Algebra fur Informatiker

105 Pages·1996·0.667 MB·German

by  Buchmann J.

Algebra fu(cid:127)r Informatiker
Johannes Buchmann
6. August 1996
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Zahlentheorie 4
1.1 Natu(cid:127)rliche Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1.2 Ganze Zahlen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1.3 Teilbarkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1.4 Division mit Rest und Komplexit(cid:127)at arithmetischer Operationen : : : : : : : 9
1.5 Gr(cid:127)o(cid:25)ter gemeinsamer Teiler : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
1.6 Eindeutige Primfaktorzerlegung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13
1.7 Kongruenzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
2 Gruppen 17
2.1 Algebraische Struktur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
2.2 Halbgruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
2.3 Direkte Produkte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
2.4 Faktorhalbgruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
2.5 Neutrale Elemente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22
2.6 Invertierbare Elemente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
2.7 Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
2.8 Beispiele von Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2.9 Gruppentafeln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25
2.10 Zyklische Gruppen und Elementordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
2.11 Berechnung der Elementordnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
1
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2.12 Berechnung diskreter Logarithmen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
2.13 Untergruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32
2.14 Gruppenhomomorphismen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
2.15 Der Satz von Lagrange : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35
2.16 Anwendung des Satzes von Lagrange : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
2.17 Normalteiler und Faktorgruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
2.18 Erzeugendensysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38
2.19 Operation von Gruppen auf Mengen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38
2.20 Die symmetrische Gruppe Sn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39
2.21 Freie Gruppen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41
3 Ringe 43
3.1 Ringbegri(cid:11) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43
3.2 Polynomringe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44
3.3 Ideale, Restklassenringe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46
3.4 Homomorphiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
3.5 Quotientenk(cid:127)orper und Primk(cid:127)orper : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49
3.6 Nullstellen, Di(cid:11)erentiation und Interpolation von Polynomen : : : : : : : : 50
3.7 Euklidische Ringe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52
3.8 Teilbarkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52
3.9 ZPE-Ringe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
3.10 Irreduzibilit(cid:127)atstests : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55
3.11 Primideale, maximale Ideale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56
3.12 Faktorisierung von Polynomen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
3.13 Algorithmus von Berlekamp : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
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4 Lineare Algebra 65
4.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
4.2 Moduln und Homomorphismen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66
4.3 Kern und Bild von Homomorphismen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
4.4 Smith-Normalform : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77
4.5 Normalformen von Moduln : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82
5 Gr(cid:127)obner Basen 90
5.1 Einfu(cid:127)hrung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90
5.2 Monomordnungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
5.3 Ein Divisionsalgorithmus in K[x1;:::;xn] : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92
5.4 Monomiale Ideale und Dicksons Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
5.5 Hilbertscher Basissatz und Gr(cid:127)obnerbasen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
5.6 Eigenschaften von Gr(cid:127)obnerbasen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96
5.7 Buchbergers Algorithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99
5.8 Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
5.8.1 Idealmitgliedschaft : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
5.8.2 Teilmengenbeziehungen zwischen Idealen : : : : : : : : : : : : : : : 102
5.8.3 Idealgleichheit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
5.8.4 L(cid:127)osen von Gleichungssystemen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
Kapitel 1
Elementare Zahlentheorie
In diesem Kapitel werden wichtige Eigenschaften der ganzen Zahlen besprochen. Die Be-
gri(cid:11)e und Ergebnisse dieses Kapitels nehmen allgemeinere Begri(cid:11)e und Ergebnisse, die im
Lauf der Vorlesung eingefu(cid:127)hrt bzw. bewiesen werden, im Spezialfall vorweg. Sie dienen
darum sp(cid:127)ater als Beispielmaterial.
1.1 Natu(cid:127)rliche Zahlen
Ich setze voraus, da(cid:25) die Menge IN der natu(cid:127)rlichen Zahlen bekannt ist. Diese Menge wird
durch die Axiome von Peano charakterisiert, n(cid:127)amlich
1. 1 ist eine natu(cid:127)rliche Zahl.
+
2. Jede natu(cid:127)rliche Zahl a hat einen Nachfolger a in IN.
3. Es gibt keine natu(cid:127)rliche Zahl mit dem Nachfolger 1.
4. Stimmen die Nachfolger zweier natu(cid:127)rlicher Zahlen a und b u(cid:127)berein, so gilt a = b.
5. Die einzige Menge von natu(cid:127)rlichen Zahlen, die die Zahl 1 enth(cid:127)alt und die mit jedem
Element a auch dessen Nachfolger enth(cid:127)alt, ist IN selbst.
