´ Algebra Comutativa um tour ao redor dos an´eis comutativos T F Eduardo Tengan ) (ICMC-USP) A 8 2 : 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E T F ) A 8 2 : 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E Copyright c 2010 E. Tengan (cid:13) Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this document provided the copyright notice and this permission notice are preserved on all copies. “To get a book from these texts, only scissors and glue were needed.” J.-P. Serre, in response to receiving the 1995 Steele Prize for his book “Cours d’Arithm´etique” T F ) A 8 2 : 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E T F ) A 8 2 : 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E Chapter 1 Pref´acio Quando terminei de escrever meu livro anterior, estava ta˜o esgotado que prometi a mim mesmo: meu pr´oximo livro ser´a intitulado “A Tabela dos Primos Pares (vers˜ao resumida)”. A Teoria de An´eis possui diversas aplica¸co˜es nas mais diversas partes da Matema´tica, tais como Combinat´oria, Geometria Alg´ebrica, Teoria dos Nu´meros, An´alise, e at´e mesmo fora da Matema´tica, como na Culin´aria (an´eis de cebola), no Transporte (anel rodovi´ario). No cinema, an´eis tˆem obtido grande destaque, em pel´ıculas como “O Senhor dos An´eis”, “Matrix” e “Corpo Fechado”. Os pr´e-requisitos para este livro s˜ao poucos, BourbarkiLang 1 Devo ler este livro? 2 Terminologia Frequente e Notac¸o˜es Utilizamos a j´a consagrada notac¸a˜o N, Z, Q, R, C para denotar os conjuntos dos nu´meros naturais (incluindo o zero), inteiros, racionais, reais e complexos. Denotamos ideais por letras go´ticas. Al´em disso, ao longo de todo o livro utilizaremos a seguinte terminologia: 1. Claramente: Na˜o estou a fim de escrever todos os passos intermedia´rios. 2. Lembre: Na˜o dever´ıa ter que dizer isto, mas... 3. SemPerdadeGeneralidade: Farei apenas um caso e deixarei vocˆe adivinhar o resto. 4. Verifique: Esta´eapartechatadaprova,enta˜ovocˆepodefazˆe-lanaprivacidadedoseular,quando ningu´em estiver olhando. 5. Esbo¸codeProva: Na˜o consegui verificar todos os detalhes, enta˜o vou quebrar a prova eTm peda¸cos que na˜o pude provar. 6. Dica: A mais dif´ıcil dentre as muitas maneiras de se resolver um problema. F 7. Analogamente: Pelo menos uma linha da prova acima ´e igual `a prova deste caso. ) 8. Porumteoremaanterior: na˜o me lembro do enunciado (na verdade,nem tAenho certeza se proveiis8to ou na˜o), mas se o enunciado estiver correto, o resto da prova segue. 2 : 9. Provaomitida: Acredite, ´e verdade. 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E T F ) A 8 2 : 7 1 R ( 0 1 0 2 D , 9 2 t c O , T E Chapter 2 anel anelzero morfismo! de m´odulo morfismo! de grupodeunidades Vamos ser amigos dos an´eis! anelproduto ideal Emcontrapontoaorestantedestelivro,estecap´ıtuloinicialtemumcara´ter,digamos,maisexplorat´orio: veremos an´eis comutativos em seu formato “bruto”, ainda na˜o lapidados por uma abordagem te´orica e sistema´tica, a ser adotada a posteriori. Cabe aqui bem lembrar que A´lgebra Comutativa na˜o ´e uma ´areaisoladadoresto da Matema´tica;muito pelo contr´ario,´euma disciplina que bebe de diversasfontes, comoaAn´alise,aTeoriadosNu´meros,aGeometriaeaTopologia,entreoutras. Conhecerestaintera¸ca˜o ´e importante, na˜o s´o para compreender como a A´lgebra Comutativa se posiciona dentro