Algebra im Überblick [Lecture notes]

89 Pages·2016·0.809 MB·German

by  Dietrich Burde

Modul (cid:220)berblicke (cid:252)ber Teilgebiete
der Mathemathik (UEB)
(cid:21) Vorlesungsskript (cid:21)
Algebra im (cid:220)berblick
Dietrich Burde
2011

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
2 Algebra und Symmetrie 7
2.1 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Isometriegruppen des Euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Symmetriegruppen von Ornamenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Kristallographische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Algebra und Gleichungen 29
3.1 Polynomiale Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Polynomringe in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Monomordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Multivariate Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Monomideale und Dicksons Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Gr(cid:246)bnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Buchbergers Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Algebra und Codierung 55
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Endliche K(cid:246)rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Perfekte Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 BCH und Reed-Solomon Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3

1 Einleitung
Die Vorlesung Algebra im (cid:220)berblick ist Bestandteil des Bachelor-Studiengangs in Ma-
thematik der Universit(cid:228)t Wien und geh(cid:246)rt zum Modul (cid:220)berblicke (cid:252)ber Teilgebiete der
Mathematik. In den Zielen dazu hei(cid:255)t es, die Studierenden sollen zentrale Resultate der
Algebra kennenlernen, oft auch ohne detaillierte Beweise. F(cid:252)r Studierende, die nach dem
Bachelorstudium in das Berufsleben einsteigen wollen, liefert dieses Modul eine Verbrei-
terung des allgemeinmathematischen Wissens.
Einige Themen (cid:252)ber Gruppen, Ringe und K(cid:246)rper werden vorher im Modul Elementare
Algebra angeboten. Wir stellen drei ausgew(cid:228)hlte Themenbereiche vor, von denen das
erste mit Gruppentheorie assoziiert ist, das zweite mit Ringtheorie, und das dritte mit
K(cid:246)rpertheorie. Alle drei Themen sind auch Beispiele f(cid:252)r die Anwendungen der Algebra.
5

