orper und f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad ≥ 1.
Zwei Zerf¨allungsk¨orper von f sind als K-Algebren isomorph.
4 KAPITEL 1. GALOIS-THEORIE
Beweis: Dies folgt als Spezialfall K = K = K , φ = id, f = f = f des vorigen
1 2 1 2
Satzes. (cid:3)
Bemerkung: Sei L ein Zerf¨allungsk¨orper von f ∈ K[x] \ K. Dann ist f =
f
lk(f)(cid:81)d (x − α ) mit α ∈ L . Somit gilt L ⊇ K(α ,...,α ). Aber f zerf¨allt
i=1 i i f f 1 d
auch u¨ber K(α ,...,α ), also gilt wegen der Minimalit¨at von L , dass L =
1 d f f
K(α ,...,α ). Man bezeichnet K(α ,...,α ) als “den” Zerf¨allungsk¨orper von f.
1 d 1 d
Es ist {α ,...,α } die Menge der Nullstellen von f (in L ).
1 d f
Beispiele: Sei L der Zerf¨allungsk¨orper eines irreduziblen Polynoms f ∈ K[x].
f
Laut CA-U¨8A4 gilt n | dim (L ) | n!, wobei n = grad(f). Laut CA-U¨11A3 gilt
K f
fu¨r endliches K, dass n = dim (L ). Im Allgemeinen kann man aber nur sagen:
K f
n = 2 ⇒ dim (L ) = 2
K f
n = 3 ⇒ dim (L ) ∈ {3,6}
K f
n = 4 ⇒ dim (L ) ∈ {4,8,12,24} etc.
K f
• Sei f = x3+px+q ∈ K[x] irreduzibel. Der Ansatz f = (x−α )(x−α )(x−α )
1 2 3
fu¨hrt durch Koeffizientenvergleich auf
α +α +α = 0, α α +α α +α α = p, α α α = −q.
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
Setze δ := (α −α )(α −α )(α −α ). Behauptung: Es gilt d := δ2 = −4p3−27q2.
1 2 1 3 2 3
Das kann man umst¨andlich per Hand oder bequem mit Gr¨obner-Basen (GB)
nachrechnen: Betrachte das Ideal I ⊆ K[α ,α ,α ,δ,p,q], das von
1 2 3
α +α +α ,α α +α α +α α −p,α α α +q,(α −α )(α −α )(α −α )−δ
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
erzeugt wird und weise nach, dass δ2+4p3+27q2 ∈ I. Das Element d ∈ K heißt
Diskriminante von f. (Man beachte die Parallele zum quadratischen Polynom
f = x2 + px + q = (x − α )(x − α ) mit der klassischen Diskriminante d =
1 2
p2 −4q = (α −α )2.)
1 2
Es gilt: dim (L ) = 3 ⇒ d ist ein Quadrat (d.h., d = k2 mit k ∈ K).
K f
Ist K ein K¨orper der Charakteristik Null, so gilt auch die Umkehrung.
Ist d kein Quadrat, so gilt δ ∈/ K. Da aber δ2 = d ∈ K, folgt dim (K(δ)) = 2. Da
K
δ ∈ L , ist K ⊆ K(δ) ⊆ L und der Gradsatz liefert, dass dim (L ) gerade sein
f f K f
muss. Also dim (L ) = 6. Ist d ein Quadrat, so gilt δ ∈ K. Wegen char(K) = 0
K f
folgtausderIrreduzibilit¨atvonf,dassdieα paarweiseverschiedensind(mithilfe
i
von Satz CA-4.9). Also gilt δ (cid:54)= 0. Mit GB-Methoden kann man zeigen, dass
2δα +6α2p−9α q +α δ +4p2 ∈ I.
2 1 1 1
Also ist α = −6α21p−9α1q+α1δ+4p2 ∈ K(α ) und somit ist K(α ) bereits der Zer-
2 2δ 1 1
f¨allungsk¨orper von f. Es folgt dim (L ) = grad(f) = 3.
K f
1.2. NORMALE KO¨RPERERWEITERUNGEN 5
• Fu¨r f = x3−3x+1 ∈ Q[x] ist d = 81 eine Quadratzahl, also ist dimQ(Lf) = 3.
Es gilt α2 = α12 −2. Fu¨r f = x3 −2 ∈ Q[x] ist d = −108, also ist dimQ(Lf) = 6.
(Siehe CA-S56.)
√ √ √ √
• f = x4−10x2+1 ∈ Q[x] hat die Nullstellen ± 2± 3 in C. Sei α = 2+ 3.
U¨ber Q(α) zerf¨allt f in f = (x−α)(x+α)(x−α3+10α)(x+α3−10α). Also ist
√ √
Lf = Q( 2+ 3) der Zerf¨allungsk¨orper von f. Es gilt dimQ(Lf) = 4.
(Siehe CA-U¨8A3.)
√ √ √
• f = x4 − 2 ∈ Q[x] hat die Nullstellen ± 4 2, ±i 4 2 in C. Sei α = 4 2. U¨ber
√
Q(α) zerf¨allt f in f = (x − α)(x + α)(x2 + α2). Daher ist L = Q( 4 2,i) der
f
Zerf¨allungsk¨orper von f. Es gilt dimQ(Lf) = 8.
