Algebra I.K.

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by  Hans Kurzweil

Algebra I.K.
Hans Kurzweil
(cid:3)
6. Dezember 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Der Ring der ganzen Zahlen 3
2 Der Polynomring 13
3 Die Teilbarkeit 35
4 Der erweiterte Euklidische Algorithmus 44
5 Nullstellen von Polynomen 51
6 Zyklische Gruppen 59
7 Die multiplikative Gruppe und die diskrete Fouriertransformation 70
8 Das Rechnen in endlichen K(cid:127)orpern 79
9 Erweiterungsk(cid:127)orper 93
10 Existenz und Eindeutigkeit von endlichen K(cid:127)orpern 104
11 Irreduzible Polynome 110
12 Reed { Solomon Codes 119
Mathematisches Institut der Universit(cid:127)at Erlangen-Nu(cid:127)rnberg. Bismarckstr. 1 1/2, 91054
(cid:3)
Erlangen. e-mail: [email protected]
1
Notation
M Anzahl der Elemente in der endlichen Menge M
j j
N Menge der natu(cid:127)rlichen Zahlen ohne die 0
N0 Menge der natu(cid:127)rlichen Zahlen mit der 0
Z Menge der ganzen Zahlen
min a;b das Minimum der Zahlen a;b
f g
Zn = 0;1; n 1
f (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0) g
nZ = i n i Z
f (cid:1) j 2 g
R Menge der reellen Zahlen
C Menge der komplexen Zahlen
i imagin(cid:127)are Einheit in C
GF(pn) endlicher K(cid:127)orper mit pn Elementen
dimV Dimension eines Vektorraums V
% Restabbildung modulo n, Seite 7
n
% Restabbildung modulo N, Seite 24
N
(n) Menge der Primteiler von n, Seite 11
P
a+ b;a b Addition und Multiplikation modulo n, Seite 8
n n
(cid:1)
a+ b;a b Addition und Multiplikation modulo N, Seite 24
N N
(cid:1)
F[X] Polynomring, Seite 15
gradA Grad eines Polynoms A, Seite 18
Fn[X] Menge der Polynome vom Grad < n, Seite 18
Fn Menge aller n-Tupel u(cid:127)ber dem K(cid:127)orper F, Seite 19
FN Der Ring F[X] modulo N, Seite 24
A B A teilt B, Seite 36
j
ggT(A;B) gr(cid:127)o(cid:25)ter gemeinsame Teiler von A;B, Seite 37
kgV(A;B) kleinstes gemeinsames Vielfache von A;B, Seite 37
A Ableitung des Polynoms A, Seite 54
0
a zyklische Gruppe, Seite 62
h i
o(a) Ordnung von a, Seite 63
‘d (a) diskreter Logarithmus vo a (zur Basis z), Seite 81
z
E Seite 93
F
F(v) Seite 95
M Minimalpolynom von v, Seite 96
v
Dm Seite 109
charE Charakteristik des K(cid:127)orpers E Seite 105
P Seite 106
n
A(cid:25) Seite 113
Kreisteilungsklasse, Seite 68
i
K
2
1 Der Ring der ganzen Zahlen
Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen K(cid:127)orpern auf die
Addition und Multiplikation vonganzen Zahlen zuru(cid:127)ckgefu(cid:127)hrt. Deswegen mu(cid:127)ssen
wir die an sich selbstverst(cid:127)andlichen Rechenoperationen in Z genauer analysieren.
In der Menge N = 1;2;3;::: der natu(cid:127)rlichen Zahlen ist eine Gleichung
f g
a+x = b
nur dann l(cid:127)osbar, wenn a < b. In der Menge
Z = N 0 ( N)
[f g[ (cid:0)
der ganzen Zahlen ist sie jedoch immer l(cid:127)osbar, x = b a . Dies ist eine der
(cid:0)
grundlegenden Eigenschaften der Addition in Z; ingesamt wird die Addition und
Multiplikation in Z durch fu(cid:127)nf Gesetze geregelt:
R1) Addition und Multiplikation sind assoziativ:
(a+b)+c = a+(b+c) und (a b) c = a (b c)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
R2) Addition und Multiplikation sind kommutativ:
a+b = b+a und a b = b a
(cid:1) (cid:1)
R3) Es existiert ein neutrales Element bez. der Addition (= 0, Nullelement) und
ein neutrales Element bez. der Multiplikation (= 1, Einselement):
0+a = a und 1 a = a
(cid:1)
Es ist 0 = 1.
6
R4) Die Gleichung a+x = b besitzt eine eindeutige L(cid:127)osung x in Z.
