Algebra II.

401 Pages·2002·2.606 MB·Hungarian

by  Fried Ervin

ALGEBRA II.
Algebrai struktúrák

Fried Ervin
ALGEBRA II.
Algebrai struktúrák
Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
Felsőoktatási tankönyv
A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával,
a Felsőoktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított
Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyv-támogatási Pályázat keretében jelent meg.
Bírálók
Dr. Csákány Béla
egyetemi tanár
Dr. Ágoston István
egyetemi docens
A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása
a jogutód engedélye nélkül tilos!
ISBN 963 19 2512 9
© Fried Ervin, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002, jogutód Fried Katalin 2013
NemzetiTankönyvkiadóRt.
Akiadásért felel:PálfiJózsefvezérigazgató
Raktáriszám: 42549/II
Felelősfőszerkesztő: PalojtayMária
Felelősszerkesztő: BalassaZsófia
Műszakiszerkesztő: GörögIstvánné
AkötetetTEXszedőrendszerbengondozta:FriedKatalin
Terjedelem:35,75(A/5)ív
Elsőkiadás,2002
TARTALOM
Előszó
(és használati javaslat ............................................................. 9
Első rész: Alapfogalmak ....................................................... 13
1. Halmazelméleti alapfogalmak ................................................ 13
1.1. Halmazok .............................................................. 13
1.2. Reláció és függvény .................................................... 16
1.3. Részbenrendezés, elrendezés, jólrendezés ................................. 18
1.4. Ekvivalenciareláció, partíció, függvény ................................... 22
1.5. Számosság ............................................................. 24
2. Általános algebrai alapfogalmak ............................................. 27
2.1. Művelet, algebrai struktúra, típus ......................................... 27
2.2. Részalgebrák ........................................................... 29
2.3. Izomorfizmus, homomorfizmus .......................................... 31
2.4. Kongruenciareláció, faktorstruktúra, direkt szorzat ......................... 34
2.5. Néhány speciális típusú algebra .......................................... 37
3. Részbenrendezett halmazok felhasználása az algebrában ....................... 40
3.1. A maximumfeltétel ..................................................... 40
3.2. Lezárás és Galois-kapcsolat .............................................. 42
3.3. Hálók .................................................................. 46
3.4. Algebrai hálók reprezentálása ............................................ 51
Második rész: Csoportok ....................................................... 56
4. Félcsoportok ............................................................... 56
4.1. Félcsoport definíciója és elemi tulajdonságai .............................. 56
4.2. Szabad félcsoportok ..................................................... 59
4.3. Félcsoportok speciális elemekkel ......................................... 63
4.4. Szabad félcsoportok speciális faktorai .................................... 67
4.5. Faktorfélcsoportok invertálással .......................................... 67
6 Tartalom
5. Csoportok .................................................................. 72
5.1. A csoport ekvivalens definíciói .......................................... 72
5.2. Komplexusok, műveletek komplexusokkal ................................ 75
5.3. Részcsoportok .......................................................... 77
5.4. Mellékosztályok; elem és csoport rendje .................................. 78
5.5. Invariáns részcsoportok ................................................. 82
5.6. Faktorcsoport, homomorfizmus-, izomorfizmustételek ...................... 87
5.7. Csoportokdirekt szorzata ................................................ 89
5.8. Véges Abel-csoportok ................................................... 93
5.9. Speciális részcsoportok és normálosztók ................................. 101
5.10. Sylow-részcsoportok .................................................. 108
5.11. Néhány speciális csoport .............................................. 111
5.12. Szabad csoportok ..................................................... 115
6. Feloldhatóság ............................................................. 117
6.1. Normállánc ........................................................... 118
6.2. Feloldhatóság ......................................................... 122
6.3. Permutációcsoportok ................................................... 125
6.4. Csoport-előállítás permutációcsoportokkal ............................... 131
6.5. A szimmetrikus csoport kompozícióláncai ............................... 134
6.6. Az Sn automorfizmuscsoportja .......................................... 138
6.7. Lineáris transzformációk csoportja ...................................... 141
Harmadik rész: Kommutatív gyűrűk .......................................... 150
7. Kommutatív gyűrűk ....................................................... 150
7.1. Gyűrűk definíciója és elemi tulajdonságai ................................ 150
7.2. Részgyűrűk,ideálok ................................................... 154
7.3. Hányadosgyűrű,lokális gyűrűk ......................................... 158
7.4. Noether-gyűrű, polinomgyűrű ........................................... 164