do Cosmos matem´atico, mas tamb´em para entender a motivac¸a˜o dos teoremas, m´etodos e exemplos que formam o tronco desta bela disciplina. Muito bem, mas o que de fato ´e feito neste cap´ıtulo? Afinal de contas, queremos menos palavras e mais ac¸a˜o! Come¸camos com uma breve revis˜ao das defini¸co˜es e conceitos ba´sicos que ser˜ao utilizados ao longo de todo o livro. Logo em seguida, introduzimos os grandes protagonistas no estudo dos an´eis comutativos: os ideais primos. Veremos o papel que eles assumem em diversos exemplos concretos. Por fim, encerramoseste prelu´dio definindo a topologia de Zariski do espectro primo de um anel, sinalizando um dos temas recorrentes deste manuscrito: que an´eis comutativos s˜ao, sobretudo, objetos geom´etricos por natureza. 1 Notac¸˜ao e Convenc¸o˜es Esta se¸ca˜o ´e uma “colec¸a˜o de pr´e-requisitos”, defini¸co˜es e conceitos assumidos como conhecidos e que ser˜ao frequentemente utilizados em todo o livro. Sugerimos que o leitor na˜o perca muito tempo nesta se¸ca˜o, fazendo apenas uma leitura r´apida para se familiarizar com as notac¸o˜es empregadas. Come¸camos com a no¸ca˜o de anel: como vocˆe j´a sabe, um anel nada mais ´e do que um conjunto ondepodemossomar,subtrairemultiplicar;neste livro,convencionamosque otermona˜oTadornadoanel significar´a sempre anel comutativo com 1. Note que o menor anel do universo, o anel zero A=0 (com um u´nico elemento 0 = 1) ´e um leg´ıtimo anel e na˜o esta´ banido por esta conven¸ca˜o. Um morfismo de an´eis φ:A B ´e um mapa que preserva soma e produto, i.e., φ(a +Fa ) = φ(a ) + φ(a ) e 1 2 1 2 → φ(a a ) = φ(a ) φ(a ) para todo a ,a A, e que (ainda por decreto) satisfaz φ(1) = 1. Um 1 2 1 2 1 2 · · ∈ A-mo´dulo M ´e, moralmente falando, um “espa¸co vetorial sobre A” em que 1 m = m para)todo A · 8 m M. Um morfimo de A-mo´dulos ψ:M N ´e uma “transforma¸ca˜o A-linear” entre2M e N: ∈ → ψ(a m +a m )=a ψ(m )+a ψ(m ) para todo a ,a A e m ,m M. : 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 7 · · · · ∈ ∈ Recorde que uma unidade u A ´e um elemento que possui inverso multiplicativo1u 1 A. O − conjuntodetodasasunidadesdeA,∈juntamentecomaoperac¸a˜oRmultiplica¸ca˜o,formau m(grupoa∈beliano 0 A×, o grupo de unidades de A. Por exemplo, Z× = 1 e C[t]× =C× =C 0 . 1 {± } \{ } Dada uma cole¸ca˜o de an´eis A , λ Λ, definimos o anel produto A 0como o anel dado pelo produtocartesianodosA ,comaλsoma∈emultiplica¸ca˜oDefetuadascoordenaλd∈aΛa2λcoordenada. Oelemento neutrodeste anel´e atuplλa constantecomtodasasentradasiguaisa 0eQaid9e,n tidade´ea tupla constante com todas as entradas iguais a 1. 2 Lembre ainda que um ideal a de um anel A ´e um A-submo´dulotde A, ou seja, um subconjunto c a A fechado por combinac¸o˜es A-lineares: x,y a e a,b A Oax+by A. Ideais generalizam a ⊂ ∈ ∈ ⇒ ∈ Ano,¸coa˜ocodnejucnotnojudnetotoddeasmau´sltcipomlosbidneac¸uo˜meseAle-mlineenatroe.sD(fiandiatausm)adefaTem,le ´ımliaenatrobsitnre´asrtiaaf{abmλ´}ılλia∈Λ de elementos de E a b + +a b r N, a A, λ Λ 1· λ1 ··· r· λr ∈ i ∈ i ∈ ´e um ideal de A, o ideal(cid:8)gerado por b . (cid:12)Note que este ´e o “menor(cid:9)” ideal de A que cont´em o λ λ Λ (cid:12) { } ∈ conjunto b . O ideal geradopor a ,...,a A ser´a denotado por uma das duas seguintes formas: λ λ Λ 1 n { } ∈ ∈ (a ,...,a )=A a + +A a 1 n 1 n · ··· · 8 Vamos ser amigos dos an´eis! Ideais da forma (a), isto ´e, gerados por um u´nico elemento, s˜ao chamados de ideais principais. ideal! principal Ideais podem ser multiplicados e somados: dados dois ideais a e b, a b ´e o ideal gerado por todos ideal! pr´oprio · morfismo! quociente os produtos a b coma a e b b. Dada uma fam´ıliade ideais a , denotamos por a o ideal gerado · ∈ ∈ λ λ λ pela uni˜ao a . Em particular, para ideais finitamente gerados, temos λ λ P S (a ,...,a ) (b ,...,b )=(a b ,a b ,...,a b ,...,a b ) 1 m 1 n 1 1 1 2 i j m n · (a ,...,a )+(b ,...,b )=(a ,...,a ,b ,...,b ) 1 m 1 n 1 m 1 n Um ideal a de A´e dito pro´prio se a=A, isto´e,se a´e um subconjunto pr´opriode A. Note que a´e 6 pr´oprio se, e s´o se, 1 / a ou, mais geralmente, se, e s´o se, A× a= (da sabedoria popular: “a melhor ∈ ∩ ∅ maneirade se livrarde umidealpr´oprio´e daruma unidade a ele”). De fato, seA× a= enta˜o1 a e ∩ ∅ 6∈ portanto a=A. Reciprocamente, se a ´e pr´oprio mas existe u A× tal que u a enta˜o a=au 1 u a − 6 ∈ ∈ · ∈ para todo a A, o que´e absurdo. Observe que todo anel, com exce¸ca˜o do anel 0, possui ideais pr´oprios ∈ (o ideal nulo, por exemplo). Ideaispossuemumimportantepapelna˜os´oemnossasvidasmastamb´emnasvidasdosan´eis,sendo ingredientesessenciaisna promoc¸a˜oda igualdade: dadoumideal a A, oanel quociente A/a´eoanel ⊂ obtido “igualando-se” elementos que diferem por um elemento em a; formalmente, os elementos de A/a s˜ao as classes laterais do ideal a, que ser˜ao denotadas por uma das seguintes trˆes maneiras: a+a=amoda=a A/a (a A) ∈ ∈ (sendo a u´ltima notac¸a˜o a utilizada se o ideal a esta´ claro pelo contexto). Escrevemos ainda a b (mod a) a b a a=b em A/a ≡ ⇐⇒ − ∈ ⇐⇒ de modo que as propriedades usuais de congruˆencias se verificam: a+c b+d (mod a) a b (mod a) ≡ ≡ a c b d (mod a) c d (mod a) ⇒ − ≡ − (cid:26) ≡ ac bd (mod a) ≡ Por exemplo, para provar a u´ltima propriedade, note que se a b a e c d a enta˜o ac bd = − ∈ − ∈ − c (a b)+b (c d) a. Estas propriedades nada mais expressam do que a compatibilidade das · − · − ∈ operac¸o˜es do anel com a rela¸ca˜o de equivalˆencia dada pelo quociente. Isto mostra que as operac¸o˜es em A/a def def a b = a b e a b = a b (a,b A) ± ± · · ∈ T esta˜o de fato bem definidas, isto ´e, independem da escolha dos representantes de classe a,b. O anelquociente vemequipado de f´abrica comum morfismo quociente ou morfismo proje¸c˜ao, claramente sobrejetor: F q:A։A/a ) a a A 8 7→ 2 Aindanoque tangeaquocientes,temososseguintesresultadosmuito importantes,aindaquededem:on- 7 stra¸co˜essingelas. Oprimeiro´eoprinc´ıpio“zerovaiemzero”: paramostrarqueummorfismodeumanel 1 quociente A/a para um outro anel B esta´ bem definido, basta verificaRr que 0 0. O segund(o fornece 7→ condi¸co˜essuficientes sobasquais este morfismo´e umisomorfismo. O terceiroidentificaos id0eaisdo anel quociente A/a com os ideais de A contendo a. 1 0 Teorema 1.1 (Propriedade Universal do Quociente) DSejam A e B an´eis e se2ja a um ideal de A. Dar um morfismo φ:A/a B ´e o mesmo que dar um morfismo φ:A 9B,tal que φ(a) = 0. → → Explicitamente, se φ:A B satisfaz φ(a) = 0 ent˜ao existe um u´nico morfism2o φ:A/a B tal que → → φ(a)=φ(a) para todo a A, ou seja, tal que o seguinte diagrama comuta: t ∈ c O φ - A B - , T φ E ! q ∃ ? ? A/a Aqui q:A։A/a denota o morfismo quociente. 