Algebra Elemental

741 Pages·2007·11.787 MB·Spanish

by  Allen R. Angel

Portada angel 8/23/06 12:38 PM Page 1
ANGEL
Álgebra elemental
El objetivo principal del autor al escribir este libro es ofrecer una obra que los estudiantes
disfruten leer al tiempo que aprenden los conceptos del álgebra;para ello se emplean Sexta edición
oraciones cortas,explicaciones claras y muchos ejemplos resueltos con detalle.Asimismo,
a lo largo de todo el texto se ofrecen aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión
Á
de los conceptos expuestos.
l
Cambios en la sexta edición g
• En el capítulo 1 se mejoró el tema de la adición y sustracción de fracciones.
e
• En el capítulo 2 se introdujo la solución de ecuaciones con fracciones y se agregaron
nuevos ejemplos y ejercicios. b
• En el capítulo 3 se rescribieron muchas fórmulas y aplicaciones del álgebra.
r
• Se agregaron las propiedades de identidad e inversas.
a
• La variación directa e inversa se agregó en la última sección del capítulo 6.

• Se agregó toda una sección con aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas.
e
• Los conjuntos de ejercicios se han actualizado y revisado en todo el libro,además se
agregaron más problemas de aplicación. l
e
• En el capítulo 10 se agregó una introducción a los números complejos.
• Una nueva sección,“Matemáticas en acción”,aparece ahora en distintos lugares del texto m
con el propósito de reforzar la importancia de las matemáticas en la vida cotidiana y en
la resolución de problemas reales.
e
• Se incluyeron recuadros de “Consejo para estudiar”,“Sugerencia” y “Cómo evitar
errores comunes” a lo largo del libro,para mejorar los hábitos de estudio. n
t
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l

