Álgebra homológica y álgebra conmutativa

269 Pages·2015·2.74 MB·Spanish

by  Carlos Ivorra

Carlos Ivorra Castillo
´
ALGEBRA
´
HOMOLOGICA Y
´
ALGEBRA
CONMUTATIVA

Los geo´metrasse imaginanlas matema´ticas, los
analistas las hacen y los algebristas las entienden.

´
Indice General
Introduccio´n vii
1 A´lgebra homolo´gica 1
Cap´ıtulo I: Funtores derivados 3
1.1 Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Espacios anillados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Categor´ıas y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Mo´dulos inyectivos y proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Resoluciones inyectivas y proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Funtores derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 Caracterizacio´n axioma´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Cap´ıtulo II: Ejemplos de funtores derivados 51
2.1 Los funtores Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Grupos de cohomolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Mo´dulos localmente libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Los funtores Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Cohomolog´ıa en espacios paracompactos . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6 La cohomolog´ıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7 La cohomolog´ıa de Alexander-Spanier . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.8 La cohomolog´ıa de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.9 La estructura multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 A´lgebra conmutativa 95
Cap´ıtulo III: La geometr´ıa af´ın 97
3.1 Mo´dulos de cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Conjuntos algebraicos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 La topolog´ıa de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4 El espectro de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5 Primos asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
v
vi ´INDICE GENERAL
3.6 Extensiones enteras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.7 La dimensio´n de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.8 Funciones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Cap´ıtulo IV: Anillos locales 145
4.1 Compleciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Topolog´ıas inducidas por ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3 Anillos y mo´dulos artinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4 El polinomio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.5 El teorema de la dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Cap´ıtulo V: Regularidad 183
5.1 El teorema de la altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.2 Anillos locales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3 Sucesiones regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 Anillos de Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.5 La dimensio´n proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.6 Variedades regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Ap´endice A: Mo´dulos planos 233
Ap´endice B: Im´agenes directas e inversas de mo´dulos 247
Bibliograf´ıa 255
´Indice de Materias 256
Introduccio´n
El propo´sito original de este libro era presentar los resultados sobre ´algebra
conmutativa necesarios para un futuro libro de geometr´ıa algebraica moderna
(teor´ıa de esquemas). Algunos de estos resultados requieren para su demos-
tracio´nunabasede´algebrahomolo´gica,queenunaprimeraredaccio´naparec´ıa
intercalada en los distintos cap´ıtulos a medida que iba siendo necesaria y, para
las demostraciones, remit´ıa a menudo a mi libro de Topolog´ıa algebraica. Sin
embargo, dado que la teor´ıa de esquemas requiere una exposicio´n ma´s general
del´algebrahomolo´gicaquelaqueenprincipioexigir´ıalafinalidaddeestelibro,
decid´ı finalmente tratar esta materia con la generalidad necesaria a largo plazo
en un primer cap´ıtulo preliminar. Me encontr´e entonces con que la teor´ıa de
esteprimercap´ıtulotieneaplicacionesalatopolog´ıaalgebraicayalageometr´ıa
diferencial ma´s inmediatas que sus pretendidas aplicaciones a la teor´ıa de es-
quemas, por lo que decid´ı incluirlastambi´en en el presente libro. A su vez, este
tratamiento del ´algebra homolo´gica hac´ıa natural anticipar algunos resultados
que en un principio pensaba introducir en el libro sobre teor´ıa de esquemas.
El resultado final es que, formalmente, este libro ha pasado de ser un libro
de´algebraconmutativaatenerdospartesdeaproximadamenteigualpeso: una
primera de ´algebra homolo´gica, dividida en dos cap´ıtulos, y una segunda de
´algebraconmutativa, divididaentres. Porotraparte,encuantoa sucontenido
se pueden distinguir tres niveles, que pueden dar lugar a tres lecturas diferen-
tes segu´n los intereses de cada lector. En primer lugar esta´n los resultados de
´algebra homolo´gica con aplicaciones a la topolog´ıa algebraica y a la geometr´ıa
diferencial; en segundo lugar esta´n los resultados de ´algebra conmutativa que
incluyen una parte de ´algebra homolo´gica; y en tercer lugar esta´n los resulta-
dos de ´algebra homolo´gica —ma´s un ap´endice en el que se combinan las dos
´algebras— incluidos aqu´ı para referirme a ellos en el citado libro de geometr´ıa
algebraica, y que ser´ıa razonable omitir en una primera lectura.