• f = x4+3x2−7x+4 ∈ Q[x] hat keine reellen Nullstellen. Sei α eine Nullstelle.
U¨ber Q(α) zerf¨allt f in f = (x−α)g mit g = x3+αx2+(α2+3)x+α3+3α−7.
Die Substitution x = y − α/3 liefert g = y3 + (2a2 + 3)y + 20a3 + 2a − 7. Die
3 27
Diskriminante von g ist d = 168α3 +28α2 +420α −1239. Es ist d ein Quadrat
in Q(α), n¨amlich von δ = 12α3+12α2+46α−45. Also gilt dim (L ) = 3. Da
Q(α) g
andererseits dim (Q(α)) = 4, folgt dim (L ) = 12.
Q Q f
• f = x4 +x+1 ∈ Q[x] hat keine reellen Nullstellen. Sei α eine Nullstelle. U¨ber
Q(α) zerf¨allt f in f = (x − α)g mit g = x3 + αx2 + α2x + α3 + 1. Hier ist die
Diskriminante kein Quadrat, also dim (L ) = 6. Es gilt daher dim (L ) = 24.
Q(α) g Q f
Grob gesprochen untersucht die Galois-Theorie die Beziehungen zwischen den
Nullstellen eines Polynoms. Offenbar sind Zerf¨allungsk¨orper dabei wichtig. Eine
erste Frage lautet: Welche K¨orper treten u¨berhaupt als Zerf¨allungsk¨orper auf?
1.2 Normale K¨orpererweiterungen
Eine KE L|K heißt normal, wenn es zu jedem α ∈ L ein 0 (cid:54)= f ∈ K[x] mit
f(α) = 0 gibt, das u¨ber L zerf¨allt.
Beobachtungen: (i) L|K normal ⇒ L|K algebraisch
(ii) Sei L|K eine algebraische KE. Dann gilt:
L|K normal ⇔ ∀α ∈ L: µ ∈ K[x] zerf¨allt u¨ber L.
α
(Dabei ist “⇐” klar, und “⇒” folgt, da jedes f ∈ K[x] mit f(α) = 0 Vielfaches
von µ ist. Wenn f zerf¨allt, dann auch µ .)
α α
6 KAPITEL 1. GALOIS-THEORIE
Beispiele: (i) K|K ist normal.
√ √
(ii) L = Q( 2) ist normal u¨ber K = Q, denn zu jedem a + b 2 mit a,b ∈ Q
√ √
zerf¨allt f = (x−a−b 2)(x−a+b 2) = x2 −2ax+a2 −2b2 ∈ Q[x] u¨ber L.
√
(iii) L = Q( 3 2) ist nicht normal u¨ber K = Q, denn das Minimalpolynom von
√
α = 3 2 ist µ = x3 − 2 ∈ Q[x]. Das Polynom µ hat nur eine reelle Nullstelle
α α
(n¨amlich α), zerf¨allt also nicht u¨ber L ⊆ R.
Hilfssatz 1.5 (weitere Beispiele fu¨r normale KE)
1. Jede quadratische KE (d.h., jede KE vom Grad 2) ist normal.
2. Ist L|K eine KE endlicher K¨orper, so ist L|K normal.
Beweis: 1. Sei dim (L) = 2 und α ∈ L. Ist α ∈ K, so zerf¨allt µ = x−α ∈ K[x].
K α
Ist α ∈/ K, so hat µ den Grad 2. Da µ eine Nullstelle bei α ∈ L hat, folgt
α α
µ = (x−α)g fu¨r ein g ∈ L[x]. Dann muss g ein Polynom vom Grad 1 sein, was
α
zeigt, dass µ zerf¨allt.
α
2. Sei |L| = q und α ∈ L. Das Polynom f = xq −x ∈ K[x] hat α als Nullstelle
und zerf¨allt u¨ber L (laut Satz CA-3.14). (cid:3)
Bemerkung: Ein alternativer Beweis von Teil 2 ergibt sich aus CA-U¨11A3: Ist
L|K eine KE endlicher K¨orper und α ∈ L, so zerf¨allt µ ∈ K[x] u¨ber K(α), also
α
erst recht u¨ber L. Genauer sind die Nullstellen von µ gerade α,αq,...,αqn−1,
α
wobei q = |K| und n = grad(µ ). Es ist K(α) der Zerf¨allungsk¨orper von µ .
α α
√
Dies gilt bei unendlichen K¨orpern nicht, z.B. ist Q( 3 2) wie oben gesehen nicht
der Zerf¨allungsk¨orper von x3 −2 ∈ Q[x].
Satz 1.6 Sei L|K eine endliche KE. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent:
1. L|K ist normal.
2. Wenn ein irreduzibles Polynom f ∈ K[x] eine Nullstelle in L hat, dann
zerf¨allt es u¨ber L.
3. Fu¨r jede KE M|L und jeden K-Algebren-Homomorphismus φ : L → M gilt
φ(L) ⊆ L.