Algebra [Lecture notes]

134 Pages·2007·1.355 MB·German

by  Hans-Jürgen Schneider

Algebra
LMU München, 2003/2004, Prof. Dr. Hans-Jürgen Schneider
Gehört und geLATEXt von Lukas-Fabian Moser
Erzeugt am 6. Januar 2007
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung und historische Bemerkungen 5
0.1 Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3 Algebraische Zahlen und klassische Probleme der Geometrie . . . . . . . . 18
1 Gruppen, Ringe, Moduln 34
1.1 Restklassenbildung bei Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2 Zyklische Gruppen und die Existenz von Primitivwurzeln modulo p . . . . 43
1.3 Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Faktorielle Ringe, insbesondere euklidische und Hauptidealringe . . . . . . 60
1.5 Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.6 Irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.7 Kreisteilungskörper und das quadratische Reziprozitätsgesetz . . . . . . . 75
2 Körpertheorie 78
2.1 Der Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 Galoiserweiterungen als Zerfällungskörper separabler Polynome . . . . . . 92
2.3 Endliche Körper und separable Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Die Kreisteilungsgleichung und reine Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5 Auflösbare Gruppen und auflösbare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Galoisgruppen als Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.7 Symmetrische Funktionen und allgemeine Gleichung . . . . . . . . . . . . 119
3 Fortsetzung der Gruppentheorie 121
3.1 Sylowsche Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 Gruppen der Ordnung pq mit p,q prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3
3.4 Hauptzsatz über endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen . . . . . 125
4 Fortsetzung der Ringtheorie 127
4.1 Ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 HilbertscherBasissatz,HilbertscherNullstellensatzundalgebraischeMen-
gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Berechnung der Galoisgruppe mod p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 Fortsetzung der Modultheorie 131
5.1 Satz von Krull-Remak-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Weitere Themen: Jacobson-Radikal, halbeinfache Ringe und Moduln . . . 131
0.1 Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Kapitel 0
Einleitung und historische
Bemerkungen
0.1 Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
WirnehmenalsgegebendienatürlichenZahlenN = {0,1,2,3,...},dieenthaltensindin
der Menge der ganzen Zahlen Z = {0,±1,±2,...}. Letztere bilden einen kommutativen
Ring, in dem es die Division mit Rest gibt: für alle a,b ∈ Z mit b 6= 0 gibt es eindeutig
bestimmte q,r ∈ Z, so daß a = bq+r und 0 6 r < |b| ist.
Definition.
1. Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊂ R heißt Ideal von R, in Zeichen: I C R,
wenn sie Untergruppe der additiven Gruppe von R ist und außerdem für alle x ∈ I
und alle r ∈ R gilt: rx,xr ∈ I.
2. Für einen Ring R bezeichnet U(R) := {r ∈ R|∃s ∈ R : rs = 1 = sr} die Menge
der invertierbaren Elemente von R. (U steht für „Units“.)
3. Es sei nun R ein kommutativer Ring. Ein Ideal I C R heißt Hauptideal, wenn es
ein a ∈ R gibt mit I = Ra := {ra|r ∈ R}. R heißt Hauptidealring, wenn jedes
Ideal von R ein Hauptideal ist.
0.1.1 Satz. Z ist ein Hauptidealring.
Beweis. Es sei 0 6= I C Z ein Ideal. Dann gibt es ein x ∈ I mit 0 6= x, und wegen
±x ∈ I existiert n = min{x ∈ I|x > 0}. Wir zeigen I = nZ: die Inklusion ⊃ ist klar, da
n ∈ I ist; es sei also umgekehrt a ∈ I. Nach der Division mit Rest gibt es a,r ∈ Z mit
0 6 r < n und a = qn+r. Damit ist r = a−qn ∈ I, und wegen der Minimalität von n
muß r = 0 sein, also a = qn ∈ nZ.
Definition. Es seien a,b ∈ Z. Man sagt, b teilt a, in Zeichen: b | a, wenn es ein c ∈ Z
gibt mit a = bc. Die Negation (b teilt a nicht) notiert man als b - a.
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Algebra
Es sei weiter d ∈ Z. Man sagt, d sei ein größter gemeinsamer Teiler von a und b, in
Zeichen: d = ggT(a,b), wenn gilt: d | a, d | b, und für jedes d0 ∈ Z mit d0 | a und d0 | b
folgt bereits d0 | d.
0.1.2 Bemerkung. Es seien a,b ∈ Z.
1. Es gilt b | a genau dann, wenn Za ⊂ Zb ist.
2. Es ist U(Z) = {±1}.
3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) b | a und a | b.