Prescindiendode algunosejemplosy comentariosmarginales,el esquemade
dependencia entre las distintas partes es el que aparece en la pa´gina siguiente.
La primera columna contiene los resultados de ´algebra homolo´gica (Cap´ıtulo I)
y sus aplicaciones relacionadas con la geometr´ıa diferencial y la topolog´ıa alge-
braica. En la seccio´n 2.1 se construyen los funtoresTor, que son la u´nicaherra-
mientacohomolo´gicanecesariaenlapartede´algebraconmutativa,mientrasque
lassecciones2.3y2.4contienenpropiedadessobrelosmo´duloslocalmentelibres
y sobre los funtores Ext que no tendra´n ninguna aplicacio´n en este libro, pero
quesonnecesariosenlateor´ıadeesquemas(ylomismovaleparalosresultados
vii
viii Introduccio´n
sobre los funtores f y f estudiados en el ap´endice B). La tercera columna
∗
∗
corresponde a los resultados de ´algebra conmutativa propiamente dicha. En la
seccio´n 2.5 se usara´ un resultado sobre mo´dulos que aparece demostrado en el
ap´endiceA,sibienlapruebasebasau´nicamenteenresultadoselementales. Por
u´ltimo,lasaplicacionesdelassecciones2.6–2.9hacenreferenciaalosresultados
detopolog´ıaalgebraicaygeometr´ıadiferencialqueaparecendemostradosenmi
libro de Topolog´ıa Algebraica.
Cap´ıtulo I Cap´ıtulo III
≤≤ SSSSSSSSSSSSSSS)) ≤≤
Seccio´n 2.2 Seccio´n 2.1 Cap´ıtulo IV
≤≤ SSSSSSSSSSSSSSS)) DDDRDRDRDRDDRDRDRRRRRRR(( ≤≤
Seccio´n 2.5 Secciones 2.3–2.4 DD Cap´ıtulo V
≤≤ llY Y Y Y Y Y Y Y ≤≤Y Y Y Y Y YDDDYDDDDDD"" ≤≤
Secciones 2.6–2.9 Ap´endice B Ap´endice A
El cap´ıtulo I empieza introduciendo la nocio´n de haz sobre un espacio to-
polo´gico. Se trata del concepto ba´sico para enlazar la teor´ıa que pretendemos
desarrollar con sus aplicaciones geom´etricas. Un haz F es simplemente una es-
tructura definida sobre un espacio topolo´gico X, que asigna a cada uno de sus
abiertos U un grupo F(U), o un anillo, o un mo´dulo, o cualquier otra estruc-
tura algebraica, junto con condiciones que garanticen que los distintos grupos,
anillos, etc. esta´n relacionados de forma razonable.
Existe una infinidad de haces que aparecen de forma natural en casi todas
las ramas de la matema´tica. Por ejemplo, a cada abierto U de una variedad
diferencial X podemos asociarle la R-a´lgebra C∞(U) de sus funciones de clase
C∞ con valores en R.
Cuando en un espacio topolo´gico X tenemos definido un haz de anillos O ,
X
podemos hablar de O -mo´dulos, que son los haces M sobre X tales que M(U)
X
es un mo´dulo sobre el anillo O (U), para cada abierto U X. Por ejemplo,
X
⊂
el haz que a cada abierto U de una variedad diferencial le asigna el R-espacio
vectorial Λp(U) de sus formas diferenciales de dimensio´n p, es un C -mo´dulo,
∞
pues, ciertamente, Λp(U) es un mo´dulo sobre el anillo C (U).