7.5. Egyértelmű felbontás .................................................. 168
7.6. Karakterisztika és prímtest, egyszerű testbővítés .......................... 176
7.7. Műveletek ideálokkal, felbontási tétel ................................... 179
7.8. Ideálok gyökei ........................................................ 183
8. Kommutatív testek ........................................................ 187
8.1. Algebrai testbővítés .................................................... 187
8.2. Felbontási test, algebrai lezárt .......................................... 189
8.3. Véges testek .......................................................... 193
8.4. Hibajavító kódok ...................................................... 196
8.5. Szeparábilis bővítés, tökéletes test ...................................... 198
8.6. Transzcendens bővítések ............................................... 200
8.7. Normális bővítés ...................................................... 206
Tartalom 7
8.8. A klasszikus Galois-elmélet főtétele ..................................... 208
8.9. Gyökjelekkel való megoldhatóság ....................................... 212
8.10. Konkrét polinomtípusok megoldhatósága ............................... 220
8.11. A geometriai szerkeszthetőség algebrai elmélete ........................ 226
8.12. Az egységgyökökkiszámítása ......................................... 229
Negyedik rész: Algebrák ...................................................... 237
9. Modulusok ................................................................ 237
9.1. Moduluselméleti alapfogalmak .......................................... 237
9.2. Unitér modulusok ...................................................... 240
9.3. Az R-homomorfizmusok csoportja ...................................... 241
9.4. Diagramok ............................................................ 248
9.5. Kapcsolatok az algebrai topológiával .................................... 250
9.6. A Hom funktor ...................................................... 253
R
9.7. Modulusok tenzorszorzata .............................................. 261
9.8. Összefüggések⊗ és Hom között ........................................ 267
10. Algebrák ................................................................ 268
10.1. Egész elemek kommutatív gyűrűk felett ................................ 268
10.2. Dedekind-gyűrűk ..................................................... 271
10.3. Algebrai egészek felett ............................................. 276
Q
10.4. Féligegyszerű gyűrűk ................................................. 281
10.5. Algebrák, csoportalgebra .............................................. 285
10.6. A Jacobson-radikál ................................................... 293
10.7. Algebrák valósan zárt testek felett ..................................... 297
Ötödik rész: Egyéb algebrai struktúrák ....................................... 311
11. Általános algebrák ....................................................... 311
11.1. A kifejezések algebrája ............................................... 311
11.2. Szabad algebrák ...................................................... 314
11.3. Azonosságokkaldefiniálható osztály ................................... 318
11.4. Szubdirekt előállítás .................................................. 325
12. Hálók ................................................................... 329
12.1. Hálók mint algebrai struktúrák ......................................... 329
12.2. Disztributív hálók .................................................... 338
12.3. Moduláris hálók ...................................................... 347
12.4. Atomos hálók és Boole-hálók ......................................... 351
12.5. Kongruenciahálók .................................................... 356
8 Tartalom
13. Rendezett csoportok és testek ............................................. 357
13.1. Részbenrendezettcsoportok ........................................... 357
13.2. Rendezett testek ...................................................... 359
14. Relációalgebrák, algebrai logika ........................................... 366
14.1. Relációalgebrák ...................................................... 366
14.2. 0–1 mérték, ultraszorzat (prímszorzat) .................................. 369
15. Kategóriák ............................................................... 375
15.1. Objektumok és morfizmusok .......................................... 375
15.2. Funktorok ............................................................ 379
15.3. Kategóriák realizációja ................................................ 384
Betűrendes mutató ........................................................... 389
Irodalomjegyzék ............................................................. 399
ELŐSZÓ
(és használati javaslat)
Ez a tankönyv a Nemzeti Tankönyvkiadó gondozásában 2000-ben megjelent
ALGEBRAI.címűtankönyvfolytatása.EnnekmegfelelőenelsődlegesenazEötvösLoránd
Tudományegyetem másodévesmatematikus és alkalmazott matematikus hallgatói számára
készült, e szakoknak a tematikáját követi; vagyis a különböző (absztrakt) algebrai struktú-
rákkal foglalkozik. E könyv anyagának és módszereinek a tanulmányozásához megfelelő
alapotadazelsőkötet;nohaannakismereteittnemfeltétlenülszükséges.Igaz,hogyegyes
tételeket itt nem bizonyítunk be ismételten.