R5) Es gilt das Distributivgesetz:
a (b+c) = a b+a c
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
Wir de(cid:12)nieren: Eine Menge R = a;b;c;::: hei(cid:25)t Ring , wenn je zwei Elemen-
f g
ten a;b R eine Summe a+b R und ein Produkt a b R zugeordnet ist,
2 2 (cid:1) 2
sodass die Gesetze R1 bis R5 gelten; in R4 ist Z durch R zu ersetzen. Eigentlich
spricht man von einem kommutativen Ring, denn in R2 fordern wir, dass die
3
Multiplikation kommutativ ist, wir betrachten hier nur solche Ringe.
Aus R1 bis R5 ergeben sich weitere Regeln, die im Ring Z an sich selbstverst(cid:127)and-
lich sind. Da wir gleich noch andere Ringe betrachten, formulieren wir allgemein.
Sei R Ring.Bezu(cid:127)glich der Addition ist R eine Gruppe = R(+), man nennt sie die
additiven Gruppe von R . Dies bedeutet, dass die Addition assoziativ ist (R1),
ein neutrales Element 0 R existiert (R3) und die Gleichung a + x = b in R
2
eindeutig l(cid:127)osbar ist (R4).
Eigentlich ist R(+) eine abelsche Gruppe, denn die Addition ist kommutativ.
Eine ausfu(cid:127)hrlichere De(cid:12)nition von Gruppen (cid:12)ndet sich in Kap. 5.
Insbesondere besitzt die Gleichung a + x = 0 genau eine L(cid:127)osung, sie wird mit
a bezeichnet; also ist
(cid:0)
a+( a) = 0 und ( a) = a:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Zur Abku(cid:127)rzung setzt man
a b = a+( b):
(cid:0) (cid:0)
Es ist
a+(b a) = (a a)+b = 0+b = b;
(cid:0) (cid:0)
also ist x = b a die L(cid:127)osung von a+x = b.
(cid:0)
Anders verh(cid:127)alt sich die Multiplikation. Eine Gleichung a x = b muss in R nicht
(cid:1)
l(cid:127)osbar sein, auch wenn a = 0 .
6
Existiert zu a = 0 ein b = 0 mit a b = 0, so hei(cid:25)t a Nullteiler von R .
6 6 (cid:1)
Mit R bezeichnen wir die Menge aller von 0 verschiedenen Elemente von R .
(cid:3)
Besitzt R keinen Nullteiler, gilt also
a;b R a b R ;
(cid:3) (cid:3)
2 ) (cid:1) 2
so hei(cid:25)t R nullteilerfrei ; o(cid:11)ensichtlich ist der Ring Z nullteilerfrei.
Multipliziert man a R mit sich selber, so erh(cid:127)alt man die Potenzen ai; i N0:
2 2
Man setzt a0 := 1; a1 := a; a2 := a a, und
(cid:1)
a3 := a a2 = a (a a) =! (a a) a = a2 a;
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
man beachte das Assoziativgesetz! Deshalb l(cid:127)asst man die Klammern weg und
schreibt a3 = a a a. Genauso behandelt man die h(cid:127)oheren Potenzen:
(cid:1) (cid:1)
ai := a ai 1 = a a a :
(cid:0)
(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)
i
4 | {z }
Daraus ergeben sich die Potenzgesetze :
ai+j = ai aj und (ai)j = aij , i;j 0
(cid:1)
(cid:1) (cid:21)
Eine Diskussion der Potenzgesetze, insbesonder deren additive Variante (cid:12)ndet
sich in Kap. 5.
Das Distributivgesetz R5 verklammert die Addition und Multiplikation. Aus ihm
folgen die zwei Regeln
0 a = 0 und ( a) b = (a b):
(cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Zum Beweis von 0 a = 0 l(cid:127)osen wir die Geichung 0 a+x = 0 a . Nach R3 hat
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
sie die L(cid:127)osung x = 0; andererseits ist auch 0 a L(cid:127)osung, denn:
(cid:1)
0 a+0 a = (0+0) a = 0 a
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
Aus R4 folgt 0 = 0 a .Zum Beweis der zweiten Regel schreiben wir
(cid:1)
0 = 0 b = (a+( a)) b = a b+( a) b;
(cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
wegen 0 = a b (a b) folgt die Behauptung wieder mit R4.
(cid:1) (cid:0) (cid:1)
Zum Beispiel ergibt sich nun
( a)( b) = (a( b)) = ( ab) = ab:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Aus dem Distributivgesetz folgt die K(cid:127)urzregel , die wir gesondert formulieren:
1.1 In einem nullteilerfreien Ring kann gek(cid:127)urzt werden, d.h. es gilt:
a b = a c; a = 0 b = c
(cid:1) (cid:1) 6 )
Beweis: a b = a c impliziert
(cid:1) (cid:1)
0 = a b a c = a (b c):
(cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0)
Wegen a = 0 folgt b c = 0, d.h. b = c. (cid:3)
6 (cid:0)
Wir fassen zusammen:
1.2 Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet bez(cid:127)uglich der Addition und Multi-
plikation einen nullteilerfreien Ring. (cid:3)
5
Sei n N. Die Menge aller Vielfachen von n in Z bezeichnen wir mit nZ, also
2
ist
nZ = n i i Z :
f (cid:1) j 2 g
Es ist nZ = 0 , wenn n = 0, und nZ = Z, wenn n = 1 ; z.B. ist 2Z die Menge
f g
aller geraden Zahlen.