∞
Elconceptodemo´dulosobreunhazdeanillosgeneralizaaldemo´dulosobre
un anillo, pues si tomamos un espacio X con un u´nico punto P, cada anillo A
determinaunhazdeanillosenX (queasignaAalu´nicoabiertonovac´ıodeX)
y, ana´logamente, los mo´dulos sobre este haz de anillos se corresponden con los
mo´dulos sobre A en el sentido usual. As´ı, toda el ´algebra homolo´gica que desa-
rrollamosdespu´essobremo´dulossobreunespacioanilladoseaplicaenparticular
a mo´dulos sobre un anillo. En las aplicaciones al ´algebra conmutativa so´lo ne-
cesitamos la teor´ıa en este caso particular, mientras que para las aplicaciones a
la geometr´ıa diferencial, a la topolog´ıa algebraica o a la geometr´ıa algebraica,
la generalizacio´n a mo´dulos sobre un espacio anillado es fundamental.
ix
Elrestodelcap´ıtuloesta´dedicadoadesarrollarenestecontextolateor´ıade
funtoresderivados. Puedeconsiderarse—yas´ıfue,dehecho,comosurgio´—una
versio´nabstractaqueunificalasdiversasconstruccionesdegruposdehomolog´ıa
y cohomolog´ıa que aparecen en topolog´ıa algebraica y en geometr´ıa diferencial.
Ensusaplicacionesgeom´etricas,permiteasignara cadaespaciotopolo´gicoX y
a cada anillo A (bajo ciertas hipo´tesis) una sucesio´n de grupos de cohomolog´ıa
Hp(X,A ). La construccio´n es extremadamente abstracta, pero satisface un
X
poderosoteoremadeunicidadquehacefa´cilprobarqueHp(X,A )coincidecon
X
casi cualquier cosa. As´ı, por ejemplo, se demuestra (fa´cilmente) que los grupos
de cohomolog´ıa de De Rham de una variedad diferencial X son isomorfos a los
grupos Hp(X,RX), y lo mismo sucede con los grupos de cohomolog´ıa singular
diferenciable. Al combinar estos dos isomorfismos:
Hp(X)∼=Hp(X,RX)∼=Hp (X,R),
∞
obtenemos el teorema de De Rham. Podr´ıa pensarse que esta prueba obte-
nida por mediacio´n de un concepto abstracto como Hp(X,RX) es una mera
pruebadeexistenciaquenonosproporcionainformacio´nexpl´ıcitasobrecua´les
ese isomorfismo, pero en realidad sucede justo lo contrario. Los isomorfismos
individuales
Hp(X)∼=Hp(X,RX) y Hp (X,R)∼=Hp(X,RX)
∞
hacen part´ıcipes a los grupos Hp(X) y Hp (X,RX) de la potente unicidad que
satisfacen los grupos Hp(X,RX), y ello ∞implica que cualquier homomorfismo
entre ellos que satisfaga unas m´ınimas condicionesha de ser necesariamente un
isomorfismo. As´ı,lapruebadequeelisomorfismoexpl´ıcitoentrelacohomolog´ıa
de De Rham y la cohomolog´ıa singular viene dada por la integracio´n de formas
diferencialessobres´ımplicesnorequierema´sca´lculointegralqueelimprescindi-
ble paradefinirla integracio´n de formassobres´ımplices. La parteno trivialdel
teorema, es decir, que esta integral induce un isomorfismo entre los grupos de
cohomolog´ıa, se vuelve poco menos que trivial. Ma´s au´n, esta t´ecnica permite
demostrar con sorprendente simplicidad la versio´n fuerte del teorema de De
Rham, a saber, que los isomorfismos entre los distintos grupos de cohomolog´ıa
se combinan para formar un isomorfismo de ´algebras
∞ Hp(X)∼= ∞ Hp (X,R),
p=0 p=0 ∞
L L
cuando cada miembro se dota de estructura de ´algebra con el correspondiente
productoexterior. Nuevamente, losu´nicosca´lculosdela pruebasonlosnecesa-
rios para construir los productos exteriores.