(b) Za = Zb.
(c) a = ±b.
Beweis. 1. und 2. sind klar. Bei 3. folgt die Äquivalenz (a) ⇐⇒ (b) aus 1. Ist (b) erfüllt,
so gibt es r,s ∈ Z mit a = rb und b = sa, also a = rsa. Im Fall a = 0 folgt b = 0, im
Fall a 6= 0 (da Z keine Nullteiler besitzt) 1 = rs, nach 2. also r = ±1, und das ist gerade
(c). — Die Implikation (c) =⇒ (b) ist wiederum klar.
Definition. EsseiReinRingmitIdealenI,J C R.DannsetztmanI+J := {a+b|a ∈ I,b ∈ J}.
Offenbar ist I +J wieder ein Ideal. Daß dieses Ideal im Fall, daß R ein Hauptidealring
ist, wieder ein Hauptideal ist, führt für R = Z zur Existenz von größten gemeinsamen
Teilern:
0.1.3 Folgerung. Für a,b ∈ Z und d ∈ Z sind folgende Aussagen äquivalent:
1. d ist größter gemeinsamer Teiler von a und b.
2. Es ist Za+Zb = Zd.
3. Es gilt d | a und d | b, und es gibt x,y ∈ Z mit d = ax+by.
Beweis. 1
1. =⇒ 2. Wegen d | a, d | b gilt Za+Zb ⊂ Zd. Es gibt nun, da Z Hauptidealring ist, ein
d0 ∈ Z mit Za+Zb = Zd0. Wegen Za,Zb ⊂ Zd0 folgt daraus d0 | a, d0 | b, also schon d0 | d
und folglich Zd ⊂ Zd0.
2. =⇒ 3. Wegen Za,Zb ⊂ Zd gilt d | a,d | b, und wegen d ∈ Za+Zb gibt es x,y ∈ Z mit
d = ax+by.
3. =⇒ 1. Ist d0 ∈ Z mit d0 | a, d0 | b, so folgt d0 | ax+by = d.
Hier haben wir die Existenz von größten gemeinsamen Teilern durch abstrakte Überle-
gungen gezeigt; ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung von ggT(a,b) und von x,y
mit ax+by = ggT(a,b) liefert der folgende, von Euklid (etwa 300 v. Chr.) stammende
1lfm-Beweis, weil der Tipper den aus der Vorlesung nicht verstanden hat.
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0.1 Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
0.1.4Satz. Esseiena,b ∈ Z,b 6= 0undb - a.Danngibteseinn > 1undr ,...,r ,q ,...,q ∈
1 n 1 n+1
Z, die sich durch Division mit Rest berechnen lassen, mit
r := a = bq +r , 0 < r < |b|,
−1 1 1 1
r := b = r q +r , 0 < r < r ,
0 1 2 2 2 1
r = r q +r , 0 < r < r ,
1 2 3 3 3 2
.
.
.
r = r q +r , 0 < r < r ,
n−2 n−1 n n n n−1
r = r q .
n−1 n n+1
Mit d := r gilt dann d = ggT(a,b), und durch Rechnen „von unten nach oben“ lassen
n
sich x,y ∈ Z berechnen mit d = ax+by.
Beweis. Daß das Verfahren abbricht, ist wegen der schrumpfenden Reste klar. Für alle
0 6 i < n folgt aus r = r q +r , daß Zr +Zr = Zr +Zr ist. Damit gilt
i−1 i i+1 i+1 i−1 i i i+1
Zd = Zr +Zr = ··· = Za+Zb.
n−1 n
Beispiel. Wir wählen demonstrationshalber a = 13, b = 5 und rechnen drauflos:
13 = 5·2+3,
5 = 3·1+2,
3 = 2·1+1.
Damit erhält man 1 = 3−2 = 3−(5−3) = 3·2−5 = (13−5·2)·2−5 = 13·2−5·5,
was man in diesem Fall auch ohne Euklids Algorithmus hätte ahnen können.
Definition.
1. Eine Zahl p ∈ Z heißt Primzahl, wenn p > 1 ist, und wenn für alle n,m ∈ N gilt,
daß aus p = nm bereits n = 1 oder m = 1 folgt, wenn also ±1 und ±p die einzigen
Teiler von p sind.
2. a,b ∈ Z heißen relativ prim oder teilerfremd, wenn 1 = ggT(a,b) ist.