Das letzte Axiom hei(cid:25)t Prinzip der vollst(cid:127)andigen Induktion. Dieses Prinzip wird benutzt,
um Eigenschaften der natu(cid:127)rlichen Zahlen zu beweisen und neue Begri(cid:11)e zu de(cid:12)nieren.
Man kann beispielsweise zeigen, da(cid:25) sich auf genau eine Art jedem Paar x;y natu(cid:127)rlicher
Zahlen eine natu(cid:127)rliche Zahl, x+y genannt, so zuordnen l(cid:127)a(cid:25)t, da(cid:25)
+
x+1= x ; x IN;
2
und
+ +
x+y = (x+y) ;x;y IN
2
4
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+
gilt. Die Zahl x+y hei(cid:25)t Summe von x und y. Statt a schreibe ich ab sofort a+1. Fu(cid:127)r
alle natu(cid:127)rlichen Zahlen a;b;c gilt das Assoziativgesetz
(a+b)+c= a+(b+c) (1.1)
und das Kommutativgesetz
a+b= b+a: (1.2)
Au(cid:25)erdem gilt:
Aus a+b= a+c folgt b= c: (1.3)
k
Statt a1+a2+:::+ak schreibt man kurz ai.
i=1
P
Weiter kann manjedem Paarx;y natu(cid:127)rlicher Zahlen auf genaueine Weise ihr Produkt x y
(cid:1)
oder xy so zuordnen, da(cid:25)
x 1 = x; x IN
(cid:1) 2
und
x(y+1)= xy+x
gilt. Fu(cid:127)r alle natu(cid:127)rlichen Zahlen a;b;c gilt dann das Assoziativgesetz
(ab)c= a(bc); (1.4)
das Kommutativgesetz
ab= ba (1.5)
und das Distributivgesetz
a(b+c)= ab+ac: (1.6)
Ferner gilt:
Aus ab= ac folgt b= c (1.7)
k
Dies nennt man K(cid:127)urzungsregel.Statt a1a2 ak schreibt man kurz ai. Ist hierbei a1 =
(cid:1)(cid:1)(cid:1) i=1
k
a2 = :::= ak so schreibt man a1a2 ak = a . Q
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Gilt a = b+u fu(cid:127)r natu(cid:127)rliche Zahlen a;b;u,so schreibt man a> b oder b< a und sagt,da(cid:25)
a gr(cid:127)o(cid:25)er als b ist oder da(cid:25) b kleiner als a ist. Wiederum beweist man durch vollst(cid:127)andige
Induktion, da(cid:25) genau eine der Relationen
a < b; a= b; a> b (1.8)
erfu(cid:127)llt ist. Weiter gilt fu(cid:127)r alle natu(cid:127)rlichen Zahlen a;b;c:
Aus a< b und b< c folgt a< c: (1.9)
Aus a < b folgt a+c< b+c: (1.10)
Aus a < b folgt ac< bc: (1.11)
Ist a > b so wird die eindeutig bestimmte L(cid:127)osung der Gleichung a = b + u mit a b
(cid:0)
bezeichnet. Fu(cid:127)r \a < b oder a = b" schreibt man kurz a b. Fu(cid:127)r \a > b oder a = b"
(cid:20)
schreibt man kurz a b.
(cid:21)
Weiter gilt der sogenannte Wohlordnungssatz.
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1.1.1. Satz Jedenicht leereMengenat(cid:127)urlicher Zahlenenth(cid:127)alt einekleinsteZahl,d.h. eine
solche, die kleiner ist als alle anderen Zahlen der Menge.
Um mit natu(cid:127)rlichen Zahlen rechnen zu k(cid:127)onnen, braucht man eine Darstellung. Norma-
lerweise benutzt man die Dezimaldarstellung. Computer verwenden die Bin(cid:127)ardarstellung.
Etwasallgemeiner fu(cid:127)hreich hierdieg-adischeDarstellungein,wobeig eine festenatu(cid:127)rliche
Zahl ungleich 1 ist. Man braucht zuerst g viele verschiedene Zeichen. Wenn g = 2 ist, also
bei der Bin(cid:127)ardarstellung, benutzt mandie Zeichen 0;1.Wenn g = 10ist,also bei der Dezi-
maldarstellung,nimmtmandieZeichen0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.Wenng = 16ist,alsobeider
Hexadezimaldarstellung, benutzt man die Zeichen 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F.
Sei (cid:6) die Menge der g verschiedenen Zeichen. Mit (cid:6)(cid:3) bezeichne ich die Menge aller end-
lichen Folgen von Zeichen aus (cid:6) einschlie(cid:25)lich der leeren Folge, fu(cid:127)r die ich " schreibe.
