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Algebra II B. L. van der Waerden AlgebraII Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. N oether Mit einem Geleitwort von Jürgen Neukirch Sechste Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH B. L. van der Waerden Wiesliacher 5, CH-8053 Zürich, Schweiz Die fünfte Auflage erschien 1967 unter gleichnamigem Titel in der Reihe Heidelberger Taschenbücher Band 23 Die Fotovorlage für die Abbildung auf der Einbandvorderseite wurde dem Band "[ haue a Photographic Memory" von P. R. Halmos mit freundlicher Genehmigung des Autors und der American Mathematical Society entnommen Mathematics Subject Classification (1991): 12-01,15-01,16-01, 16-Wxx ISBN 978-3-642-63446-8 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Waerden, Bartel Leendert van der: Algebra/Bartel L. an der Waerden. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong; Barcelona; Budapest: Springer 2. 6. Auflage 1993 ISBN 978-3-642-63446-8 ISBN 978-3-642-58038-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-58038-3 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur an den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der BundesrepublikDeutschland vom 9. September 1965 in derjeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1936, 1950, 1955, 1959, 1967, 1993 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993 Softcover reprint of the hardcover 6th edition 1993 Umschlaggestaltung: Design Concept Emil Smejkal, Heidelberg 4413140 - 5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier Geleitwort Das vorliegende, nunmehr zum neunten Male herausgebrachte Werk von B. L. VAN DER WA ERDEN nimmt unter den mathematischen Lehrbiichem eine auBergewohnliche Stellung ein. Selten nur hat in der Vergangenheit ein Lehrbuch eine iihnlich groBe Wirkung auf das mathematische Leben ausgeiibt wie dieses. Seit seinem ersten Erscheinen im Sommer 1930, also vor nunmehr 63 Jahren, haben Generationen von Mathematikem nach ihm die Algebra gelemt, zumindest im deutschsprachigen Bereich. Fiir zahllose Studenten bedeutete es Eintritt und Aufnahme in die hOhere Mathematik, fur viele war es die erste Stufe zu wissenschaftlicher Arbeit und mathematischer Forscherlaufbahn. Worin liegt das Geheimnis eines solch langlebigen Erfolges? Auf diese Frage hatte mancher Autor gem eine Antwort. Der eine versucht eine Verbesserung durch eine breitere Grundlegung, der andere durch verein fachteArgumentation, ein dritter durch groBere Vollstandigkeit, ein vierter durch Verwirklichung aller dieser Moglichkeiten - vergebens, einen "van der Waerden" hat es bis heute nicht wieder gegeben. Zieht man einmal andere beriihmte Lehrbiicher der Vergangenheit zur Betrachtung heran, wie etwa die EULERsche und die WEBERsche "Algebra", den HILBERTschen "Zahlbericht", den "Roten Mumford", die SERREsche "Cohomologie galoisienne" (welche letztere ein Lehrbuch gar nicht hat sein sollen, urn dann doch ein so groBartiges zu werden), so erkennt man, daB es nicht die systematische Vollstandigkeit und die fraglose Vollkommenheit ist, die den Erfolg hervorbringt. Vielmehr scheint in der meisterlichen Handhabung der Unvollkommenheit ein Grund fur die Lebensfahigkeit eines Lehr buches zu liegen, einer Unvollkommenheit, die sich der Phantasie des Lesers offnet und ihm die Lektiire durch eigene Fragen und Vorstellungen zum Erlebnis werden laBt. Eine solche Meisterschaft ist freilich nicht erlembar und