Bemerkung. Es sei p eine Primzahl und a ∈ Z mit p - a. Dann sind a und p relativ prim.
Beweis. Es sei d = ggT(p,a). Dann gilt d | p und d | a, also (da p prim ist) d = ±1 oder
d = ±p. Wegen p - a muß d = ±1 sein.
Ebenfalls bereits Euklid bekannt war der folgende
0.1.5 Satz. Es sei p eine Primzahl und a,b ∈ Z mit p | ab. Dann gilt p | a oder p | b.
Beweis. Wir nehmen an, p - a. Nach der Bemerkung ist dann 1 = ggT(p,a), es gibt also
x,y ∈ Z mit 1 = xp+ya, also b = xpb+yab. Wegen p | xpb und p | yab folgt daraus
p | b.
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Algebra
Denfolgenden,wohlschonimAltertuminhaltlichbekanntenSatzhaterstGauß(1777-
1855) in den Disquisitiones Arithmeticae (1801) formuliert:
0.1.6 Satz (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie). Für jede Zahl n ∈
N, n > 1, gibt es ein t ∈ N und paarweise verschiedene Primzahlen p ,...,p zusammen
1 t
mit Exponenten e ,...,e > 1, so daß n = pe1pe2...pet ist, und diese Darstellung ist bis
1 t 1 2 t
auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig.
Beweis. Für die Existenz genügt es zu zeigen, daß n das Produkt von Primzahlen ist
(die man dann nur nach Potenzen zu sortieren braucht). Dies tun wir durch Induktion
nach n: n = 2 ist selbst eine Primzahl, denn pq > 4 für alle p,q > 2. Sei nun schon
gezeigt, daß alle Zahlen m mit 1 < m < n Produkt von Primzahlen sind. Dann gibt es
zwei Fälle: ist n prim, so sind wir fertig; andernfalls gibt es 1 < k,l < n mit n = kl. Da
k und l nach Induktionsvoraussetzung Produkte von Primzahlen sind, ist dies auch n.
FürdieEindeutigkeitdefinierenwirv (n) := max{e ∈ N : pe | n}fürallen ∈ Nundjede
p
Primzahl p. (Dieses Maximum existiert, weil die Menge endlich ist und die Null enthält.)
Es sei nun n = pe1...pet gegeben. Wir zeigen: für jede Primzahl p gilt
1 t
(
e falls p = p ,
i i
v (n) =
p
0 sonst.
Weil v (n) unabhängig von der Darstellung von n ist, sind die e dann eindeutig be-
p i
stimmt.
Nehmen wir also zunächst an, daß p = p für ein 1 6 i 6 t ist. Wegen pei | n ist dann
i i
v (n) > e . Angenommen, v (n) > e , dann gäbe es ein m ∈ N mit n = pei+1m =
ppeiiQ peji, also p m = Q pipej. Nacih dem letzten Satz gibt es dann ein ji6= i mit
i j6=i j i j6=i j
p | p , und da p prim ist, muß p = p sein, Widerspruch. Also ist v (n) = e .
i j j i j pi i
Nehmenwirnunan,p 6∈ {p ,...,p }.Wärev (n) > 1,sowürdegeltenp | n = pe1...pet,
1 t p 1 t
und es gäbe ein i mit p | p , also p = p , Widerspruch. Also ist in diesem Fall v (n) =
i i p
0.
Bemerkung. Nach dem Satz läßt sich jedes 0 6= x ∈ Z eindeutig schreiben als x =
uQ pvp(x) mit u ∈ U(Z) = {±1}. An dieser Darstellung kann man alle Teilbarkeits-
pprim
eigenschaften ablesen; beispielsweise ist v (d) = min(v (a),v (b)) für alle Primzahlen
p p p
p, wenn d = ggT(a,b) ist. Jedoch sei zugegeben, daß das Problem, die Primfaktorzer-
legung einer großen Zahl zu finden, nach heutigem Kenntnisstand so gut wie nicht in
vertretbarer Zeit wirklich zu bewerkstelligen ist. Auf dieser Quasi-Unmöglichkeit basie-
ren Verschlüsselungsverfahren wie RSA.