Die Elemente aus (cid:6)(cid:3) hei(cid:25)en auch Strings u(cid:127)ber (cid:6). Den natu(cid:127)rlichen Zahlen a < g seien
verschiedene Zeichen der Menge (cid:6) zugeordnet. Die natu(cid:127)rliche Zahl 1 wird durch das Zei-
chen 1 dargestellt. Zus(cid:127)atzlich gibt es noch das Zeichen 0 in (cid:6) dem keine natu(cid:127)rliche Zahl
entspricht. Die Menge (cid:6) enth(cid:127)alt also immer die Zeichen 0;1. Die von 0 verschiedenen
Elemente von (cid:6) werden mit den durch sie dargestellten Zahlen identi(cid:12)ziert. Jedem String
s = s1s2:::sk (cid:6)(cid:3); k 1;s1 = 0
2 (cid:21) 6
wird die natu(cid:127)rliche Zahl
k
k i
sig (cid:0)
i=1
sXi6=0
zugeordnet. Dann wird jede natu(cid:127)rliche Zahl durch genau einen String u(cid:127)ber (cid:6) dargestellt.
Die Elemente aus (cid:6) hei(cid:25)en Zi(cid:11)ern.
k
k i
Die Abbildung ((cid:6) 0) (cid:6)(cid:3) IN;s1s2:::sk sig (cid:0) ist bijektiv.
(cid:0) (cid:14) ! 7! i=1
si6=0
P
1.2 Ganze Zahlen
Die Menge der natu(cid:127)rlichen Zahlen wird folgenderma(cid:25)en zur Menge der ganzen Zahlen
erg(cid:127)anzt. Man betrachtet die Menge aller Paare (a;b) von natu(cid:127)rlichen Zahlen. Man stellt
sich vor, da(cid:25) (a;b) die ganze Zahl a b repr(cid:127)asentiert. Ganze Zahlen haben dann ver-
(cid:0)
schiedene Darstellungen. Um dem Rechnung zu tragen, werden Paare identi(cid:12)ziert, die
dieselbe ganze Zahl darstellen. Zwei Paare (a;b) und (x;y) werden (cid:127)aquivalent genannt,
wenn a+y = x+b gilt. Dies ist eine A(cid:127)quivalenzrelation. Die Menge der ganzen Zahlen
ist die Menge der A(cid:127)quivalenzklassen. Sie wird mit ZZ bezeichnet.
Man de(cid:12)niert Addition, Multiplikation und Vergleich ganzer Zahlen folgenderma(cid:25)en. Fu(cid:127)r
natu(cid:127)rliche Zahlen a;b;c;dsetzt man
(a;b)+(c;d)= (a+c;b+d);
(a;b) (c;d)= (ac+bd;ad+bc)
(cid:1)
und man schreibt
(a;b)< (c;d) oder (c;d)> (a;b); falls a+d < b+c:
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Man veri(cid:12)ziert leicht, da(cid:25) diese De(cid:12)nitionen von der Wahl der Vertreter unabh(cid:127)angig sind.
Folgenderma(cid:25)en werden einfachere Bezeichnungen fu(cid:127)r ganzeZahlen eingefu(cid:127)hrt. Alle Paare
(a;a) geh(cid:127)oren zu derselben A(cid:127)quivalenzklasse. Fu(cid:127)r diese schreibt man 0. Ist a > b, so
bezeichnet man die A(cid:127)quivalenzklasse, die (a;b) enth(cid:127)alt, mit a b. Ist a < b, so schreibt
(cid:0)
man (b a) fu(cid:127)r die A(cid:127)quivalenzklasse, die (a;b) enth(cid:127)alt. Es ist leicht zu sehen, da(cid:25) diese
(cid:0) (cid:0)
Bezeichnungen wohlde(cid:12)niert sind.
Man veri(cid:12)ziert leicht, da(cid:25) die Rechengesetze (1.1) - (1.10) gelten. Alledings gilt nun statt
(1.11), wie man ebenfalls leicht veri(cid:12)ziert:
ac< bc; falls c> 0
Aus a< b folgt 8 ac= bc= 0; falls c= 0
>< ac> bc; falls c< 0:
Au(cid:25)erdem hatfu(cid:127)rganze Zahlen a;bdie>:Gleichung a = b+xstetseine eindeutig bestimmte
L(cid:127)osung x, die ebenfalls eine ganze Zahl ist. Fu(cid:127)r diese schreibt man auch a b. Schlie(cid:25)lich
(cid:0)
gilt ab= 0 genau dann, wenn a oder b gleich 0 ist.
