Algebra I

216 Pages·2018·1.506 MB·Italian

by  Carlo Casolo

Corso di Laurea in Matematica
ALGEBRA I
dispense anno 2018
2
La parola “algebra” proviene da un libro scritto nel 830 dall’astronomo Mohammed
ibn Musa al-Kouwârizmi e intitolato Al-jabr w’al muqâbala. La parola al-jabr signi-
fica “ristabilire” e in questo comtesto significa ristabilire l’equilibrio di un’equazione
scrivendo in un suo membro un termine che era stato eliminato nell’altro membro
[...]. Al-jabr venne anche a significare “conciaossa” e quando i Mori trasportarono
il termine in Spagna esso divenne algebrista, continuando a conservare quest’ulti-
mo significato. In quel periodo era molto comune in Spagna vedere un’insegna con
la scritta “Algebrista y Sangrador” (conciaossa e salassatore) sopra l’ingresso delle
botteghe dei barbieri.
[M. Kline, Storia del pensiero matematico]
I matematici si devono applicare ai problemi più astrusi e remoti dall’esistenza ma-
teriale, ed a questo scopo la loro mente deve ignorare i sensi e dev’essere addestrata
adavereamalapenaunminimorapportoconilcorpo; perciòimatematicisonotutti
tardi,distratti,letargiciemaialoroagionegliaffaridituttiigiorni. Diconseguenza,
ogni loro organo e di fatto il loro intero corpo si sforma e diviene torpido e debo-
le; quasi condannato ad una perpetua oscurità. Infatti mentre la mente è intenta a
questi studi, la luce degli istinti animali viene compressa nel suo centro e non può
espandersi a illuminare nient’altro che non sia il cervello.
[B. Ramazzini, De Morbis Artificum Diatriba1]
1Bernardino Ramazzini (1633–1714) non era un bischero qualsiasi, ma anzi uno studioso di no-
tevole libertà intellettuale, considerato, oggi, il fondatore della medicina del lavoro. Né è possibile
liquidarlocomeun“peritodiparte” dalledubbieintenzioni,datochefutral’altroottimoamicodi
Leibniz,cheospitòacasasuaaModenanel1690,egrazieallereferenzedelqualedivenne,nel1706,
ilprimoitalianoammessoall’AccademiadelleScienzediBerlino. InFirenze,ViaB.Ramazzinièla
primatraversadiViaG.D’Annunzio(all’altezzadelcinema).
Indice
I Parte prima: INSIEMI E NUMERI 5
1 Insiemi 7
1.1 Insiemi e sottoinsiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operazioni tra insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Composizione di applicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Cardinalità di insiemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Complementi: Cenni di calcolo proposizionale. . . . . . . . . . . . . . 32
2 Numeri 39
2.1 Numeri interi e Principio di Induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Combinatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Rappresentazioni b-adiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Divisibilità e MCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 I Numeri Complessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Operazioni e relazioni 71
3.1 Operazioni binarie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Equivalenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Relazioni d’ordine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Complementi: Reticoli e algebre di Boole . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Primi passi nella teoria dei numeri 97
4.1 Equazioni diofantee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Congruenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Funzioni moltiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 Complementi: Il sistema crittografico RSA. . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
4 INDICE
II Seconda parte:
ANELLI E POLINOMI 119
5 Anelli 121
5.1 Prime proprietà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Tipi di anello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Ideali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4 Omomorfismi e isomorfismi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6 Anelli notevoli 139
6.1 Anelli di classi di congruenza. Caratteristica di un anello . . . . . . . 139
6.2 Anelli di matrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Campo delle frazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Quaternioni.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7 Fattorizzazioni 157
7.1 Divisibilità e fattorizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Ideali massimali e ideali primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3 Domini a Ideali Principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4 Interi di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Polinomi 173
8.1 Definizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2 Divisione tra polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3 Radici e fattorizzazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.4 Fattorizzazioni in Z[x] e Q[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Quozienti 197
9.1 Anelli quoziente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.2 Quozienti e omomorfismi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3 Quozienti di un PID e di F[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4 Estensioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Parte prima: INSIEMI E NUMERI
5

1
Insiemi
1.1. Insiemi e sottoinsiemi.
Inquestenote,ilconcettodiinsiemeverràassuntoinunaforma’ingenua’,elateoria
relativa sarà trattata in modo pragmatico, prescindendo da una formulazione assio-
maticadellastessa. Perquantoattieneaifinidiquestocorso,sitrattaprincipalmente
di fissare un linguaggio, che è poi quello di base di buona parte della matematica.