Sexta
edición
ANGEL
Allen R.
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Forros 8/23/06 12:11 PM Page 1
Capítulo 1 Números reales Capítulo 9 Raíces y radicales
Reglas de los radicales Para resolver ecuaciones radicales
Fracciones El producto (o cociente) de dos números con signos diferentes
1. Utilice las propiedades adecuadas para reescribir la ecuación
Suma Resta será un número negativo. a –a a 2a(cid:1) 2b = 2ab, a (cid:2) 0, b (cid:2) 0
a + b = a + b a - b = a - b a - b significa a + (–b) –b = b = – b 2a2 = a, a (cid:2) 0 deceujaancdióon .al término con la raíz cuadrada en un solo lado de la
b c c c c c bn = ¯b(cid:1)˚b(cid:1)˘b(cid:1)˚p˙(cid:1)b 2a2n = an, a (cid:2) 0 2. Reduzca términos semejantes.
Maulctiplicaac(cid:1)icón Daivisción a d a(cid:1)d nfactores de b 2n a = a1(cid:1)n, a (cid:2) 0 3. Eralíezv ceu aald cruadada.rado ambos lados de la ecuación para eliminar la
b(cid:1)d = b(cid:1)d b , d = b(cid:1) c = b(cid:1)c Orden de las operaciones 2n am = A2n aBm = am(cid:1)n, a (cid:2) 0 4. Despeje la variable de la ecuación.
1. Evaluar las expresiones dentro de los paréntesis. 5. Compruebe la solución en la ecuación original para descartar
2a a
Números naturales {1, 2, 3, 4, p} 2. Evaluar las expresiones con exponentes. = , a (cid:2) 0, b 70 las raíces extrañas.
Números completos {0, 1, 2, 3, p} 3. Evaluar todas las multiplicaciones o divisiones en el orden en 2b Bb Fórmula de la distancia:d = 2(x - x)2 + (y - y)2
que suceden de izquierda a derecha. 2 1 2 1
Enteros {p , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, p} Una raíz cuadrada está simplificada cuando
4. Evaluar todas las adiciones o sustracciones en el orden en que
Números racionales{cociente de dos enteros,denominador dis- aparecen,de izquierda a derecha. 1. Ningún radicando tiene un factor que sea un cuadrado perfecto.
tinto de 0} 2. Ningún radicando tiene una fracción.
Propiedades de los números reales
3. Ningún denominador tiene una raíz cuadrada.
La suma de dos números positivos será un número positivo.
Conmutativa:a+b=b+a, a(cid:1)b = b(cid:1)a
La suma de dos números negativos será un número negativo.
Asociativa:(a+b)+c=a+(b+c), (a(cid:1)b)(cid:1)c = a(cid:1)(b(cid:1)c)
La suma de un número positivo y uno negativo puede resultar en
Distributiva:a(b+c)=a(cid:1)b + a(cid:1)c
un número positivo o negativo.
Identidad:a+0=0+a=a, 1(cid:1)a = a(cid:1)1 = a
El producto (o cociente) de dos números con signos iguales será 1 1
un número positivo. Inverso:a+(–a)=–a+a=0, a(cid:1)a = a(cid:1)a = 1
Capítulo 10 Ecuaciones cuadráticas
Capítulo 2 Solución de ecuaciones y desigualdades lineales
Forma estándar de una ecuación cuadrática:ax2+bx+c=0,
y=ax2+bx+c
Propiedad de igualdad de la suma:Si a= b,entonces a+ c= suma eventualmente dará como resultado una ecuación de la a Z 0
b+ c,para cualesquiera números reales a,by c. formaax=b. Una ecuación cuadrática puede resolverse mediante factorización,
y y
Propiedad de igualdad de la multiplicación:Si a= b,entonces 5. Emplear la propiedad de la multiplicación para despejar la va- completando el cuadrado o bien utilizando la fórmula cuadrática.
a(cid:1)c = b(cid:1)c,para cualesquiera números reales a,by c. riable.Esto dará una solución de la forma x= algún número. Propiedad de la raíz cuadrada:Si x2= a,entoncesx = 2a o
x = –2aAo x = ;2aB
Ecuación lineal:ax+b=c,para números reales a,by c. 6. Comprobar la solución,en la ecuación original.
a c -b ; 2b2 - 4ac
Para resolver ecuaciones lineales con la variable Multiplicación cruzada:Si b = d entonces ad = bc Fórmula cuadrática:x = 2a x x
en ambos lados del signo de igualdad
Desigualdades Discriminante:b2-4ac
1. Sdie llaa eeccuuaacciióónn cpoonrt eiel nme ínfriamcoci ocnoems,úsne d menuoltmipilnicaadno ra m(mbcods) .lados SSii aa>>bbeennttoonncceess aa+-cc>>bb+-cc.. cSiio bn2e-s re4aalce>s y d0,i setinnttoans.ces la ecuación cuadrática tiene dos solu-
2. Aplicar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. Si a>by c>0entonces ac>bc. Si b2-4ac=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una solu- a > 0 a < 0
3. Reducir los términos semejantes en el mismo lado del signo de
a b ción real.
igualdad. Si a>by c>0entonces c 7 c . Si b2-4ac<0, entonces la ecuación cuadrática no tiene solu-
4. Utilizar la propiedad de la suma para reescribir la ecuación Números complejos
Si a>by c<0entonces ac<bc. ciones reales.
con todos los términos que contienen a la variable en un lado
doetrlo s liagdnoo ddee diigcuhaol dsaigdn,oy. Etol duosso lroesp eqtuideo n doe llaa cpornotpiieendeand edne leal Si a>by c<0entonces ac 6 bc . La gbráf4icaac d-eby2=ax2+bx+c será una parábola con vértice en i 1=–n2=–1i 1n, n 7 0
a– 2a, 4a b, que abre hacia arriba cuando a>0 y hacia Números complejos:a+bi
Capítulo 3 Fórmulas y aplicaciones del álgebra
abajo cuando a<0. El eje de simetría de una parábola es
Procedimiento para resolver problemas 3. Efectuar los cálculos matemáticos (resolver la ecuación). x = – b
de aplicación 4. Comprobar la respuesta (con el empleo de la ecuación original). 2a
5. Responder la pregunta que se planteó.
1. Entender el problema.
Identificar la cantidad o cantidades que se pide encontrar. Fórmula del interés simple:i=prt
2. Traducir el problema a lenguaje matemático (expresar el pro-
blema como una ecuación). Fórmula de la distancia:d=rt
a) Escoger una variable que represente una cantidad,y escri-
Fórmulas geométricas:véase la sección 3.1 y el apéndice C.
bir lo que representa. Representar cualquier otra cantidad
por calcular en términos de esta variable.
b) Utilizar la información del inciso a) para escribir una ecua-
ción que represente la aplicación.
Capítulo 4 Exponentes y polinomios
Reglas de los exponentes Método PIES(Primeros,Internos,Externos,Segundos) para multi-
1. xm(cid:1)xn = xm±n regla del producto plicar binomios:(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd S
xm P
2. = xm–n, x Z 0 regla del cociente
xn
(a+b)(c+d)
3. (xm)n = xm(cid:1)n regla de las potencias
I
4. x0 = 1, x Z 0 regla del exponente cero E
