Algebra I. Elemi és lineáris algebra

335 Pages·2014·2.04 MB·Hungarian

by  Fried Ervin

ALGEBRA I.
Elemi és lináris algebra

Fried Ervin
ALGEBRA I.
Elemi és lineáris algebra
Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
Felsőoktatási tankönyv
Megjelent az Oktatási Minisztérium támogatásával
a Felsőktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított
felsőoktatási tankönyv-támogatási propgram keretében
Bírálók
Dr. Csákány Béla
egyetemi tanár
Dr. Pálfy Péter Pál
egyetemi tanár
A mű más kiadványokban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve
sokszorosítása a jogtulajdonos engedélye nélkül tilos!
ISBN 963 19 1176 4
(cid:2)c Fried Ervin, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest 2000, jogutód Fried Katalin 2013
TARTALOM
Előszó .......................................................................... 9
I. RÉSZ. ELEMI ALGEBRA .................................................. 11
ELSŐ FEJEZET
Komplex számok ............................................................... 13
1. A természetes számoktól a valós számokig ................................... 13
2. A komplex számok bevezetése .............................................. 23
3. A komplex számok geometriai bevezetése .................................... 29
4. A komplex számok trigonometrikus alakja .................................... 33
MÁSODIK FEJEZET
Mátrixok ....................................................................... 43
1. A mátrix definíciója ........................................................ 43
2. Műveletek a mátrixokkal .................................................... 46
3. Permutációk ................................................................ 53
4. A determináns .............................................................. 56
5. A determináns kifejtése ..................................................... 62
6. Speciális mátrixok .......................................................... 65
HARMADIK FEJEZET
Egyhatározatlanú polinomok ..................................................... 71
1. Az egyhatározatlanú polinomok fogalma ..................................... 71
2. Maradékos osztás és oszthatóság ............................................. 78
3. Polinomideálok és a legnagyobb közös osztó ................................. 82
4. Polinomok egyértelmű felbontása ............................................ 85
5. Polinomok kompozíciója, behelyettesítés ..................................... 87
6. Polinomfüggvény, interpoláció ............................................... 92
7. A legfeljebb negyedfokú polinomok gyökeinek meghatározása ................. 95
8. Az algebra alaptételének ekvivalens alakjai .................................. 102
ALGTART /5 2014.október12.–13:33
6 Tartalom
9. Racionális és egész együtthatós polinomok .................................. 107
10. Euklideszi gyűrűk ........................................................ 114
NEGYEDIK FEJEZET
Többhatározatlanú polinomok ................................................... 119
1. A többhatározatlanú polinomok fogalma .................................... 119
2. Kompozíció, maradékos osztás, oszthatóság többhatározatlanú polinomokra .... 124
3. Egyhatározatlanú polinomok deriváltja és többszörösgyökei .................. 127
4. Szimmetrikus és alternáló polinomok ....................................... 132
5. Lineáris egyenletrendszerek megoldása ...................................... 142
II. RÉSZ. LINEÁRIS ALGEBRA ............................................ 145
ELSŐ FEJEZET
Vektorterek .................................................................... 147
1. A vektortér fogalma és elemi tulajdonságai .................................. 147
2. Lineáris kombináció és lineáris függés ...................................... 154
3. Lineáris összefüggésés függetlenség ........................................ 157
4. Generátorrendszer és bázis ................................................. 160
MÁSODIK FEJEZET
Vektortér-konstrukciók ......................................................... 165
1. Alterek, lineáris alakzatok .................................................. 165
2. Faktorterek ............................................................... 171
3. Direkt összeg és direkt szorzat ............................................. 174
HARMADIK FEJEZET
Lineáris leképezések ........................................................... 181
1. Homogén lineáris leképezések értelmezése .................................. 181
2. Lineáris leképezések elemi tulajdonságai .................................... 184
3. A lineáris leképezések tere ................................................. 189
4. Lineáris leképezések szorzása .............................................. 191
5. Lineáris függvények és a duális tér ......................................... 197
NEGYEDIK FEJEZET
Koordinatizálás ................................................................ 200
1. Vektorok koordinátái és leképezések mátrixa ................................ 200
2. Áttérés új bázisra .......................................................... 207
3. Mátrix rangja és inverze ................................................... 209
ALGTART /6 2014.október12.–13:33
7
ÖTÖDIK FEJEZET
Bihomomorfizmusok ........................................................... 216
1. Bilineáris leképezések, bilineáris formák .................................... 216
2. Bilineáris függvények mátrixa .............................................. 221