9 Teorema 1.2 (Isomorfismo) Seja φ:A B um morfismo de an´eis. Enta˜o o kernel de φ m´oduloquocien → nilpotente reduzido def kerφ = a A φ(a)=0 divisordezero { ∈ | } elementosasso corpodefra¸c˜ ´e um ideal de A e φ induz (pelo teorema anterior) um morfismo φ:A/kerφ ֒ B que ´e injetor e que elemento! irredut → portanto estabelece um isomorfismo entre A/kerφ e a imagem de φ. dom´ıniodefatora¸ dom´ıniodeideais Teorema 1.3 (Correspondˆencia de Ideais) Seja A um anel e a um ideal. O mapa quociente q:A։ A/a estabelece uma bijec¸˜ao entre ideais b de A tais que b a ideais de A/a ⊃ ↔ (cid:8) (cid:9)b (cid:8)q(b) (cid:9) 7→ SeN ´eumA-submo´dulodeM,podemosdefiniroA-mo´dulo quocienteM/N demaneiraan´aloga, comooconjunto dasclasseslateraisde N. Mutatis mutandis,ostrˆesteoremasanterioresvalemtamb´em no contexto de m´odulos. Lembre que um elemento a de um anel A´e dito nilpotente se existe um nu´mero natural n tal que an = 0. Um anel A = 0 ´e chamado de reduzido se seu u´nico elemento nilpotente ´e o 0. Um elemento 6 a=0´e um divisor de zero se existe b=0 tal que a b=0. Recorde que um anel A=0 sem divisores 6 6 · 6 de zero ´e chamado de dom´ınio: mais explicitamente, um anel A ´e um dom´ınio se A = 0 e, para todo 6 a,b A, temos a b = 0 a = 0 ou b = 0. Num dom´ınio, vale a “lei do cancelamento”: se c = 0 ∈ · ⇐⇒ 6 enta˜o a c=b c a=b (ja´ que a c=b c (a b) c=0 a b=0). Para elementos a,d · · ⇒ · · ⇐⇒ − · ⇐⇒ − em um dom´ınio A, escrevemos ainda d a (lˆe-se “d divide a” ou “a ´e mu´ltiplo de d”) | a=b d para algum b A ⇐⇒ · ∈ (d) (a) (como diz o velho ditado, “no mundo ideal, conter´e dividir”) ⇐⇒ ⊃ Dois elementos a,b de um dom´ınio A s˜ao ditos associados se eles diferem de uma unidade (multiplica- tivamente falando), isto ´e, a = b u para alguma unidade u A×. Ideais s˜ao “insens´ıveis a associados” · ∈ no sentido que (a)=(b) a e b s˜ao associados ⇐⇒ T De fato, temos que (a) = (b) ´e equivalente a a b e b a, ou seja, `a existˆencia de elementos u,v A | | ∈ tais que a = b u e b = a v. Se a e b s˜ao associados, digamos a = b u com u A×, temos tamb´em · · · ∈ b = a v para v = u 1; reciprocamente, se a = b u e b = a v temos a = a vuF, ou seja, a = b = 0 ou − · · · · vu=1 u,v A× e em ambos os casos a e b s˜ao associados. ⇒ ∈ Para um dom´ınio A, denotaremos ainda por ) A 8 2 a : FracA= a,b A, b=0 7 b ∈ 6 1 n (cid:12) o o seu corpo de fra¸co˜es: aqui, duas fra¸co˜es ab e dc(cid:12)(cid:12) s˜ao identificRadas se, e s´o se, ad=0b c(; e as operac¸o˜es s˜ao definidas do modo usual: 1 0 a c a d+b c a c a c 2 + = · · De = · b d b d b · d b d , · · 9 2 SejaA´eumdom´ınio. Umelementoπ A (A× 0 )´editoirredut´ıvelseeles´opossuifatorac¸o˜es ∈ \ ∪{ } t triviais: π = a b a A× ou b A×. Um dom´ınio A ´e chamadocde dom´ınio de fatora¸c˜ao u´nica · ⇒ ∈ ∈ O (DFU) se todo elemento a = 0 de A pode ser fatorado de maneira essencialmente u´nica como produto de irredut´ıveis,ou seja, 6 , T 1. (Existˆencia da fatorac¸a˜o) a pode ser escrito como a=πE1π2...πm com πi irredut´ıveis; 2. (Unicidadedafatorac¸a˜o)Seatamb´emseescrevecomoa=ρ ρ ...