2 Algebra und Symmetrie
In diesem Abschnitt wollen wir Symmetriegruppen von Ornamenten und Kristallen be-
handeln, und eine kleine Einf(cid:252)hrung ist das Gebiet der kristallographischen Gruppen
geben. Die Klassi(cid:28)kation kristallographischer Gruppen ist durchaus wichtig in den An-
wendungen, sei es f(cid:252)r die Festk(cid:246)rperphysik, bei der Beschreibung von inkommensurabel
modulierten Strukturen, Quasikristallen und magnetischen Strukturen, oder f(cid:252)r Anwen-
dungen innerhalb der Kristallographie.
2.1 Gruppenoperationen
Die De(cid:28)nition einer Gruppenoperation, oder einer Gruppenwirkung ist wie folgt.
De(cid:28)nition 2.1. Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Abbildung
G×X (cid:55)→ X,
(g,x) (cid:55)→ gx
nennt man eine Operation von G auf X, falls gilt
(1) g(hx) = (gh)x f(cid:252)r alle g,h ∈ G und alle x ∈ X,
(2) ex = x f(cid:252)r das neutrale Element e ∈ G und alle x ∈ X.
Eine Menge X mit einer Operation einer Gruppe G auf X hei(cid:255)t auch G-Menge. Wir
wollen uns einige Beispiele anschauen.
1. Die Gruppe GL (K) der invertierbaren n×n Matrizen (cid:252)ber einem K(cid:246)rper K operiert
n
auf dem Kn durch Matrixmultiplikation (A,x) (cid:55)→ Ax.
2. Jede Gruppe G operiert auf jeder Menge X durch die triviale Operation, d.h. durch
gx = x f(cid:252)r alle g ∈ G und alle x ∈ X.
3. Die symmetrische Gruppe S operiert durch Permutationen auf der Zi(cid:27)ernmenge
n
X = {1,2,...,n}.
4. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst durch Konjugation: mit X = G ist die Opera-
tion durch (g,x) (cid:55)→ gxg−1 gegeben.
5. Die Gruppe SL (C) der komplexen 2 × 2 Matrizen A = (a b) mit Determinante
2 c d
det(A) = 1 operiert auf der Riemannschen Zahlenkugel C = C ∪ {∞} durch M(cid:246)bi-
ustransformationen
az +b
(A,z) (cid:55)→ A·z = .
cz +d
7
2 Algebra und Symmetrie
Dabei gilt A · ∞ = a/c und A · (−d/c) = ∞. Die Einheitsmatrix E operiert durch
Ez = 1z+0 = z. F(cid:252)r zwei Matrizen A = (a b), B = (cid:0)α β(cid:1) rechnet man nach, da(cid:255) gilt
0z+1 c d γ δ
(cid:16) (cid:17)
(cid:18) (cid:19) a αz+β +b
αz +β γz+δ
A·(B ·z) = A· =
(cid:16) (cid:17)
γz +δ c αz+β +d
γz+δ
(aα+bγ)z +(aβ +bδ)
=
(cα+dγ)z +(cβ +dδ)
(cid:18) (cid:19)
aα+bγ aβ +bδ
= ·z
cα+dγ cβ +dδ
= (AB)·z.
Es bezeichne Sym(X) die Menge aller Bijektionen X → X. Sie bildet eine Gruppe
unter Komposition. F(cid:252)r jedes g ∈ G sei L(g): x → gx die Linksmultiplikation mit g.
O(cid:27)enbar ist L(g) eine Bijektion von X, mit inverser Abbildung L(g−1).
Satz 2.1.1. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. Dann ist die Abbildung
L: G → Sym(X), g (cid:55)→ L(g) ein Gruppenhomomorphismus. Ist umgekehrt ein Grup-
penhomomorphismus θ: G → Sym(X) gegeben, so operiert die Gruppe G auf X durch
(g,x) (cid:55)→ θ(g)x.
Beweis. Die beiden Bedingungen einer Gruppenoperation bedeuten L(e) = id und L(g)·
(L(h) · x) = L(gh) · x f(cid:252)r alle g,h ∈ G und x ∈ X. Das besagt genau, da(cid:255) L ein
Gruppenhomomorphismus ist. Dabei ist L(g) ∈ Sym(X) f(cid:252)r g ∈ G. Die zweite Aussage
folgt analog.
Der Satz ist manchmal hilfreich. So nennt man eine Operation von G auf X auch treu,
falls der Homomorphismus L: G → Sym(X) injektiv ist; mit anderen Worten, wenn
gx = x f(cid:252)r alle x ∈ X schon g = e impliziert. Zum Beispiel operiert jede Untergruppe
der S treu auf X = {1,2,...,n}.
n
De(cid:28)nition 2.2. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. F(cid:252)r x ∈ X hei(cid:255)t
die Menge
Gx = {gx | g ∈ G} ⊆ X
die Bahn von x, oder der Orbit von x.
Manchmal sagt man auch G-Bahn von x. Eine Operation hei(cid:255)t transitiv, falls es ein
x ∈ X gibt mit X = Gx. In diesem Fall nennt man X einen homogenen Raum f(cid:252)r G.
Zum Beispiel operiert die symmetrische Gruppe S transitiv auf X = {1,2,...,n}.
