Algebra

334 Pages·1993·8.398 MB·German

by  Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Springer-Lehrbuch
Siegfried Bosch
ALGEBRA
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr. Siegfried Bosch
Mathematisches Institut
Westfälische Wilhelms-Universität
Einsteinstraße 62
D-48149 Münster
Mathematics Subject Classification (1991): 12-01, 13-01, 14-01,
20-01
ISBN 978-3-540-56833-9 ISBN 978-3-662-05649-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-05649-3
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Bosch. Sieg/ried:
Algebra/Siegfried Bosch. - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong;
Barcelona; Budapest: Springer. 1993
(Springer-Lehrbuch) ISBN 978-3-540-56833-9
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Vorwort
Wie kommt man eigentlich dazu, ein Lehrbuch über Algebra zu schreiben, zumal
es doch einige hervorragende Bücher zu diesem Thema gibt? Nun, ich muß ge
stehen, daß ich in dieses Projekt mehr oder weniger hineingeschlittert bin. Es
begann damit, daß ich dem Wunsch meiner Hörer folgte und in den Jahren
1990/91 ein Skript zur Vorlesung über Algebra herausgab, welches mit viel Reso
nanz aufgenommen wurde. Besonders erfreulich war für mich, daß der Lernerfolg
in Übungen und Klausuren im Vergleich zu früheren Algebra-Kursen deutlich
höher zu liegen schien. Solchermaßen "ermutigt" begann ich mit Überlegun
gen, den Inhalt des Skriptes in ein Lehrbuch umzusetzen, um so mehr, als auch
seitens des Springer-Verlags Interesse an einem Lehrbuch über Algebra bestand.
Vom einstigen Vorlesungsskript bis zur Fertigstellung des vorliegenden Bu
ches war allerdings noch ein weiter Weg zu gehen. Zahlreiche Kollegen haben
mir dabei durch wertvolle Anregungen sowie konstruktive Kritik geholfen. Ihnen
allen bin ich zu Dank verpflichtet sowie insbesondere auch Herrn Dr. J. Heinze
vom Springer-Verlag, mit dem ich manches diesbezügliche Detail besprochen
habe.
In den Algebra-Vorlesungen nimmt heutzutage die Theorie der Körpererwei
terungen, insbesondere die Galois-Theorie, einen zentralen Platz ein. Ich habe
mich darum bemüht, diesen "Standard" -Stoff mit allen notwendigen Vorberei
tungen in größtmöglicher Einfachheit und Übersichtlichkeit darzustellen, ohne
jedoch auf simplifizierende ad-hoc-Lösungen zurückzugreifen. Wichtig war mir
dabei, die Dinge in behutsamer Weise so zu präsentieren, wie sie heute nach
allgemeiner Einschätzung sowie aufg rund von Erfahrungen aus der aktuellen
Forschung gesehen werden sollten, ohne jedoch den Blick für die historische
Entwicklung der Theorie zu verlieren.
Neben Abschnitten, in denen der Standardstoff dargestellt wird, enthält das
Buch noch eine ganze Reihe von Abschnitten, die mit einem Stern (*) gekenn
zeichnet sind. Hier werden Ausblicke auf weiterführende Gebiete gegeben, die
seltener in Vorlesungen behandelt werden, deren Kenntnis jedoch für ein ver
tieftes Studium der Algebra von großem Interesse ist, insbesondere im Hinblick
auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie. In diesen Abschnitten konnte
schon aus Platzgründen nicht ganz so grundsätzlich vorgegangen werden wie im
restlichen Teil des Buches, auch ist das Tempo der Darstellung etwas straffer.
Hauptziel ist jeweils die Erläuterung eines begrenzten Themenkomplexes inklu
sive kompletter Beweise der wichtigsten zugehörigen Resultate. Dabei werden
VI Vorwort
alle benötigten Hilfsmittel präzise erklärt, so daß das Material dem interessier
ten Leser auch zum Selbststudium anempfohlen werden kann.
Welche FUnktion soll das vorliegende Buch nun erfüllen? Natürlich ist das
Buch geschrieben für Studenten (und damit meine ich StudentInnen nach heuti
ger Terminologie), die im Anschluß an die mathematischen Anfängervorlesungen
eine Vorlesung über Algebra hören bzw. sich auf eine entsprechende Examens
prüfung vorbereiten. Ich denke, daß ein Student, der sich in das Gebiet der
Algebra einarbeiten möchte, in idealer Weise zwei Texte gebrauchen könnte,
und zwar einen ersten, der ihn problemorientiert in die Thematik der Algebra
einführt, und einen zweiten, der die Theorie in systematischer Weise geord
net präsentiert. Ich habe versucht, beide Aspekte miteinander zu kombinieren.