I fondamenti della teoria degli insiemi sono in genere oggetto di studio nei corsi su-
periori di logica. Dunque, assumeremo come primitivi i concetti di oggetto (o ente),
insieme, elemento, appartenenza.
In genere si utilizzano lettere maiuscole, come A,X,S,... per indicare gli insiemi, e
lettere minuscole, come a,a(cid:48),x,y,α,... per gli elementi di un insieme.
Alcuni insiemi particolarmente importanti hanno un simbolo in esclusiva:
– N indicherà sempre e solo l’insieme di tutti i numeri naturali, cioè dei numeri
0,1,2,3,4....
– Z è l’insieme dei numeri interi; cioè l’insieme dei numeri 0,1, 1,2, 2,3, 3,...
− − −
– Q è l’insieme dei numeri razionali; cioè dei numeri m, dove m,n Z e n=0;
n ∈ (cid:54)
– R è l’insieme dei numeri reali;
– C è l’insieme dei numeri complessi.
La definizione rigorosa di questi insiemi a partire dall’insieme N è argomento che -
se mai - tratteremo più avanti; per il momento dovrebbe essere sufficiente la nozione
che si ha di essi dalle scuole superiori (e chi ancora non conosce i numeri complessi,
non si allarmi: li definiremo rigorosamente nella sezione 2.6).
Il simbolo indica l’appartenenza di un elemento ad un certo insieme; a X (che si
∈ ∈
legge "a appartiene a X”) significa cioè che a è un elemento dell’insieme X. Con il
simbolo si intende la non appartenenza: a X significa che a non è un elemento
dell’insie(cid:54)∈meX. Adesempio, 2 Nmentreπ (cid:54)∈N(ricordocheπ èilnumerorealeche
∈ (cid:54)∈
esprime il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro).
Uno specifico insieme verrà di solito descritto mediante informazioni delimitate da
parentesi graffe: .... . L’informazione può essere costituita dall’indicazione diretta
{ }
degli elementi dell’insieme, oppure dalle proprietà che ne individuano univocamente
gli elementi. Ad esempio, l’insieme i cui elementi sono i numeri naturali 2,3,4 può
essere descritto nelle seguenti maniere (e, naturalmente, in molte altre):
2,3,4 , x x N e 2 x 4 .
{ } { | ∈ ≤ ≤ }
7
8 CAPITOLO 1. INSIEMI
Nellasecondamodalità(chespessoevolentierisiaccorciain x N 2 x 4 ), la
{ ∈ | ≤ ≤ }
barraverticale segnalacheciòchesegueèsonoleproprietà(predicati)cheservono
|
ad individuare gli elementi dell’insieme. A volte, invece della barra, si usano i ’due
punti’. Ad esempio 2x:x N è l’insieme dei numeri interi pari.
{ ∈ }
Èopportunoosservarechenél’ordineconcuisonodescrittiglielementidiuninsieme,
né eventuali ripetizioni, modificano l’insieme. Ad esempio, le scritture:
1,2 , 1,2,1 , 2,1
{ } { } { }
descrivono tutte il medesimo insieme.
Inoltre, è bene sapere che gli elementi di un insieme possono anche essere di ’natura’
diversa; ad esempio, gli elementi dell’insieme X = 1, 1 , sono il numero intero 1 e
{ { }}
l’insieme 1 (X contiene quindi due elementi distinti).
{ }
È conveniente contemplare anche la possibilità che un insieme sia privo di elementi.
In matematica è infatti frequente la possibilità di considerare proprietà che non sono
soddisfattedaalcunoggetto(inuncertoinsiemeuniverso). Taliproprietàdefiniscono
quindiinsiemiprividielementi. Adesempio,l’insiemedeinumeriinteriparichesono
potenza di tre non contiene alcun elemento.