Auch die Darstellung ganzer Zahlen wird von der Darstellung natu(cid:127)rlicher Zahlen abge-
leitet. Die Zahl 0 wird durch das Symbol 0 dargestellt. Es wurde ja vorausgesetzt, da(cid:25)
dieses Symbol zu dem Alphabet (cid:6) geh(cid:127)ort. Jede von 0 verschiedene ganze Zahl ist entwe-
der eine natu(cid:127)rliche Zahl oder a fu(cid:127)r eine natu(cid:127)rliche Zahl a. Dies liefert unmittelbar die
(cid:0)
Darstellung der ganzen Zahlen. Bei der Bin(cid:127)ardarstellung kann das Vorzeichen in einem
weiteren Bit gespeichert werden. Die Anzahl der Bits, die n(cid:127)otig ist, um eine ganze Zahl z
in Bin(cid:127)ardarstellung zu speichern, ist
1 falls z = 0
size(z) =
( log z +2 falls z = 0:
b j jc 6
1.3 Teilbarkeit
Nun werden elementare arithmetische Begri(cid:11)e und Eigenschaften der ganzen Zahlen ein-
gefu(cid:127)hrt. Eine ganze Zahl a hei(cid:25)t Teiler einer ganzen Zahl b, wenn es eine ganze Zahl g
gibt, fu(cid:127)r die b = ga gilt. Dafu(cid:127)r schreibt man kurz a b (lies: a teilt b). Das Gegenteil wird
j
mit a6 b (lies: a teilt nicht b) bezeichnet. Das Problem, zu entscheiden, ob a ein Teiler von
j
b ist, wird im Zusammenhang mit der Division mit Rest angesprochen.
a; a 0
1.3.1. De(cid:12)nition a = (cid:21)
j j ( a; a < 0
(cid:0)
1.3.2. U(cid:127)bung Zeige, da(cid:25) aus a b und b= 0 folgt, da(cid:25) a b gilt.
j 6 j j(cid:20) j j
Aus der De(cid:12)nition und U(cid:127)bung 1.3.2 kann man folgende elementare Tatsachen ableiten.
Jede ganze Zahl teilt 0: (1.12)
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Die einzige von 0 geteilte Zahl ist 0: (1.13)
Die einzigen Teiler von 1 sind 1: (1.14)
(cid:6)
Genau dann gilt a b und b a, wenn a= b ist (1.15)
j j (cid:6)
Jede ganze Zahl a wird von 1 und von a geteilt: (1.16)
(cid:6) (cid:6)
Aus a b und b c folgt a c: (1.17)
j j j
k
Aus a bi, 1 i k folgt a bici, ci ZZ beliebig, 1 i k: (1.18)
j (cid:20) (cid:20) ji=1 2 (cid:20) (cid:20)
P
Die ganze Zahl a wird echter Teiler von b genannt, wenn a ein Teiler von b ist und
a = 1; b. Man sieht leicht ein, da(cid:25) a genau dann ein echter Teiler von b = 0 ist, wenn
6 (cid:6) (cid:6) 6
a ein Teiler von b ist und 1 < a < b gilt. Eine Primzahl ist eine von 1 verschiedene
j j j j
natu(cid:127)rliche Zahl, die keine echten Teiler hat. Die kleinste Primzahl ist 2. Alle anderen
Primzahlen sind ungerade. Eine Primzahl, die eine ganze Zahl bteilt, hei(cid:25)t Primteiler von
b.
1.3.3. Satz Jede nat(cid:127)urliche Zahl a> 1 besitzt wenigstens einen Primteiler.
Beweis: Unter allen Teilern r > 1 w(cid:127)ahle man den kleinsten aus. Dies geht nach dem
Wohlordnungssatz. Der ausgew(cid:127)ahlte Teiler hei(cid:25)e t. Wenn t keine Primzahl ist, so besitzt t
einen Teiler s mit 1< s < t. Nach (1.17) ist s auch ein Teiler von a und dies widerspricht
der Wahl von t.
1.3.4. Satz Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Angenommen, die Menge IP aller Primzahlen ist endlich. Setze a = p +
p IP
2
1. Nach Satz 1.3.3 besitzt a einen Primteiler q. Wenn dieser mit einer PrimzahQl in IP
u(cid:127)bereinstimmt, sogilt q 1= a p nach (1.18)und damit q = 1. Dies ist aber wegen
j (cid:0)p IP (cid:6)
2
q > 1 unm(cid:127)oglich. Q
Ein zentrales Thema der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Es gibt sehr viele interessan-
te algorithmische Probleme im Zusammenhang mit Primzahlen. Mit Hilfe des Siebs des
Erathostenes (siehe [10], p.3) kann man z.B. alle Primzahlen unterhalb einer gegebenen
Schrankeaufz(cid:127)ahlen. Dies gehtin polynomieller Zeit.Viel schwieriger istes,zu entscheiden,
ob eine gegebene natu(cid:127)rliche Zahl eine Primzahl ist (siehe [10], Chapter 4, [3], Chapter 9).