DerfolgendeSatzwarwiederbereitsEuklidbekannt,undzwarmitdemgleichenBeweis,
wie wir ihn führen:
0.1.7 Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Angenommen, es gäbe nur n Primzahlen. Es sei {p ,...,p } die Menge aller
1 n
Primzahlen. Wir setzen a := p p ...p +1. Wegen a > 1 gibt es eine Primzahl p mit
1 2 n
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0.1 Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
p | a, es gibt also ein 1 6 i 6 n mit p | a = p p ...p +1. Daraus folgt p | 1, und das
i 1 2 n i
ist ein Widerspruch, da p prim ist.
i
Genauere Aussagen über die Verteilung der Primzahlen werden in der analytischen Zah-
lentheorie hergeleitet; am Anfang dieser Theorie steht der folgende
0.1.8Satz(Euler,1737). Fürjedesreelles > 1giltdie EulerscheProduktdarstellung
∞
X 1 Y 1
ζ(s) := = ,
ns 1−p−s
n=1 pprim
dabei nennt man ζ die Riemannsche Zetafunktion.
Beweis. Für jedes x > 1 erhält man wegen der absoluten Konvergenz der beteiligten
Reihen durch mehrfache Anwendung des Umordnungssatzes der Analysis
∞ ∞
Y 1 Y X X 1
= p−ks = ,
1−p−s ? ns
pprim pprimk=0 n=1
p6x p6x
wobei die mit einem unteren Stern markierte Summe über alle n zu erstrecken ist, deren
sämtliche Primteiler höchstens alle kleinergleich x sind. Wegen
∞ ∞
0 6 ζ(s)− X 1 = X? 1 6 X 1 −x−→−∞→ 0,
? ns ns ns
n=1 n=1 n>x
wobei die mit einem oberen Stern markierte Summe über alle n zu erstrecken ist, die
mindestens einen Primteiler besitzen, der größer als x ist, folgt im Limes x → ∞ die
Behauptung.
Aus diesem Resultat ergibt sich eine Verschärfung des Satzes von der Unendlichkeit der
Primzahlen:
0.1.9 Folgerung (Euler, 1737). Die Reihe P 1 der Kehrwerte aller Primzahlen
pprim p
divergiert.
Beweis. Übungsaufgabe.2
0.1.10 Bemerkung. Es gibt (bislang) keine Funktion, die die n-te Primzahl „explizit be-
rechnet“; die Verteilung der Primzahlen ist sehr irregulär mit vielen offenen Problemen.
Trotzdem gelten allgemeine Gesetze; zwei von ihnen sind:
• Der 1896 von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesene Primzahlsatz
besagt: bezeichnet man für alle x die Anzahl der Primzahlen, die 6 x sind, mit
π(x), so gilt
π(x)
lim = 1.
x→∞ x/logx
2Nachtragen.
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Algebra
DieserSatzwurdeinsbesonderevonGaußimAltervonfünfzehnJahrenvermutet;
von Riemann stammen wichtige Hilfsmittel, die letztlich zum Beweis verwendet
werden konnten.
Als Beispiel betrachten wir die Fälle x = 10i, i = 1,...,10. Hierfür erhält man:
x π(x) x/π(x)
10 4 2,5
102 25 4,0
103 168 6,0
104 1229 8,1
105 9592 10,4
106 78498 12,7
107 664579 15,0
108 5761455 17,4
109 50847534 19,7
1010 455052511 22,0
Nach dem Primahlsatz sollte gelten:
10i
≈ log10i ≈ 2,3n.
π(10i)
Dies wird durch die Tabelle sehr gut bestätigt.
• Der Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen (Dirichlet, 1837) be-
sagt: Sind a,m > 1 relativ prim, so enthält die Menge a + Nm unendlich viele
Primzahlen.
NatürlichsindbeideSätzeingewisserWeiseweitereVerallgemeinerungendesSatzesvon
der Unendlichkeit der Primzahlen. Allerdings müssen in dieser Vorlesung beide Sätze
unbewiesen bleiben.
0.2 Kongruenzen
Bereits von Gauß stammt folgende
Definition. Es sei n > 1. Zwei Zahlen x,y ∈ Z heißen kongruent modulo n, in Zeichen:
x ≡ y mod n, wenn n | x−y gilt.
Beispielsweise gilt im Falle n = 2:
{x ∈ Z|x ≡ 0 mod 2} = Menge der geraden Zahlen,
{x ∈ Z|x ≡ 1 mod 2} = Menge der ungeraden Zahlen.
DasRechnenmodulonistunsausdemAlltagwohlvertraut:beispielsweisezähltmandie
Wochentage modulo 7, denn mit 0 =: Montag, 1 =: Dienstag usw. folgt auf 6 (Sonntag)
die 0 (Montag).
Wir wollen diese Definition nun verallgemeinern:
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