Die Anordnung des Stoffes erfolgt im wesentlichen in systematischer Weise,
schon deshalb, damit der Text nicht nur zu einer einzigen Vorlesung speziellen
Geschmacks paßt, sondern mehr oder weniger universell zu "jeder" Algebra
Vorlesung benutzt werden kann. Andererseits wird in der Einführung und zu
Beginn eines jeden Kapitels der Aspekt der Problemorientiertheit realisiert, in
dem auf die zugehörigen historisch gewachsenen Fragestellungen eingegangen
wird.
Jeder Abschnitt wird mit einer Liste von ausgewählten Übungsaufgaben
beendet, die dazu dienen sollen, die Handhabung des besprochenen Stoffes an
Beispielen zu üben. Speziell hervorzuheben sind hierbei die kursiv gedruckten
Aufgaben, zu denen es Lösungsvorschläge im Anhang gibt. Diese Aufgaben sind
überwiegend nicht von der konventionellen einengenden Form, etwa "Man zeige,
daß x = y gilt" , sondern sie sollen aufgrund ihrer offenen Art der Fragestellung
dazu anleiten, einige Aspekte der dargebotenen Theorie nochmals zu überden
ken. Man könnte sich etwa vorstellen, daß Fragen dieser Art in einer münd
lichen Examensprüfung eine Rolle spielen. Lösungen müssen nicht unbedingt
in Form und Inhalt mit den im Anhang aufgeführten Vorschlägen übereinstim
men, zumalletztere meist noch einige zusätzliche Erläuterungen enthalten. Man
sollte den Anhang aber stets konsultieren, wenn man meint, bei der Bearbeitung
einer Kursiv-Aufgabe zu einem gewissen Abschluß gelangt zu sein.
Zum Schluß bleibt mir noch die angenehme Aufgabe, für mannigfache Hilfe
bei den vielen Dingen zu danken, die beim Schreiben eines Buches eine wich
tige Rolle spielen. Herr Uwe Bombosch, Frau Eva Maria Krause, die auch das
Symbol- und das Sachverzeichnis zusammengestellt hat, Herr Klaus Schlöter
und Herr Dr. Peter Ullrich haben das Manuskript in kritischer Weise durch
gesehen. Der Springer-Verlag war in technischen Fragen stets mit Rat und
Tat behilflich, insbesondere was das Layout und die Herstellung des fina
len Manuskript-Abzugs angeht. "Last but not least" danke ich meinem Sohn
Michael, der mich von schwerem 'lEX-Gepäck befreit hat, indem er einen
maßgeschneiderten Konverter von EPIGRAF-R.ediger nach A.MS-U-TEJX für
mich anfertigte.
Münster, im Mai 1993 Siegfried Bosch
Inhalt
Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen 1
1 Elementare Gruppentheorie . . . . . . . . . . . 8
1.1 Gruppen .................. 9
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen 14
1.3 Zyklische Gruppen 19
2 Ringe und Polynome . . 22
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen 25
2.2 Ideale ................ 31
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe . 34
2.4 Primfaktorzerlegung ......... 41
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen 50
2.6 Nullstellen von Polynomen 56
2.7 Der Satz von Gauß . . . 58
2.8 Irreduzibilitätskriterien 63
2.9 Elementarteilertheorie* 66
3 Algebraische Körpererweiterungen 80
3.1 Die Charakteristik eines Körpers 82
3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen 84
3.3 Ganze Ringerweiterungen* ...... 91
3.4 Algebraischer Abschluß eines Körpers 97
3.5 Zerfällungskörper............ 104
3.6 Separable Körpererweiterungen . . . . 109
3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen 116
3.8 Endliche Körper ............. 121
3.9 Anfänge der algebraischen Geometrie* 123
4 Galois-Theorie ........... 130
4.1 Galois-Erweiterungen 132
4.2 Pro endliche Galois-Gruppen* 139
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 150
4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante und Resultante* 158
4.5 Einheitswurzein ...................... 172
VIII Inhalt
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren 182
4.7 Norm und Spur ..... 184
4.8 Zyklische Erweiterungen 190
4.9 Galois-Descent* 196
5 Fortführung der Gruppentheorie 202
5.1 Gruppenaktionen . . . 203
5.2 Sylow-Gruppen . . . . 208
5.3 Permutationsgruppen 216
5.4 Auflösbare Gruppen . 220
6 Anwendungen der Galois-Theorie 225
6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen 226
6.2 Der Fundamentalsatz der Algebra 235
6.3 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 238
7 Transzendente Erweiterungen 246
7.1 Transzendenzbasen .. . 247
7.2 Tensorprodukte* ... . 253
7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen* 265
7.4 Kalkül der Differentiale* . . . . . . 275
Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben 286
Literatur ..... 315
Symbolverzeichnis 316
Na men- und Sachverzeichnis 319
Einführung
Zur Lösung algebraischer Gleichungen
Der Name "Algebra" ist arabischen Ursprungs (9. Jahrhundert n. ehr.) und
bedeutet Rechnen mit Gleichungen, etwa das Zusammenfassen von Termen der
Gleichung oder das Verändern der Terme durch gleichartige Manipulationen
auf den beiden Seiten der Gleichung. Dabei stellt die Gleichung eine Beziehung
dar zwischen bekannten Größen, den sogenannten Koeffizienten, sowie den un
bekannten Größen oder Variablen, deren Wert man mit Hilfe der Gleichung
ermitteln möchte. Meist interessiert man sich in der Algebra für polynomiale
Gleichungen, etwa des Typs
2x3 + 3x2 + 7x - 10 = 0,
wobei x für die unbekannte Größe steht. Eine solche Gleichung wird allgemein
als algebraische Gleichung für x bezeichnet. Ihr Grad ist gegeben durch den
Exponenten der höchsten wirklich vorkommenden Potenz von x. Algebraische
Gleichungen vom Grad 1 nennt man linear. Das Studium linearer Gleichun
gen oder, allgemeiner, linearer Gleichungssysteme in endlich vielen unbekannten
Größen ist ein zentrales Problem der Linearen Algebra.
