Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie

333 Pages·2013·1.464 MB·German

by  Gernot Stroth

GernotStroth
Algebra
DeGruyterStudium

Gernot Stroth
Algebra
Einführung in die Galoistheorie
2. überarbeitete und erweiterte Auflage
MathematicsSubjectClassification2010
12D-xx,12E-xx,12F-xx,12J-xx,13A-05,13F-xx,20B-xx,20D-xx
Autor
Prof.Dr.GernotStroth
Martin-Luther-UniversitatHalle-Wittenberg
NaturwissenschaftlicheFakultätII
InstitutfürMathematik06099Halle(Saale)
[email protected]
ISBN978-3-11-029070-7
e-ISBN978-3-11-029071-4
LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData
ACIPcatalogrecordforthisbookhasbeenappliedforattheLibraryofCongress.
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DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.dnb.deabrufbar.
©2013WalterdeGruyterGmbH,Berlin/Boston
Satz:TanovskiPublishingServices,Leipzig
DruckundBindung:Hubert&Co.GmbH&Co.KG,Göttingen
GedrucktaufsäurefreiemPapier
PrintedinGermany
www.degruyter.com
FürNatascha,KerstinundNicole

Vorwort zur 2. Auflage
DiezweiteAuflagewurdeineinigenEinzelheiten,insbesonderebeidenDruckfehlern,
aberauchinhaltlich,verbessert.FürdiegemachtenAnregungenbedankeichmich
besondersbeidenKollegenBenjaminFriedrich(Leipzig)undTiborToth(Cardiff).
DarüberhinauswurdeeinkleinesKapitelüberreininseparableKörpererweiterungen
eingefügtunddasKapitelüberp-adischeZahlenzueinerEinführungindieBewer-
tungstheorieausgeweitet.DamitkonntedannimAnhangauchderSatzvonMonsky
bewiesenwerden,derzwareinSatzderGeometrieist,fürdenaberbisheutekein
BeweisohneBewertungstheoriebekanntist.DaszentraleAnliegendesBuchesist
nach wie vor das Studium der Nullstellen von Polynomen. Dies wurde mit einem
neuenKapitel20zumSatzvonSturmabgeschlossen,welchesdurchdasKapitel19
über angeordnete Körper vorbereitetwird,das sicherlichauchvonunabhängigen
Interesseist.
FürdieUnterstützungbeimErstellenderZeichnungenseidemVerlagDeGruyter
undinsbesondereHerrnPlamenTanovskigedankt.
Halle,imFebruar2013 GernotStroth
Vorwort zur 1. Auflage
DervorliegendeTextistausmeinerVorlesungAlgebraI/II,dieichmehrmalsander
FreienUniversitätBerlinunddannimakademischenJahr1994/95anderMartin-Luther-
UniversitätHalle-Wittenberggehaltenhabe,entstanden.DieVorlesungrichtetesich
anStudentenimdrittenFachsemester.VorausgegangenwareineVorlesung„Lineare
Algebra“,etwaimUmfangmeinesBuchesLineareAlgebra,Heldermann1995,inder
die Begriffe Ring, Körper und Gruppe einführend behandelt wurden, so dass hier
bereitseinigeKenntnissevorausgesetztwerdenkonnten.DierelevantenTatsachen
werdenjedoch(ohneBeweis)imvorliegendenBuchkurzangegeben.InderVorlesung
AlgebraIwurdederStandardstoff,Kapitel1–Kapitel10diesesBuches,behandelt.Im
GegensatzzudenmeistenBüchernüberAlgebra,indenendieBegriffeGruppe,Ring,
KörperalseigenständigeGebietevorgestelltwerden,istdasZieldiesesBuches,eine
DarstellungderGaloistheorievonPolynomgleichungenzugeben.Allesordnetsich
diesemZielunter.SowerdenRingeundGruppennursoweitbehandelt,wieesfürdie
EntwicklungderGaloistheorienotwendigist.
Der NameAlgebraist arabischerHerkunftund bedeutet inetwa „Lösung von
Gleichungen“.DiesistauchderGegenstanddiesesBuches.InderSchulelerntman,wie
mandieLösungenvon3x2−13x−10=0findet.DieGleichungax2 +bx +c = 0
hatdieWurzeln
√
−b± b2−4ac
r ,r = .
1 2 2a
DasliefertdannfürobigeGleichungr ,r =5,−2/3.
1 2
DasHauptanliegendiesesBuchesistdieBeschäftigungmitPolynomgleichungen
undihrenLösungen.SchondieBabylonier(1600v.Chr.)besaßenMethoden,quadrati-
scheGleichungenzulösen.Ca.100n.Chr.wurdendieerstenalgebraischenFormeln
fürquadratischePolynomegefunden.GeometrischeLösungenfürdieGleichungen
drittenGradeswarenauchbekannt,algebraischeFormelnaberbis1500völligunbe-