Die Teilmenge
Zn := 0;1;:::;n 1
f (cid:0) g
von Z spielt im Folgenden eine wichtige Rolle; es ist Zn = n
j j
Eine Teilmenge von Z der Form
r+nZ = r+n i i Z , r Zn ;
f (cid:1) j 2 g 2
hei(cid:25)t Restklasse modulo n , sie besteht aus den Zahlen in Z, die geteilt durch n
den Rest r haben. Ein fundamentales Gesetz in Z besagt, dass jede Zahl a Z
2
in genau einer dieser n Restklasse modulo n liegt.1 Dies bedeudet:
1.3 DIVISION MIT REST: Zu a Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen
2
i Z und r Zn, so dass a = n i+r . (cid:3)
2 2 (cid:1)
Wir "malen" die Restklassen modulo 7 :
1Dies problematisieren wir hier nicht.
6
Seien a;n;r wie in 1.3 Wir nennen r den Rest modulo n und schreiben
r = % (a):
n
Zum Beispiel ist % (12) = 2 und % ( 12) = 3, denn 12 = 2 5 + 2 und
5 5
(cid:0) (cid:1)
12 = ( 3) 5+3 . Es ist % (4) = 4 , denn 4 = 0 5+4 .
5
(cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:1)
Wir fassen %n als (Rest{) Abbildung auf, ordnen also jedem a Z den Rest
2
r = %n(a) Zn zu. Man schreibt
2
%n : Z Zn mit a %n(a)
! 7!
1.4 a) %n(a) = a a Zn
, 2
b) %n(a) = 0 a nZ
, 2
c) %n(a) = %n(b) a b nZ
, (cid:0) 2
d) % (a+b) = % (% (a)+% (b))
n n n n
e) % (a b) = % (% (a) % (b))
n n n n
(cid:1) (cid:1)
Beweis: Die ersten drei Aussagen ergeben sich unmittelbar aus der De(cid:12)nition von
% . Fu(cid:127)r den Beweis von d), e) sei
n
a = i n+r , r = % (a)
n
(cid:1)
b = j n+s , s = % (b):
n
(cid:1)
Dann ist
a+b = (i+j) n+(r+s)
(cid:1)
a b = (i j n+i s+j r) n+r s;
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
also (a+b) (r+s) nZ und a b r s nZ . Mit c) folgt die Behauptung.
(cid:0) 2 (cid:1) (cid:0) (cid:1) 2
(cid:3)
Wir machen ein Beispiel zu d) und e), sei n = 7. Es ist
% (11+13) = % (24) = 3
7 7
% (11 13) = % (143) = 3
7 7
(cid:1)
und nach d), e)
% (11+13) = % (% (11)+% (13)) = % (4+6) = % (10) = 3
7 7 7 7 7 7
% (11 13) = % (% (11) % (13)) = % (4 6) = % (24) = 3
7 7 7 7 7 7
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
7
Gilt %n(a) = %n(b) fu(cid:127)r zwei Zahlen a;b Z, so hei(cid:25)t a kongruent b modulo n,
2
man schreibt gerne a b(modn).
(cid:17)
Sei n 2. Die Menge Zn machen wir zu einem Ring, indem wir auf ihr eine
(cid:21)
Addition und Multiplikation modulo n erkl(cid:127)aren. Fu(cid:127)r a;b Zn sei:
2
a+ b = % (a+b)
n n
a b = % (a b)
n n
(cid:1) (cid:1)
Wir behaupten, dass Zn bezu(cid:127)glich dieser Verknu(cid:127)pfungen Ring ist; wir schreiben
ku(cid:127)rzer % anstatt %n . Fu(cid:127)r a;b Zn ist:
2
a+ b = %(a+b) = %(b+a) = b+ a
n n
a+ 0 = %(a+0) = %(a) = a
n
a b = %(a b) = %(b a) = b a
n n
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
a 1 = %(a 1) = %(a) = a
n
(cid:1) (cid:1)
Also gelten R2 und R3. Um R4 nachzuweisen, l(cid:127)osen wir die Gleichung a+ x = b
n
in Zn. Im Fall a b ist x = b a Zn L(cid:127)osung, denn
(cid:20) (cid:0) 2
a+ (b a) = %(a+b a) = %(b) = b;
n
(cid:0) (cid:0)
und im Fall a > b ist x = n+b a Zn eine L(cid:127)osung, denn
(cid:0) 2
a+ (n+b a) = %(a+n+b a) = %(b+n) = %(b) = b:
n
(cid:0) (cid:0)
Man (cid:127)uberzeuge sich, dass in beiden F(cid:127)allen x die einzige L(cid:127)osung ist.