Lasmismast´ecnicasquellevanalaconstruccio´ndelosgruposHp(X,A )(o,
X
ma´s en general,Hp(X,F), paracualquierhaz F sobreel espaciotopolo´gicoX),
cuandoseparticularizandelcontextodeloshacesalcontextodelosmo´dulosso-
breunanillo,danlugara ciertasfamiliasdemo´dulosasociadasa unosmo´dulos
dados y que tienen muchas aplicaciones en el ´algebra conmutativa. Las ma´s
x Introduccio´n
importantessonlosmo´dulosTorA(M,N)yExtA(M,N). Ambasfamiliasesta´n
p p
relacionadasyamenudoesposibleelegirentreusarunauotraparaundetermi-
nado fin. Nosotros hemos optado por utilizar Tor en todas las aplicaciones, de
modo que, aunquetambi´en daremosla construccio´n de Ext, no veremos aplica-
ciones. (AlcontrarioqueTor,lafamiliaExtpuededefinirseparamo´dulossobre
unespacioanillado,ypuedenusarseparademostrarunprofundoteoremasobre
cohomolog´ıa de esquemas, el teorema de dualidad.)
Si el ´algebra homolo´gica ha surgido a partir de la topolog´ıa algebraica, el
´algebra conmutativa ha surgido de la geometr´ıa algebraica. La geometr´ıa al-
gebraica cla´sica estudia los conjuntos algebraicos afines y proyectivos, es decir,
subconjuntos del espacioaf´ın o del espacioproyectivo definidoscomo conjuntos
de ceros de uno o varios polinomiosde varias variables. Los conjuntos algebrai-
cos pueden dotarse de una topolog´ıa (la topolog´ıa de Zariski) en la que cada
punto tiene un entorno isomorfo a un conjunto algebraico af´ın, por lo que los
problemas geom´etricos locales, es decir, los que dependen u´nicamente de las
propiedades de un conjunto algebraico en un entorno de uno de sus puntos,
pueden reducirse al estudio de conjuntos algebraicos afines. Es, precisamente,
enelestudiodelosconjuntosalgebraicosafinesdondelaconexio´nconel´algebra
conmutativa es ma´s estrecha:
A cada conjunto algebraico af´ın C An(k) (un conjunto definido por poli-
⊂
nomios con coeficientes en un cuerpo k), se le puede asignar la k-a´lgebra k[C]
de las funciones polino´micas (las funciones definidas por polinomios sobre los
puntosdeC). Sucedequelaspropiedadesgeom´etricasdeC esta´ndeterminadas
por las propiedades del anillo k[C]. Para ser ma´s precisos, podemos distinguir
entre las propiedadesextr´ınsecas de C, las propiedadesque dependen del modo
enqueC esta´sumergidoenelespacioaf´ınAn(k),ylaspropiedadesintr´ınsecas,
las que comparten dos conjuntos algebraicos isomorfos, independientemente de
co´mo est´en sumergidos en An(k), incluso para distintos valores de n. Las pro-
piedadesintr´ınsecassonprecisamentelasquepuedenexpresarseent´erminosdel
anillo k[C].
Por ejemplo, en el caso ma´s simple, en que el cuerpo k es algebraicamente
cerrado, los puntos de C se corresponden con los ideales maximales de k[C],
y los ideales primos de k[C] se corresponden con los subconjuntos algebraicos
irreduciblesde C. (La irreducibilidadexpresaque no puedendescomponerse en
un nu´mero finito de conjuntos algebraicos menores. Por ejemplo, una circunfe-
rencia es irreducible, mientras que la unio´n de una recta y una circunferencia
tiene dos componentes irreducibles.) Esto permite expresar la dimensio´n de C
ent´erminosdelosidealesdek[C]: elhechodequeunaesferaS tienedimensio´n
2 se corresponde con el hecho de que las mayores cadenas de subconjuntos
algebraicos irreducibles contenidos en una esfera tienen longitud 3, pues son
necesariamente de la forma
punto curva esfera.
⊂ ⊂
Equivalentemente, la ma´xima longitud de una cadena de ideales primos de
k[S] es 3. En vista de esto, podemos definir la dimensio´n de Krull de un anillo
A como la ma´xima longitud (menos 1) de una cadena de ideales de A, que