ist das Kennzeichen eines wahrhaft groBen Lehrers. Ein faBbareres Merkmal, das aIle genannten Beispiele mit dem VAN DER WAERDENschen Buch gemein haben, ist das der Neuheit des dargestellten Stoffes. Die uns heute so gelaufige "Korpertheorie", das Kemstiick des Buches, war bei seinem ersten Erscheinen wohl dem kleinen Kreis der Experten vertraut, aber durchaus nicht der mathematischen Allgemein heit, obgleich die STEINITzsche Grundlegung der Korpertheorie schon im Jahre 1910 erschienen war. Das algebraische Denken war damals noch vomehmlich yom Rechnen mit einzelnen Polynomen und Gleichungen beherrscht, so daB die ersten Auflagen des VAN DER WA ERDENschen Lehr buches den Namen "Modeme Algebra" injener Zeit zu recht trugen. Mit VI Geleitwort seiner neuen abstrakten und begriffiichen Auffassung der Algebra war es geistig wie zeitlich ein Produkt des zwanzigsten J ahrhunderts und ein Wegweiserindie Zukunft. ,,Nach Vorlesungen vonE.ARTINUndE. NOETHER" lautet der Untertitel, und in der Tat meint man die hochmoderne, konzeptionelle Denkweise Emmy Noethers und die Eleganz Artinscher Gedankenfuhrung herauszuspiiren. Nun hat sich im Verlauf der langen Zeit die Mathematik doch wesent lich verandert, und wir leben heute in einer gewandelten Vorstellungswelt. Man muB sich daher der Frage stellen, welchen Sinn eine neuerliche Auflage des alten Buches noch erfullen kann. Ein Blick hinein gibt heute manchen interessanten AufschluB tiber die Akzentsetzung und die Dar stellungsweise des Stoffes in vergangener Zeit und somit auch tiber die Veranderungin den Auffassungen unserer Zeit, die yom kategoriellen und funktoriellen Standpunkt beherrscht werden. Das Buch wird also seinen historischen Wert behalten und verdient allein schon deshalb die Auf nahme in eine Reihe beriihmter Klassiker. Es ist aber auch noch immer als Lehrbuch zu empfehlen. Denn in der direkten Zuganglichkeit zu den Grundlagen der Algebra, die ein Kennzeichen des Buches ist, und in der klaren und unmittelbaren Darlegung der Dinge, die sich nicht scheut, die Sprache in den Dienst der Erlauterung zu stellen, wird mancher Studieren de auch heute noch einengeebneten Weg zum Verstiindnis finden. Dies wird ihm zum sicheren Gewinn, wenn sich das Studium in einem guten moder nen Lehrbuch der Algebra fortsetzt. Regensburg, Marz 1993 JORGEN NEUKIRCH Vorwort zur fiinften Auflage Herr P. ROQUETTE war so freundlich, mir einen schonen Beweis des Residuensatzes fUr algebraische Differentiale udz zur Verfiigung zu stellen. Dadurch konnte das Kapitel Algebraische Funktionen zu einem befriedigenden AbschluB gebracht werden. In der topologischen Algebra wurde die Komplettierung der Grup pen, Ringe und Schiefkorper nach BOURBAKI unabhangig vom zweiten Abzahlbarkeitsaxiom mittels Filter durchgefiihrt. Der SchluB des Kapi tels wurde gekiirzt. Das fUr viele Anwendungen wichtige Kapitel Lineare Algebra wurde an den Anfang gestellt, die topologische Algebra an den SchluB. Der Band besteht jetzt aus drei voneinander unabhangigen Gruppen von je drei Kapiteln: Kapitel 12-14: Lineare Algebra, Algebren, Darstellungstheorie. Kapitel 15-17: Idealtheorie. KapiteI18-20: Bewertete Korper, Algebraische Funktionen, Topo logische Algebra. Diese Gliederung wurde im schematischen Leitfaden (S. X) deutlicher als bisher zum Ausdruck gebracht. Zurich, Marz 1967 B. L. V AN DER WA ERDEN Aus dem Vorwort zur vierten Auflage Am Anfang des zweiten Bandes sind zwei neue Kapitel hinzu