EsbleibtnochdasAssoziativ{undDistributivgesetz nachzuweisen. Seiena;b;c
2
Zn, nach 1.4.a ist
a = %(a) , b = %(b) , c = %(c):
Mit 1.4.d folgt
a+ (b+ c) = %(a)+ %(b+c) = %(%(a)+%(b+c)) = %(a+(b+c))
n n n
und genauso (a+nb)+nc = %((a+b)+c). Die Addition in Zn ist also assoziativ,
weil sie in Z assoziativ ist. Analog ergibt sich mit 1.4.e
a (b c) = %(a) %(b c) = %(%(a) %(b c)) = %(a (b c))
n n n
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
8
und genauso (a b) c = %((a b) c). Also ist auch die Multiplikation assoziativ,
n n
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
denn sie ist es in Z. A(cid:127)hnlich folgt das Distributivgesetz:
a (b+ c) = %(a) %(b+c) = %(%(a) %(b+c)) = %(a (b+c))
n n n
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
= %(a b+a c) = %(%(a b)+%(a c)) = %(a b+a c)
n n
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
= (a b)+ (a c)
n n n
(cid:1) (cid:1)
Wir fassen zusammen:
1.5 Sei n > 1. Bez(cid:127)uglich der Addition und Multiplikation modulo n ist Zn ein
Ring mit Nullelement 0 Zn und Einselement 1 Zn . (cid:3)
2 2
Nachdem Zn Ring ist, k(cid:127)onnen wir formulieren:
1.6 Die Restabbildung % ist vertr(cid:127)aglich mit der Addition und Multiplikation in
n
den Ringen Z und Zn, d.h. es gilt2
% (a+b) = % (a)+ % (b)
n n n n
% (a b) = % (a) % (b):
n n n n
(cid:1) (cid:1)
Insbesondere ist
% ( a) = % (a) und % (a b) = % (a) % (b):
n n n n n n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Beweis: Infolge der De(cid:12)nition der Addition und Multiplikation in Zn sind die
ersten Behauptungen klar. Wir begru(cid:127)nden nur die zwei letzten: Es ist
0 = % (0) = % (a a) = % (a+( a)) = % (a)+ % ( a);
n n n n n n
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
d.h. im Ring Zn gilt %n( a) = %n(a). Es folgt
(cid:0) (cid:0)
% (a b) = % (a+( b)) = % (a)+ % ( b) = % (a)+ ( % (b))
n n n n n n n n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
= %n(a) n %n(b): (cid:3)
(cid:0)
Als Beispiele notieren wir die Additions{ und Multiplikationstafeln der Ringe
Z2;Z3;Z4 und Z5
+ 0 1 0 1
2 2
(cid:1)
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
2Man spricht von einem Ring{Homomorphismus.
9
+ 0 1 2
3 1 2
0 0 1 2 (cid:1)3
1 1 2
1 1 2 0
2 2 1
2 2 0 1
+ 0 1 2 3
4 1 2 3
0 0 1 2 3 (cid:1)4
1 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 0 2
2 2 3 0 1
3 3 2 1
3 3 0 1 2
+ 0 1 2 3 4
5 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 (cid:1)5
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 4 1 3
2 2 3 4 0 1
3 3 1 4 2
3 3 4 0 1 2
4 4 3 2 1
4 4 0 1 2 3
Wirde(cid:12)nieren:EinRingRhei(cid:25)tK(cid:127)orper,wenninRfolgendezweiGesetzegelten:
K1) a;b R a b R (R ist nullteilerfrei)
(cid:3) (cid:3)
2 ) (cid:1) 2
K2) Die Gleichung a x = b (a;b R ) besitzt genau eine L(cid:127)osung x in R .
(cid:3) (cid:3)
(cid:1) 2
Insbesondere ist dann die Gleichung a x = 1 eindeutig l(cid:127)osbar, man schreibt
(cid:1)
1
x = a 1 = :
(cid:0)
a
Daraus ergibt sich auch die L(cid:127)osung von a x = b zu x = a 1 b, denn
(cid:0)
(cid:1) (cid:1)
a (a 1 b) = (a a 1) b = 1 b = b;
(cid:0) (cid:0)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
man schreibt
a
a b 1 = :
(cid:0)
(cid:1) b
Da die Multiplikation im Ring R assoziativ ist und R ein Einselement besitzt,
besagen die zwei Gesetze K1, K2, dass R bezu(cid:127)glich der Multiplikation eine
(cid:3)
10