Ez a könyv bevezető jellegű, tehát egyik struktúrafajtát sem vizsgálja részletesebben.
Bevezetőjellegűalgebrajegyzetés-tankönyvMagyarországon(is)igensokvan;ezekrőlaz
irodalomjegyzékbenadunktájékoztatást.Afelsoroltakmindegyikemásésmásfelfogásban
tárgyalja a fenti tananyagot, ezért nem lehet ezen tankönyveket rangsorolni; tulajdonkép-
pen jól kiegészítik egymást. Ez a tankönyv az 1980-ban megjelent Általános algebra c.
tankönyvem pótlására készült, amelynek legutóbbi kiadása is elfogyott. Tekintettel arra,
hogy az idézett tankönyvhöz képest itt is lényeges változtatásokat éreztem szükségesnek,
ezért nem tartottam volna jónak a fenti tankönyv újabb – lényegében változatlan – kiadá-
sát.Nemváltoztattamakönyv„szellemén”,atananyagotisfőlegbővítettem.Igenlényeges
különbség található a két könyv szerkezetében.
Az egész kötetet öt nagyobb részre osztottam fel. Az első résznek a címe: Alapfo-
galmak. Ide soroltam azokat a fogalmakat és ismereteket, amelyek egyik későbbi struktú-
rafajtához sem kapcsolhatók külön. Ennek következtében az itteni fogalmak nincsenek is
konkrét példákkal megvilágítva.
Célszerű, hogy az első rész tüzetes átolvasása csak akkor történjen meg, ha valahol
később ezekre az ismeretekre szükség van. Ezt utalások, illetve a nevek jelzik. Az algeb-
rában is, mint bármely matematikai ágazatban az okoz gondot, hogy a fogalmak csak a
példákutánérthetőkmeg,viszontapéldákmegadásánálszükségvanapontosfogalmakra.
(Ezért szokták a jobb képességű hallgatók egy-egy tárgy lehallgatása után azt mondani,
hogy most kellene ismét felvenni ezt a tárgyat.)
A második rész olyan struktúrákkalfoglalkozik, amelyek egyetlen kétváltozós műve-
let segítségével definiálhatók; nevezetesen egy rövid félcsoport-elméleti bevezetés után a
csoportelmélettel. A harmadik rész tárgya a kommutatív gyűrűk elmélete. Itt a polinom-
gyűrűkmegértésétcélzó rész,valamint azegyenletekkel foglalkozó(és ehhezkapcsolódó)
részekszerepelnek.Anegyedikrésztémájaazalgebrák(azilyennevűalgebraistruktúrák).
Itt amodulusokáltalánosabb elmélete van (hagyatkozvaaz első kötetbeli ismeretekre). Az
algebrákfontosságátazadja,hogyezekvektorterekésgyűrűkisegyszerre;ésigensokfon-
tosstruktúraalgebra.Akommutatívesetbenazalgebraiegészek,anemkommutatívesetben