3. Homogén koordináták, kvadratikus alakok a valós térben ..................... 223
4. Kvadratikus alakok négyzetösszeggétranszformálása ......................... 227
5. Bilineáris függvények és kvadratikus alakok a komplex térben ................ 230
HATODIK FEJEZET
Euklideszi terek ............................................................... 236
1. A valós euklideszi tér ...................................................... 236
2. A valós euklideszi terek geometriája ........................................ 239
3. A komplex euklideszi tér ................................................... 245
HETEDIK FEJEZET
Az euklideszi tér lineáris transzformációi ........................................ 246
1. Lineáris transzformációk polinomja ......................................... 246
2. Lineáris transzformációk invariáns alterei az euklideszi térben ................ 252
3. Szimmetrikus és önadjungált transzformációk ................................ 256
4. Ortogonális és unitér transzformációk ....................................... 258
5. Kvadratikus alakok az euklideszi térben ..................................... 264
NYOLCADIK FEJEZET
A karakterisztikus polinom ..................................................... 267
1. A determináns ............................................................ 267
2. Polinommátrixok normálalakja, karakterisztikus polinom ..................... 272
3. Mátrixpolinomok, invariáns faktorok ........................................ 281
4. A Jordan-féle normálalak .................................................. 285
KILENCEDIK FEJEZET
Determinánsok alkalmazása ..................................................... 291
1. Lineáris egyenletrendszerek megoldása ...................................... 291
2. Homogén lineáris egyenletrendszerek ....................................... 293
3. A rezultáns ............................................................... 294
4. Lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása .............................. 298
5. A Cramer-szabály ......................................................... 299
6. Kvadratikus alakok jellegének a megállapítása ............................... 300
ALGTART /7 2014.október12.–13:33
8 Tartalom
TIZEDIK FEJEZET
Tenzorok ...................................................................... 305
1. A tenzorszorzat ........................................................... 305
2. A tenzorszorzat elemi tulajdonságai ......................................... 311
3. Mátrix-előállítások, tenzor koordinátái ...................................... 318
4. A tenzoralgebra, szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok .................. 320
5. Alkalmazások ............................................................. 324
Betűrendes mutató ............................................................. 327
ALGTART /8 2014.október12.–13:33
ELŐSZÓ
Ez a tankönyv elsődlegesen az Eötvös Loránd Tudományegyetem elsőéves matema-
tikus és alkalmazott matematikus hallgatói számára készült, e szakoknak a tematikáját
követi; az elemi algebrai és alineáris algebrai ismeretek a matematika szinteminden terü-
letén és az alkalmazásokban is nélkülözhetetlenek. Emellett a lineáris algebra szükségsze-
rűen absztrakttárgyalása jó átmenetet nyújtatervezett másodikkötetben szereplő algebrai
struktúrákhozis.
Ma már Magyarországon (is) sok egyetemi szintű jegyzet és tankönyv foglalkozik az
elemi és lineáris algebra tárgyalásával. Ezek mindegyike más felfogásban tárgyalja a fenti
tananyagot,ezértnemlehetetankönyveketrangsorolni;tulajdonképpenjólkiegészítikegy-
mást. Ez a tankönyv az 1977-ben megjelent Klasszikus és lineáris algebra c. tankönyvem
pótlásárakészült,amelyneklegutóbbikiadásaiselfogyott.Tekintettelarra,hogyazidézett
tankönyvhöz képest lényeges változtatásokat éreztem szükségesnek (többek között szeret-
tem volna egységesíteniaz ugyancsak nem kapható Általános algebra c. tankönyvemmel),
ezért nem tartottam jónak a fenti tankönyv újabb — lényegében változatlan — kiadását.
Nemváltoztattamakönyv„szellemén”,atananyagotisfőlegbővítettem.Atételekbizonyí-
tásában a leglényegesebb változás az, hogy az ottani formalizmust igyekeztem elkerülni,
arra törekedve, hogy a definíciók ne „ügyesek”, hanem a lényeget jobban megmutatók
legyenek.
Akötetkétrészreoszlik.Azelsőrésztárgyaaklasszikusvagyelemialgebra.Aközép-
iskolábantanultszámfogalomátismétléseésnéhányáltalánosalgebraifogalom(elnevezés)
bevezetése után a komplex számok ismertetése következik. Ezek után a mátrixok, majd a
determinánsbevezetésérekerülsor.Erésznekabefejezésekéntazegy-éstöbbhatározatlanú
polinomokat tárgyaljuk. Itt alapvető szempont a fogalmak minél tisztább, minél precízebb
bevezetése. Csak ezután kerülhet sor az érdemi tárgyalásra.
A második rész a lineáris algebra. A lineáris algebra eredetileg elsősorban a lineáris
egyenletrendszerekkel foglalkozott. Ehhez a mátrixok és ezekhez kapcsolódvaa koordiná-
tákszolgáltattákamódszert.Efelfogássalszembennagyváltozástjelentettatömörjelölés-
mód,amelybenavektorterekésa lineárisleképezésekjutottak szóhoz.Ennekmegfelelően
a fogalmak geometriai jelentést kaptak; ezáltal sokkal világosabbá váltak. Éles ellentét-
ként afogalmak absztraktabbak lettek, ami azelvontabb tárgyalásmódottette szükségessé.
A fentebb említett tankönyvhöz képest igyekeztem ezen enyhíteni, ahol tudtam (mind a
definíciókban, mind a tárgyalás sorrendjében).A könyvben jelöli abizonyítások, illetve
definíciók és jelöli a megjegyzések végét. (cid:0)
(cid:2)
ALG-ELO/9 2014.október12.–13:33