Esistbisjetztkein deterministischer Polynomzeitalgorithmus bekannt,derdiese Entschei-
dung f(cid:127)allt. Es gibt aber e(cid:14)ziente probabilistische Verfahren in polynomieller Zeit.
1.3.5. U(cid:127)bung Ein Primzahlzwilling ist ein Paar (p;q) ungerader Primzahlen mit q =
p+2. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Man schreibe ein
Programm, das alle Primzahlzwillinge unterhalb einer gegebenen Schranke ausgibt.
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1.4 Division mitRest und Komplexit(cid:127)atarithmetischer Ope-
rationen
1.4.1. Satz Zu jedem Paar a;bganzerZahlen mit b= 0 gibtes genau einPaar q;rganzer
6
Zahlen, das die Bedingungen
a = qb+r; 0 r < b
(cid:20) j j
erf(cid:127)ullt.
Beweis: Es genu(cid:127)gt, den Fall b > 0 zu betrachten. Es ist dann zu zeigen, da(cid:25) es genau
eine ganze Zahl q gibt, fu(cid:127)r die qb a < b(q + 1) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit der
(cid:20)
Bedingung q a=b< q+1, welcher genau eine ganze Zahl q genu(cid:127)gt.
(cid:20)
1.4.2. Beispiel a = 27, b= 10 q = r = 3.
(cid:0) (cid:0) )
Die arithmetischen Operationen fu(cid:127)r ganze Zahlen sind Addition, Subtraktion, Multipli-
kation und Division mit Rest. Schon aus der Schule sind Verfahren bekannt, wie man
ganze Zahlen in Dezimaldarstellung addieren, subtrahieren, multiplizieren und mit Rest
dividieren kann. Entsprechende Verfahren lassen sich fu(cid:127)r g-adisch dargestellte Zahlen mit
beliebigem g angeben.Eine interessanteFrageist,wie schnell mandie arithmetischenOpe-
rationen ausfu(cid:127)hren kann. Um diese Frage sinnvoll stellen zu k(cid:127)onnen, mu(cid:25) man zuerst ein
Berechnungsmodell festlegen,z.B.eineTuring-Maschine odereineRandomAccessMaschi-
ne (RAM). Hier gehen ich davon aus, da(cid:25) die ganzen Zahlen bin(cid:127)ar dargestellt sind. Unter
der Rechenzeit, die ein Verfahren ben(cid:127)otigt, verstehe ich die Anzahl der arithmetischen
Operationen und Vergleiche von Bits, die innerhalb der Rechnung ausgefu(cid:127)hrt werden.
Eine genauer beschriebenes Berechnungsmodell (cid:12)ndet sich in [1].
Es ist klar, da(cid:25) man zwei n-Bit Zahlen in Zeit O(n) addieren und subtrahieren kann.
Bezeichnet manmitM(n)dieminimale Zeit,die fu(cid:127)rdieMultiplikation zweiern-BitZahlen
gebraucht wird und mit D(n) die Zeit, die man braucht, um eine Zahl von h(cid:127)ochstens 2n
Bits durch eine n-Bit Zahl zu dividieren, so gilt der folgende, in [1] bewiesene Satz.
1.4.3. Satz Es gibt positive reelle Zahlen c und c0 mit cM(n) D(n) c0M(n).
(cid:20) (cid:20)
Dies bedeutet, da(cid:25) Multiplikation und Division mit Rest im wesentlichen gleich schwere
Probleme sind. In [1] wird au(cid:25)erdem folgendes bewiesen.
2
1.4.4. Satz M(n) =O(nlognloglogn). (Schulmethode: O(n ))
Der Beweis erfolgt, indem diese Laufzeitschranke fu(cid:127)r den Multiplikationsalgorithmus von
Sch(cid:127)onhage und Strassen gezeigt wird. Nennt man eine Funktion f :IN IR>0 quasilinear,
1+" !
wenn f(n) = O(n ) fu(cid:127)r jedes " > 0 ist, so bedeutet Satz 1.4.4, da(cid:25) man zwei ganze
Zahlen in quasilinearer Laufzeit multiplizieren kann.