ρ comρ irredut´ıveisenta˜o 1 2 n i m=n e existe uma permuta¸ca˜o σ: 1,2,...,m 1,2,...,m tal que π ´e associado a ρ , i σ(i) { }→{ } i=1,2,...,m=n. Um dom´ınio em que todo ideal ´e principal ´e chamado de dom´ınio de ideais principais (DIP). Por exemplo, Z e C[t] s˜ao DIPs. Temos ainda os seguintes importantes resultados (ver apˆendice): 10 Vamos ser amigos dos an´eis! Teorema 1.4 Todo DIP ´e um DFU. ´algebra complexo Teorema 1.5 Se A ´e um DFU ent˜ao A[x] tamb´em ´e um DFU. sequˆenciaexata produtodireto somadireta Uma A-´algebra´e por defini¸ca˜o um morfismo de an´eis φ:A B. Muitas vezes, φ (dito morfismo → base) ´e claro pelo contexto e por isso nos referimos ao pr´oprio anel B como sendo uma A-´algebra. Por exemplo, o anel de polinˆomios A[x ,...,x ] ´e uma A-´algebra via a inclus˜ao A ֒ A[x ,...,x ]; al´em 1 n 1 n → disso, qualquer anel A ´e uma Z-´algebra pelo morfismo natural Z A (que leva 1 Z em 1 A). Note → ∈ ∈ que φ na˜o ´e necessariamente injetivo, mas se a A e b B denotamos φ(a) b simplesmente por a b, ∈ ∈ · · por abuso de linguagem. Finalmente, um morfismo f:B C de A-´algebras ´e um morfismo de an´eis → compat´ıvel com os morfismos bases φ:A B e ψ:A C, isto ´e, tal que o diagrama → → f - B C - 6 ψ φ A comuta (f φ = ψ). Utilizando o abuso de linguagem acima, um morfismo de an´eis f:B C ´e um ◦ → morfismo de A-´algebras se, e somente se, f ´e A-linear: f(ab)=af(b) para todo a A e b B. ∈ ∈ Rela¸co˜es lineares entre m´odulos s˜ao geralmente expressas atrav´es de sequˆencias exatas. Uma sequˆencia de morfismos de A-mo´dulos - M fi+-1 M f-i M fi−-1 M fi−-2 i+1 i i 1 i 2 ··· − − ··· ´e um complexo se f f = 0 imf kerf para todo i. Um complexo ´e uma sequˆencia i 1 i i i 1 − ◦ ⇐⇒ ⊂ − exata se imf =kerf para todo i. Em particular, i i 1 − - f- g- - 0 M N P 0 ´e uma sequˆencia exata se, e s´o se, f ´e injetora, g ´e sobrejetora e kerg =imf, de modo que g induz um isomorfismo N/f(M)=P. Neste caso dizemos que a sequˆencia acima ´e uma sequˆencia exata curta. ∼ Uma maneira de interpretar uma sequˆenciaexata curta´e imaginar o m´odulo do meio como “composto” pelosm´odulosdaspontas. Porexemplo,seosm´odulosacimas˜aok-mo´dulosondek´eumcorpo(i.e., M, N e P s˜ao k-espac¸os vetoriais) enta˜o dim N =dim M +dim P. k k k Note que toda sequˆencia exata (M ,f ) pode ser quebrada em sequˆencias exatas curtas • • T - - - - 0 imf M imf 0 i+1 i i de modo que o estudo de sequˆencias exatas gerais pode ser reduzido ao estudo das sequˆencias exatas curtas. F Dados dois A-mo´dulos M e N, o conjunto Hom (M,N) de todos os morfismos φ:M N de A- A → m´odulostamb´em´eumA-mo´dulo(comasomaeoprodutoporescalaresemAinduzidospelasoperac¸o˜es ) A 8 emN). Al´emdisso,dadaumafam´ıliadeA-mo´dulosMi,i I,podemosconstruirdoisnovosA-mo´dulo2s: ∈ o produto direto : 7 M 1 i R ( i I Y∈ 0 que, como conjunto, ´e igual ao produto cartesiano dos Mi, sendo a soma e o produto1por escalares realizada componente a componente; e a soma direta 0 2 D M i , 9 i I M∈ 2 aqpueen´eaospsuabramu´omdunlou´mdoerporofidnuittooddeir´ıentdoicceusjois. eUlemmmen´otdouslso˜aqouaes´etuispolmaso(rmfoia)i∈uImqacutsa osmeanudliarse,tai.e.,comMmio6=nd0e O i I i cada M = A ´e chamado de m´odulo livre sobre A. Por exemplo, espa¸cos vetoriais sobre u∈m corpo k i ∼ L s˜ao k-mo´dulos livres. , T Observe que temos os isomorfismos canˆonicos E Hom (T,M )=Hom T, M e Hom (M ,T)=Hom M ,T A i A i A i A i i I i I i I i I Y∈ (cid:0) Y∈ (cid:1) Y∈ (cid:0)M∈ (cid:1) onde o primeiro isomorfismo leva (φ ) no morfismo φ:T M cuja i-´esima coordenada ´e φ , enquanto que o segundo isomorfismoileiv∈aI (ψ ) no morfism→o ψ: i∈I Mi T dado por ψ (m ) =i ψ (m ), que faz sentido uma vez m =0i ip∈aIra quase todo iQI.i∈I i → i i∈I i∈I i i i ∈L (cid:0) (cid:1) P