1 Producto de la suma y resta de dos términos iguales:
5. x–m = xm , x Z 0 regla del exponente negativo (a+b)(a-b)=a2-b2
6. abaxybm = abmmxymm , b Z 0, y Z 0 regla de la potencia expandida C(au-adrba)d2=o dea 2u-n b2ianbo+miob:2(a+b)2=a2+2ab+b2
a –m b m regla de una fracción elevada
7. = , a Z 0, b Z 0
abb aab a un exponente negativo
Capítulo 5 Factorización
Si a(cid:1)b=c,entonces ay bson factoresde c. 5. Como paso final,estudie el polinomio que factorizó para deter-
minar si los términos de cualesquiera factores tienen algún fac-
Diferencia de cuadrados:a2-b2=(a+b)(a-b)
tor común.Si encuentra alguno,factorícelo en este punto.
Suma de dos cubos:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Ecuación cuadrática:ax2+bx+c=0, aZ0.
Diferencia de dos cubos:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Propiedad del factor cero:Si ab=0, entoncesa=0 ob=0.
Procedimiento general para factorizar
Para resolver una ecuación cuadrática
un polinomio
por factorización
1. Si todos los términos del polinomio tienen un máximo común
1. Escribimos la ecuación en forma estándar con el término cua-
denominador distinto de 1,factorícelo.
drático con coeficiente positivo.Esto dará como resultado que un
2. Si el polinomio tiene dos términos (o es un binomio),determine
lado de la ecuación sea 0.
si se trata de una diferencia de cuadrados o una suma o resta de
2. Factorizamos el lado de la ecuación que no es igual a 0.
dos cubos.En cada caso,factorícelo por medio de la fórmula
apropiada. 3. Igualamos a 0 cada uno de los factores que contiene la variable
y resolvemos cada ecuación.
3. Si el polinomio tiene tres términos,factorice el trinomio con los
métodos que estudió en las secciones 5.3 y 5.4. 4. Comprobamos cada solución encontrada en el paso 3 en la ecua-
ción original.
4. Si el polinomio tiene más de tres términos,intente factorizarlo
por agrupamiento. Teorema de Pitágorasa2+b2=c2
Capítulo 6 Expresiones y ecuaciones racionales
Para simplificar expresiones racionales 4. Cuando sea posible,factorice el numerador que queda y simpli-
fique la fracción.
1. Factorice el numerador y el denominador tanto como sea posible.
2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes. Para resolver ecuaciones racionales
Para multiplicar expresiones racionales 1. Determine el mcd de todas las fracciones en la ecuación.
1. Factorice por completo todos los numeradores y los denomina- 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el mcd.Esto hará
dores. que cada término en la ecuación se multiplique por el mcd.
2. Divida entre los factores comunes. 3. Elimine los paréntesis y reduzca términos semejantes en cada la-
do de la ecuación.
3. Multiplique los numeradores por los numeradores y los deno-
minadores por los denominadores. 4. Resuelva la ecuación.
5. Compruebe su solución en la ecuación original.
Para sumar o restar dos expresiones racionales
Variación
1. Determine el mínimo común denominador (mcd).
2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el Variación directa:y=kx
mcd. k
Variación inversa:y =
3. Sume o reste los numeradores y conserve el mcd. x
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Álgebra
elemental
Sexta edición
Allen R. Angel
Monroe Community College
con la colaboración de
Richard Semmler Donna R. Petrie
Northern Virginia Monroe Community
Community College College
Traducción:
Víctor Hugo Ibarra Mercado
Escuela de Actuaría Universidad Anáhuac
ESFM-IPN
Javier Enríquez Brito
Facultad de Ingeniería,
Universidad Nacional Autónoma de México
Revisión técnica:
Ing. Juan de Santiago Castillo
Director del Departamento de Ciencias y Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus San Luis Potosí
Datos de catalogación bibliográfica
ANGEL, R., ALLEN
Álgebra elemental
Sexta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007
ISBN: 978-970-26-0775-5
Área: Bachillerato
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 736
Authorized translation from the English language edition,entitled Elementary algebra for college students,byAllen R.Angel,with assistance
from Donna R.Petrie and Richard Semmler,published by Pearson Education,Inc.,publishing as PRENTICE HALL,INC.,Copyright © 2004.
All rights reserved.
ISBN 0-13-140023-1
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés,titulada Elementary algebra for college students,por Allen R.Angel,con la colaboración
de Donna R.Petrie y Richard Semmler,publicada por Pearson Education,Inc.,publicada como PRENTICE-HALL INC.,Copyright © 2004.
Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Enrique Quintanar Duarte
e-mail:[email protected]
Editor de desarrollo:Miguel B.Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción:Rodrigo Romero Villalobos
Edición en inglés:
Senior Acquisitions Editor:Paul Murphy Supplements Coordinator:Liz Covello
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A mi esposa,Kathy
y a mis hijos,Robert y Steven
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Contenido
Prefacio xi
Al estudiante xxii
1 Números reales 1
1.1 Habilidades de estudio para tener éxito en matemáticas 2
1.2 Solución de problemas 8
1.3 Fracciones 20
1.4 El sistema de números reales 31
1.5 Desigualdades 37
1.6 Suma de números reales 42
1.7 Resta de números reales 52
1.8 Multiplicación y división de números reales 62
1.9 Exponentes, paréntesis y orden de las operaciones 71
1.10 Propiedades del sistema de números reales 83
Resumen del capítulo 91
Ejercicios de repaso del capítulo 92
Examen de práctica del capítulo 95
2 Solución de ecuaciones y desigualdades lineales 97
2.1 Reducción de términos semejantes 98
2.2 La propiedad de igualdad de la suma 107
2.3 La propiedad de igualdad de la multiplicación 116
2.4 Solución de ecuaciones lineales con una variable
en un solo lado de la ecuación 123
2.5 Solución de ecuaciones lineales con la variable
en ambos lados de la ecuación 133
2.6 Razones y proporciones 143
2.7 Desigualdades en una variable 158
Resumen del capítulo 165
Ejercicios de repaso del capítulo 166
Examen de práctica del capítulo 168
Examen de repaso acumulativo 169
vii