gekommen, namlim eines iiber algebraisme Funktionen einer Variablen, das bis zum Riemann-Romsmen Satz fUr beliebige Konstantenkorper vorstoBt, und eines iiber topologisme Algebra, in dem hauptsamlim die Komplettierung der topologismen Gruppen, Ringe und Smiefkorper behandelt wird. Herrn Dr. H. R. FISCHER, der diese beiden Kapitel im Manuskript kritism gelesen hat, danke im fiir viele niitzlime Be merkungen. Das Kapitel "Allgemeine Idealtheorie" wurde durm Aufnahme der wimtigen Satze von KRULL iiber symbolisme Potenzen von Primidealen und iiber Primidealketten erweitert. Der Zusammenhang der Ideal theorie der ganz-abgesmlossenen Ringe mit der Bewertungstheorie wurde deutlimer hervorgehoben. Dem Kapitel "Lineare Algebra" wurde ein Absmnitt iiber antisymmetrisme Bilinearformen zugefUgt. 1m Kapitel "AIgebren" wurden die Beispiele vermehrt, die Theorie des Radikals nam JACOBSON ohne Endlimkeitsbedingung entwickelt und die grundlegenden Ideen von EMMY No ETHER iiber direkte Summen und Dur~smnitte von Moduln starker betont. Durm Kombination der Methoden von JACOBSON mit denen von EMMY No ETHER konnten die Beweise der Hauptsatze stark vereinfamt werden. Durm Kiirzungen habe im versumt, den Umfang des Bumes in annehmbaren Grenzen zu halten. So ist das Kapitel "Eliminations theorie" weggefallen. Der Satz von der Existenz des Resultanten systems fiir homogene Gleimungen, der friiher mittels der Eliminations theorie bewiesen wurde, ersmeint jetzt in § 121 als Folge des Hilbert smen Nullstellensatzes. Zurich, Juni 1959 B. L. VAN DER WAERDEN Inhaltsverzeichnis Zwolftes Kapitel. Lineare Algebra . . . . § 84. Moduln iiber einem Ring . . . . . . . 1 § 85. Moduln iiber euklidische Ringe. Elementarteiler 3 § 86. Der Hauptsatz iiber abelsche Gruppen 7 § 87. Darstellungen und Darstellungsmoduln 11 § 88. Normalformen fiir eine Matrix in einem kommutativen Korper 14 § 89. Elementarteiler und charakteristische Funktion . 18 § 90. Quadratische und Hermitesche Formen 21 § 91. Antisymmetrische Bilinearformen . . . . . 29 Dreizehntes Kapitel. Algebren. . 33 § 92. Direkte Summen und Durchschnittc 34 § 93. Beispiele von Algebren. . . . . 37 § 94. Produkte und verschriinkte Produkte 42 § 95. Algebren als Gruppen mit Operatoren. Moduln und Darstellungen 49 § 96. Das kleine und das groge Radikal 53 § 97. Das Sternprodukt .......... 57 § 98. Ringe mit Minimalbedingung . . . . . . 59 § 99. Zweiseitige Zerlegungen und Zentrumszerlegung 63 § 100. Einfache und primitive Ringe. . . . . . . 66 § 101. Der Endomorphismenring einer direkten Summe 70 § 102. Struktursiitze fur halbeinfadte und einfadte Ringe 72 § 103. Das Verhalten der Aigebren bei Erweiterung des Grundkorpers 74 Vierzehntes Kapitel. Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren . . . . . . . . . 78 § 104. Problemstellung . . . . 78 § 105. Darstellung von Aigebren . 80 § 106. Die Darstellungen des Zentrums 84 § 107. Spuren und Charaktere. . . . 86 § 108. Darstellungen endlicher Gruppen 88 § 109. Gruppencharaktere . . . . . 92 § 110. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppen 97 § 111. Halbgruppen von linearen Transformationen 101 § 112. Doppelmoduln und Produkte von Aigebren 103 S 113. Die Zerfiillungskorper einer einfachen Algebra 110 § 114. Die Brauersche Gruppe. Faktorensysteme. . . 112 x Inhaltsverzeichnis Fun/zehntes Kapitel. Allgemeine Iclealtheorie cler kommutativen Ringe. . . . . . . . 120 § 115. Noethersche Ringe . . . . . . . 