kannt.DieMathematikerderRenaissanceinBolognateiltenkubischeGleichungenin
dreiGrundtypenein
x3+px=q, x3=px+q, x3+q=px.
Manbeachte,dassdieExistenznegativerZahlennochnichtakzeptiertwurde.Diese
GleichungenwurdenvonFerrogelöst.DieheuteüblicheFormelstammtvonTartag-
lia(1535),derseineMethodeineinemöffentlichenWettkampfderMethodevonFior,
einemStudentenvonFerro,gegenüberstellteundihreÜberlegenheitdemonstrierte.
AllerdingshielterseineMethode,wiedamalsdurchausüblich,geheim,hatsiejedoch
späterCardanomitgeteilt,wobeidieserversprechenmusste,sienichtweiterzugeben.
Dieserhieltsichnichtdaran,sondernveröffentlichte1545einBuch,indemsichunter
anderemauchdieLösungsformelnderGleichungendrittenGradesbefanden.Weiter
enthieltdasBuchdieaufFerrari,einenSchülervonCardano,zurückgehendeMethode,
Vorwortzur1.Auflage ix
eineGleichungviertenGradeszulösen,indemmansieaufeinekubischeGleichung
zurückführt.AlleFormelnhatteneineseltsamegemeinsameEigenschaft.Manerhält
z.B.fürdieGleichungx3+px=q
(cid:2) (cid:2)
(cid:3) (cid:5) (cid:3) (cid:5)
(cid:3) (cid:3)
(cid:4)q p3 q2 (cid:4)q p3 q2
x= 3 + + + 3 + + .
2 27 4 2 27 4
DieserAusdruckistausdenKoeffizientenderGleichungaufgebaut,wobeinurAdditi-
on,Subtraktion,Multiplikation,DivisionundWurzelziehenvorkommen.
SolcheAusdrückenenntmanRadikale.DaalleGleichungenvomGradhöchstens
viernundurchRadikalegelöstwaren,waresnatürlichzufragen,obdiesauchfür
dieGleichung5.Gradesmöglichist.VieleMathematikerversuchtensichandiesem
Problem.Eulerz.B.fandvieleneueMethoden.Um1770waresLagrange,dereinen
wesentlichenSchrittvorwärtsmachte.Eruntersuchtesystematischdieverschiedenen
Tricks,diezudenFormelnfürdieGleichungenvomGrad≤4führten,undzeigte,dass
diesealleimWesentlichendaraufberuhten,geeigneteFunktionenindenWurzeln
zufinden,dieuntergewissenPermutationenderWurzelninvariantsind.Erzeigte
weiter,dassdiesesVerfahrenfürdieGleichungfünftenGradesscheiternmuss.Somit
hattemannachLagrangedieVermutung,dassdieLösungderallgemeinenGleichung
5.GradesdurchRadikalausdrückenichtmöglichist.ImJahre1813lieferteRuffinieinen
Beweis,derallerdingseinigeLückenhatte.Dieslaghauptsächlichdaran,dassRuffini
keinemathematischstrengeDefinitionderLösbarkeitdurchRadikalausdrückehatte.
DieNichtlösbarkeitderallgemeinenGleichung5.GradeswurdeschließlichvonAbel
1824bewiesen.NunergabsichnatürlichdieFrage,welcheGleichungensinddurch
Radikalelösbar.Abelarbeitetehieran,starbaber1829.DieLösungdiesesProblems
durchGalois1832istdannauchderHauptgegenstanddiesesBuches.Dieeigentliche
revolutionäreIdeevonGaloiswardiefolgende:Seienf einPolynommitrationalen
Koeffizientenundx1,...,xn dieNullstellen.SeiK = Q(x1,...,xn)derkleinste
TeilkörpervonC,deralleNullstellenenthält,somussmanKuntersuchen,wennman
etwasüberf erfahrenwill.DemKörperKwirdeinegewisseGruppeGvonAutomor-
phismenzugeordnet,diesogenannteGaloisgruppe.Wirbetrachtenz.B.dieGleichung
√ √ √ √
x4−5x2+6=0.DieNullstelleninCsindα= 2,β=− 2,γ = 3undδ=− 3.
EsgehörendiePaareα,βundγ,δjeweilsirgendwiezusammen.Wirkönnenαundβ
vonγundδunterscheiden,indemwirnurGleichungenmitrationalenKoeffizienten
benutzen.EssindαundβNullstellenvonx2−2aberγundδnicht.Zwarbesteht
aucheinUnterschiedzwischenαundβ,aberderVorzeichenwechselistnichtmit
rationalenPolynomenzuentdecken.NungibtesgenauvierAnordnungenderWur-
zeln,sodassalleindererstenAnordnungrichtigenrationalenGleichungeninjeder
Anordnungrichtigbleiben:αβγδ|αβδγ |βαγδ|βαδγ.DiePermutationsgruppe
dieservierAnordnungenistgenaudieGaloisgruppe.Galoiszeigte,dasssichvielewe-
sentlicheEigenschaftenvonf inderGruppeGwiderspiegeln,soz.B.dieFragenach
derLösbarkeitdurchRadikale.Dabeientdeckteer,dassesinGruppenGausgezeich-
neteUntergruppenN gibt,diesogenanntenNormalteiler.Zudiesengehörendann