n
Wenn G auf X operiert, so nennt man eine Teilmenge S ⊆ X auch G-invariant, falls
gx ∈ S gilt f(cid:252)r alle g ∈ G und alle x ∈ S. Dann induziert die Operation von G auf
X auch eine Operation von G auf S. Die Bahn Gx von X ist die kleinste G-invariante
Teilmenge von X, die x enth(cid:228)lt.
F(cid:252)r x,y ∈ X schreiben wir x ∼ y, falls es ein g ∈ G gibt mit y = gx. Das de(cid:28)niert
8
2.1 Gruppenoperationen
o(cid:27)ensichtlich eine ˜quivalenzrelation:
1. Die Relation is re(cid:29)exiv, da x = ex gilt.
2. Die Relation ist symmetrisch, da aus x ∼ y folgt y = gx, und somit x = g−1y, also
y ∼ x.
3. Die Relation ist transitiv, weil y = gx und z = hy zusammen o(cid:27)enbar z = h(gx) =
(hg)x implizieren.
Die ˜quivalenzklassen dieser Relation sind nichts anderes als die G-Bahnen. Sie bilden
eine Partition von X.
Beispiel 2.1.2. F(cid:252)r eine Gruppe G, die auf sich selbst operiert durch Konjugation, sind
die G-Bahnen genau die Konjugationsklassen.
F(cid:252)r x ∈ X = G ist die Konjugationsklasse von x die Menge
{gxg−1 | g ∈ G}.
Beispiel 2.1.3. Sei G = D die Untergruppe von Sym(R), die von allen Translationen
∞
T(x) = x+1 und allen Spiegelungen S(x) = −x erzeugt wird. Sie hei(cid:255)t die unendliche
Diedergruppe. Sie operiert auf X = R. Die G-Bahnen der Elemente x = 1, 1, 1 sind
2 3
gegeben durch
G·1 = Z,
1 1
G· = +Z,
2 2
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 1 2
G· = +Z ∪ +Z .
3 3 3
De(cid:28)nition 2.3. Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. F(cid:252)r x ∈ X hei(cid:255)t
die Menge
G = {g ∈ G | gx = x} ⊆ G
x
der Stabilisator von x, oder die Isotropiegruppe von x.
In der Tat ist G eine Untergruppe von G, aber nicht unbedingt ein Normalteiler.
x
Vielmehr haben wir folgendes Resultat.
Lemma 2.1.4. F(cid:252)r g ∈ G und x ∈ X gilt
gG g−1 = G .
x gx
Beweis. Es sei h ∈ G , also hx = x. Dann folgt (ghg−1)gx = ghx = gx, also ghg−1 ∈
x
G . Das bedeutet gG g−1 ⊆ G . Gilt umgekehrt h(gx) = gx, so folgt
gx x gx
(g−1hg)x = g−1(h(gx)) = g−1gx = x.
Das bedeutet g−1hg ∈ G , oder h ∈ gG g−1.
x x
9
2 Algebra und Symmetrie
Beispiel 2.1.5. Falls G durch Konjugation auf sich selbst operiert, so ist der Stabilisator
von x die Gruppe
C (x) = {g ∈ G | gx = xg}.
G
Sie hei(cid:255)t Zentralisator von x in G.
Das Zentrum Z(G) von G ist der Schnitt (cid:252)ber alle Zentralisatoren:
(cid:92)
Z(G) = C (x) = {g ∈ G | gx = xg ∀x ∈ G}.
G
x∈G
F(cid:252)r eine Teilmenge S ⊆ X de(cid:28)nieren wir den Stabilisator von S als
Stab(S) = {g ∈ G | gS = S}.
O(cid:27)enbar ist Stab(S) eine Untergruppe von G, und Stab(x) = G f(cid:252)r ein Element x ∈ X.
x
Wie in Lemma 2.1.4 zeigt man, da(cid:255) Stab(gS) = gStab(S)g−1.
Beispiel 2.1.6. F(cid:252)r die Operation der unendlichen Diedergruppe D auf R sind die
∞
Satbilisatoren von x = 1, 1, 1 gegeben durch
2 3
G = {id,T2S},
1
G = {id,TS},
1
2
G = {id}.
1
3
Beweis. Die Gruppenelemente sind von der Form TnS oder Tn f(cid:252)r n ∈ Z, wegen S2 = id
und ST = T−1S. F(cid:252)r x = 1 hat die Gleichung W(x) = x nur die L(cid:246)sung W = id. Falls
3
W = Tn so impliziert Tn(1) = 1 nat(cid:252)rlich n = 0. F(cid:252)r W = TnS ergibt die Gleichung
3 3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 1 1 1
= (TnS) = Tn − = n−
3 3 3 3
einen Widerspruch wegen n ∈ Z.
Beispiel 2.1.7. Es operiere G auf sich selbst durch Konjugation. Sei H eine Untergruppe
von G. Der Stabilisator von H hei(cid:255)t dann der Normalisator N (H) von H in G:
G
N (H) = {g ∈ G | gHg−1 = H}.
G
Satz 2.1.8. Operiert eine Gruppe G auf einer Menge X, so ist die Abbildung
G/G → Gx,gG (cid:55)→ gx
x x
eine Bijektion. Es gilt |Gx| = (G : G ).
x
Korollar 2.1.9. Die Anzahl der Konjugierten gHg−1 einer Untergruppe H von G ist
gleich (G : N (H)).
G
10