120 § 116. Produkte und Quotienten von Idealen 124 § 117. Primideale und Primarideale . 128 § 118. Der allgemeine Zerlegungssatz . . . 132 § 119. Der erste Eindeutigkeitssatz . . . . 136 § 120. Isolierte Komponenten und symbolische Potenzen 139 § 121. Theorie der teilerfremden Ideale 141 § 122. Einartige Ideale . . . . . . . . . . 145 § 123. Quotientenringe . . . . . . . . . . 147 § 124. Der Durchschnitt aller Potenzen eines Ideals 149 § 125. Die Lange eines Primarideals. Primaridealketten in Noethcrschen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Sechzehntes Kapitel. Theorie cler Polynomicleale. 155 § 126. Algebraische Mannigfaltigkeiten 155 § 127. Universalkorper . . . . . . 158 § 128. Die Nullstellen eines Primideals 159 § 129. Die Dimensionszahl . . . . . 161 § 130. Der Hilbertsche Nullstellensatz. Resultantensysteme fur homogene Gleichungen ....... 163 § 131. Die Primarideale. . . . . . . . . . . . . . . . . 166 § 132. Der Noethersche Fundamentalsatz . . . . . . . . . . . 169 § 133. Zuruckfiihrung der mehrdimensionalen Ideale auf null dimension ale 172 Siebzehntes Kapitel. Ganze algebraische GroBen. 175 § 134. Endliche ~-Moduln . . . . . . . 176 § 135. Ganze GroBen in bezug auf einen Ring . . . . 178 § 136. Die ganzen GroBen eines Korpers . . . . . . 181 § 137. Axiomatische Begrundung der klassischen Idealtheorie 186 § 138. Umkehrung und Erganzung der Ergebnisse . . . . 189 § 139. Gebrochene Ideale . . . . . . . . . . . . 192 § 140. Idealtheorie beliebiger ganz-abgeschlossener Integritatsbereiche 193 Achtzehntes Kapitel. Bewertete Korper 200 § 141. Bewertungen . . . . . . . . . 200 § 142. Komplette Erweiterungen . . . . . 206 § 143. Die Bewertungen des Korpers der rationalen Zahlen 211 § 144. Bewertung von algebraischen Erweiterungskorpern: Kompletter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 § 145. Bewertung von algebraischen Erweiterungskorpern: Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 221 § 146. Bewertungen von algebraischen Zahlkorpern 223 § 147. Bewertungen des rationalen Funktionskorpers LI (x) 229 § 148. Der Approximationssatz . . . . . . . . . 232 Inhaltsverzeichnis XI Neunzehntes Kapitel. Algebraisme Funktionen einer Variablen ................ . 234 § 149. Reihenentwidclungen nach Ortsunifonnisierenden 235 § 150. Divisoren und ihre Multipla . . . . . . 239 § 151. Das Geschlecht g . . . . . . . . . . 242 § 152. Vektoren und Kovektoren ..... . 246 § 153. Differentiale. Der Satz vom Spezialitatsindex 248 § 154. Der Riemann-Rochsche Satz . . . . . . 252 § 155. Separable Erzeugung von Funktionenkorpern 255 § 156. Differentiale und Integrale im klassischen Fall 257 § 157. Beweis des Residuensatzes ..... 261 Zwanzigstes Kapitel. Topologische Algebra 266 § 158. Der Begriff topologischer Raum . . . 266 § 159. Umgebungsbasen . . . . . . . . 267 § 160. Stetigkeit. Limites . . . . . , . 269 § 161. Trennungs- und Abzahlbarkeitsaxiome 269 § 162. Topologische Gruppen . . . . 270 § 163. Die Umgebungen der Eins 271 § 164. Untergruppen und Faktorgruppen 273 § 165. T-Ringe und T-Schiefkorper . . 274 § 166. Gruppenkomplettierung durch Fundamentalfolgen 276 § 167. Filter. . . . . . . . . . . . . . 280 § 168. Gruppenkomplettierung durch Cauchy-Filter 282 § 169. Topologische Vektorraume. . . . 286 § 170. Ringkomplettierung . . . . . . 288 § 171. Komplettierung von Schiefkorpern 290 Namen- und Sachverzeichnis 293
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