Unter Algebra im Sinne dieses Buches wollen wir im wesentlichen dasjenige
Gebiet verstehen, welches sich mit dem Studium algebraischer Gleichungen einer
unbekannten Größe beschäftigt, also in heutiger Sprache die Theorie der Körper
erweiterungen mit all ihren abstrakten Begriffsbildungen, auch gruppentheore
tischer Art, die insgesamt eine bequeme und präzise Handhabung algebraischer
Gleichungen erst möglich gemacht haben. In der Tat verwendet die moderne
Algebra schon auf "elementarem" Niveau in viel stärkerem Maße abstrakte Me
thoden und Begriffe, als man dies etwa von der Analysis oder der komplexen
Funktionentheorie her gewohnt ist. Der Grund hierfür wird in gewisser Weise
deutlich, wenn man das Problem der Lösung algebraischer Gleichungen in seiner
historischen Entwicklung verfolgt, was wir nachstehend ein wenig tun wollen.
Die Anfänge sind ganz konkreter Natur und konzentrieren sich im wesent
lichen auf das Bearbeiten spezieller zahlenmäßig gegebener "Aufgaben". Eine
berühmte Aufgabe aus der griechischen Antike (ca. 600 v. ehr. - 200 n. ehr.)
ist z. B. das Problem der Würfelverdoppelung: Gegeben sei ein Würfel mit
Kantenlänge 1, man bestimme die Kantenlänge eines Würfels, der doppeltes
2 Einführung
Volumen besitzt. Zu lösen ist also die algebraische Gleichung x3 = 2, welche
vom Grad 3 ist. Heute würden wir die Lösung mit x = ~ angeben. Was hat
man aber unter ~ zu verstehen, wenn man nur rationale Zahlen kennt? Da
man keine rationale Zahl finden konnte, deren dritte Potenz 2 ist, hat man sich
im Altertum bei solchen Situationen vielfach mit Näherungslösungen begnügt,
also etwa versucht, ~ mit genügender Genauigkeit rational zu approximieren.
Andererseits ist das Problem der Würfelverdoppelung geometrischer Natur, und
es liegt nahe, eine geometrische Lösung zu versuchen. Häufig zu finden ist bei
den Griechen, z. B. bei Euklid, die Konstruktion mit Zirkel und Lineal, welche
Schnittpunkte von Geraden und Kreisen mit ebensolchen Objekten benutzt.
Aber auch mit dieser Technik läßt sich ~ nicht konstruieren, wie wir heute
wissen; vgl. Abschnitt 6.3. Da die Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht im
mer den gewünschten Erfolg haben konnte, findet man bei den Griechen auch
geometrische Konstruktionen unter Verwendung komplizierterer Kurven.
Wenn man einmal akzeptiert hat, daß man zur Lösung algebraischer Glei
chungen, etwa mit rationalen Koeffizienten, neben den bekannten "rationalen"
Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zumindest
~uch noch das "Wurzelziehen" benötigt, so kann man die Frage stellen, ob
eine wiederholte Anwendung dieser Operationen stets ausreicht, um die Lösun
gen aus den Koeffizienten zu gewinnen. Dies ist die berühmte Frage nach der
Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale. Beispielsweise sind al
gebraische Gleichungen vom Grad 1 bzw. 2 durch Radikale auflösbar:
x= -a
Die Auflösung quadratischer Gleichungen wurde im wesentlichen schon von den
Babyioniern (ab ca. Ende des 3. Jahrtausends v. Chr.) unter Verwendung eIe
mentargeometrischer Methoden beherrscht, auch wenn bei den konkreten Rech
nungen, die uns überliefert sind, Quadratwurzeln meist nur aus Quadratzahlen
gezogen werden. Nach Beendigung der babylonischen und der griechischen Peri
ode wurde die Auflösung quadratischer Gleichungen ab ca. dem 9. Jahrhundert
n. Chr. insbesondere durch arabische Mathematiker weiter perfektioniert. Diese
arbeiteten auch an dem Problem, kubische sowie Gleichungen höheren Grades
durch Radikale aufzulösen, konnten hierzu jedoch keinen nennenswerten Beitrag
liefern.