L’insiemeprivodielementisidenotacon esichiamainsiemevuoto. Adesempio,
∅
è vuoto l’insieme delle soluzioni reali del sistema di equazioni
(cid:26)
2x+3y =3
xy =1
Questo si può scrivere così: (x,y) x,y R, 2x+3y =3 e xy =1 = .
{ | ∈ } ∅
Assumeremo, almeno per il momento, come primitivo anche il concetto di numero di
elementi di un insieme. Sia X un insieme; diremo che X è un insieme finito se X
contiene un numero finito di elementi; in tal caso, se il numero di elementi di X è n,
scriviamo X = n. Ad esempio, 1,2,6,8 = 4 , e = 0. Se invece X contiene
| | |{ }| |∅|
un numero infinito di elementi, diremo che X è un insieme infinito e scriveremo
X = . Ad esempio N = . Il simbolo X (che quindi, per quanto riguarda un
| | ∞ | | ∞ | |
approccio introduttivo, sarà oppure un numero naturale), lo chiameremo ordine
∞
(o cardinalità) dell’insieme X.
Paradosso di Russell. Anchesesitrattadiunainsidiachenonsipresenterànell’am-
bito della nostra utilizzazione del linguaggio della teoria degli insiemi, è opportuno
avvertire che non tutto ciò che ci si presenta intuitivamente come una "proprietà"
può essere utilizzato per definire un insieme. L’esempio più famoso ed importante
per la nascita di quella che sarà poi la teoria assiomatica degli insiemi è il cosiddetto
Paradosso di Russell.
Per illustrare il paradosso, diciamo che un insieme è normale se non contiene se stes-
so come elemento (si può pensare ad esempio all’insieme di tutti i concetti astratti:
questo è, direi, un concetto astratto esso stesso, quindi contiene se stesso come ele-
mento,nonèdunqueuninsiemenormale). Intuitivamente,l’esserenormaleciappare
senz’altro come una proprietà ’sensata’; ma cosa accade quando la utilizziamo per
definire un insieme ?
Definiamo cioè l’insieme N i cui elementi sono tutti gli insiemi normali. Quindi
N = X X è un insieme e X X .
{ | (cid:54)∈ }
1.1. INSIEMI E SOTTOINSIEMI. 9
A questo punto, se N è un insieme, esso è o non è normale. Analizzate le due
possibilità: entrambeconduconoadunacontraddizione. QuindiN nonèuninsieme;
non ogni proprietà costituisce una definizione.
Il paradosso di Russel mostra che "qualche cosa non si può fare". Il concetto di insieme va
quindi specificato in modo più accurato. Il punto del paradosso non è tanto l’immaginarsi
comepossaavvenirecheuninsiemecontengasestesso(generandounprocessoall’infinito),
quanto il fatto che una certa relazione tra enti (quella di appartenenza) venga usata in
modo"autoreferenziale". Questoèallabasedimoltialtri’paradossilogici’,comequellodel
mentitore, del barbiere, etc.che alcuni già conosceranno e nei quali non si fa riferimento a
processiall’infinito. Peressereassolutamentemodernivediamounesempioriferitoallarete
Internet.
Comesisa,levariepagineInternetaccessibiliinretecontengonodiverseconnessioni(links)
ad altre pagine; tali connessioni sono di norma segnalate da una o più parole sottolineate.
Ora, vi sono pagine che contengono un link a se stesse (tipicamente le cosiddette "home
pages"), altre (la maggioranza) che non contengono un link a se stesse. Il numero totale
di pagine (nel mondo, o possiamo limitarci ad ambiti più ristretti - non cambia nulla) è
comunque finito. Supponiamo che io (il Grande Fratello) chieda al mio capo tecnico di
allestireunapaginaInternetchecontengaunlinkatutteesolelepaginechenonhannolink
asestesse... Secipensateunattimo,vedetecheunatalepaginanonsipuòfare,echetale
"paradosso" è molto simile al paradosso di Russell (ma non è esattamente la stessa cosa:
per un’introduzione un poco più approfondita al paradosso di Russell ed ad altri paradossi
ad esso collegati si può intanto vedere qui).
Sottoinsiemi. Siano S e A insiemi: S si dice sottoinsieme di A, e si scrive
S A,
⊆
se ogni elemento di S appartiene ad A.