Die sensationelle Entdeckung, daß kubische Gleichungen durch Radikale
auflösbar sind, gelang erst gegen 1515 dem Italiener S. deI Ferro. Er betrachtete
eine Gleichung der Form x3 + ax = b mit a, b > 0 und fand als Lösung
Obwohl er wußte, daß Generationen von Mathematikern vor ihm an diesem
Problem gescheitert waren, hat deI Ferro seine Entdeckung geheimgehalten und
Zur Lösung algebraischer Gleichungen 3
nicht veröffentlicht. Wir wissen von seinen Untersuchungen aber aus der Ars
Magna, einer Art Lehrbuch zur Mathematik, welches G. Cardano im Jahre 1545
publizierte. Cardano hatte von deI Ferros Lösungsformel auf Umwegen erfahren
und sich die Herleitung selbst überlegt. Weiter erkannte er, daß Gleichungen
dritten Grades in der Regel drei Lösungen haben sollten, wobei bemerkenswert
ist, daß Cardano welliger Skrupel als seine Zeitgenossen hatte, negative Zahlen
zu verwenden. Auch gibt es bei ihm erste Ansätze zur Verwendung komplexer
Zahlen. Seinem Schüler L. Ferrari gelang schließlich nach 1545 die Auflösung
algebraischer Gleichungen vierten Grades; zu den Formeln vergleiche man Ab
schnitt 6.1.
In den nächsten zwei Jahrhunderten waren die Fortschritte bezüglich der
Lösung algebraischer Gleichungen eher gering. F. Viete entdeckte den nach ihm
benannten Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und de
ren Lösungen, welcher sich heute als eine Trivialität darstellt, wenn man die
Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren benutzt. Man hatte auch bereits
eine gewisse Vorstellung von dem Begriff der Vielfachheit einer Lösung und
vertrat die Auffassung, daß eine algebraische Gleichung n-ten Grades, gezählt
mit Vielfachheiten, stets n Lösungen besitzt, so wie es die Beispiele im Idealfall
zeigen. Dabei muß man sich allerdings darüber im klaren sein, daß letzteres nur
eine mehr oder weniger vage Vorstellung war, denn die Natur dieser Lösungen,
etwa reell oder komplex oder gar hyperkomplex (also keins von beidem) wurde
nicht präzisiert. In diese Zeit fallen auch mehrere vergebliche Versuche, bei
spielsweise durch G. W. Leibniz, algebraische Gleichungen fünften und höheren
Grades allgemein durch Radikale aufzulösen:
Eine gewisse Konsolidierung der Situation deutete sich schließlich mit dem
Fundamentalsatz der Algebra an. Erste Ansätze zu einem Beweis finden sich
1746 bei J. d'Alembert, weitere Beweise jeweils unterschiedlicher Strenge er
folgten 1749 durch L. Euler, 1772 durch J. L. Lagrange sowie später noch durch
c. F. Gauß in seiner Doktorarbeit (1799). Dieser Satz besagt, daß jedes nicht
konstante komplexe Polynom n-ten Grades mit Vielfachheiten gezählt genau n
komplexe Nullstellen besitzt, oder mit anderen Worten, daß sich jedes solche
Polynom als Produkt von linearen Faktoren schreiben läßt. Auch wenn der F\m
damentalsatz der Algebra keinen Beitrag zur expliziten Auflösung algebraischer
Gleichungen liefern konnte, so gab er dennoch eine Antwort auf die Frage nach
dem Zahlbereich, in welchem Lösungen algebraischer Gleichungen mit rationa
len, reellen oder komplexen Koeffizienten zu suchen waren. Auf dieser Basis
wurden weitere Fortschritte erzielt, insbesondere von Lagrange. Er unterwarf
1771 die Auflösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades einer
grundlegenden Revision und bemerkte u. a., daß die Kubikwurzeln in deI Ferros
Formel mit der Nebenbedingung
gewählt werden müssen, damit man nicht 9 mögliche Werte erhält, sondern
nur die Werte Xl, X2, X3 der wirklichen Lösungen zur betrachteten Gleichung