Se S A si dice anche che S è incluso in A. Ad esempio N Z Q, 1,6
6,3,2⊆,1 , mentre 1,6 xx N e 2 divide x , dove natura⊆lmen⊆te S {A si}gn⊆i-
{ } { } (cid:54)⊆ { | ∈ } (cid:54)⊆
fica che S non è sottoinsieme di A, ovvero che esiste almeno un elemento x tale che
x S ma x A.
∈ (cid:54)∈
Dalla definizione è immediato che ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso, così
come che l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme. Quindi:
per ogni insieme A: A e A A.
∅⊆ ⊆
È anche chiaro che l’inclusione tra insiemi è una proprietà transitiva; ovvero, se
A,B,C sono insiemi con A B e B C, allora A C.
⊆ ⊆ ⊆
Uguaglianza di insiemi. Due insiemi A e B sono uguali (si scrive A = B) se
ogni elemento di A è elemento di B e viceversa. Quindi A = B se è soddisfatta la
doppia inclusione : A B e B A. Spesso, per provare l’uguaglianza di due
⊆ ⊆
insiemisidimostraappuntoladoppiainclusione; esempidiquestometodositrovano
nelledimostrazionidelleProposizionidellepagineseguenti. Chiaramente,perprovare
invece che due insiemi non sono uguali è sufficiente trovare un elemento di uno dei
due insiemi che non appartiene all’altro.
Esempi. - 1,2,3 = x x Z,1 x √10 ;
{ } { | ∈ 2 ≤ ≤ }
- 1, 1 = 1 ;
{ { }}(cid:54) { }
- 1 1 , 2 ;
{ }(cid:54)⊆{{ } { }}
10 CAPITOLO 1. INSIEMI
- , , = , .
{∅ {∅} ∅} {∅ {∅}}
UnsottoinsiemeS dell’insiemeAsidicepropriosenoncoincideconA,ovveroS A
⊆
e S =A. Per indicare che S è un sottoinsieme proprio di S scriveremo S A.
(cid:54) ⊂
Insieme delle parti. Dato un insieme A, allora la collezione di tutti i sottoinsiemi
diAcostituisceuninsieme,dettoinsieme della parti(oinsiemepotenza)dell’insieme
A, che si denota con (A). Quindi
P
(A)= X X A .
P { | ⊆ }
Esempi. Se X = 1,2 , allora (X)= , 1 , 2 , 1,2 ;
{ } P {∅ { } { } { }}
( )= = ;
P ∅ {∅}(cid:54) ∅
( ( ))= , .
P P ∅ {∅ {∅}}
Osserviamo che, per ogni insieme X si ha (X) e X (X).
∅∈P ∈P
Più avanti in questi appunti dimostreremo il seguente importante fatto: se A è un
insieme finito e A =n, allora (A) =2n..
| | |P |
1.2. Operazioni tra insiemi.
Siano A e B insiemi.
Unione. Si chiama unione di A e B e si denota con A B, l’insieme i cui elementi
∪
sono gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B. Quindi
A B = x x A o x B .
∪ { | ∈ ∈ }
Intersezione. Si chiama intersezione di A e B e si denota con A B, l’insieme i cui
∩
elementi sono gli oggetti che appartengono sia ad A che a B. Quindi
A B = x x A e x B .
∩ { | ∈ ∈ }
Esempi. 1) Siano A= 1,0,1 e B = 2x x N, 0 x 3 , allora
{− } { | ∈ ≤ ≤ }
A B = 1,0,1,2,4,6 e A B = 0 .
∪ {− } ∩ { }
2) Siano P = x x N, 2 divide x e D = x x N, 2 non divide x , rispet-
{ | ∈ } { | ∈ }
tivamente, l’insieme dei numeri naturali pari e quello dei numeri naturali dispari,
allora
P D =N e P D = .
∪ ∩ ∅
Laverificadelleseguentiosservazioni,cheècomunqueutileformulareesplicitamente,
è immediata: Siano A,B insiemi; allora
A=A e A= ;
• ∪∅ ∅∩ ∅
A A B e A B A;
• ⊆ ∪ ∩ ⊆
A=A B se e solo se B A;
• ∪ ⊆