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Saunders Mac Lane Garrett Birkhoff Mursia 1160X233 Saunders Mac Lane Garrett Birkhoff Algebra S" ondo edizion, Mursia Titolo origin_Ie; Algebra Tradu~ione dall'inglese di Pietro CancHa © Copyright Tbe MacMillan Company 1965-1967. All rights reserved © Copyright per [a IradU2ione italiana 1975-1978 U. Munia editore S.pA. Proprjeto letterariu riservata . Printed in Italy 15~2/AC/Ii . U. Mursia Editore . Via Tadino. 29 • Milano , .. Prefazione Gli ultimi anni hanna vista notevali sviluppj nell'organizzazione concet· tuale della Matematica. Questi sviluppi utilizuino aleuni nuovi coneetti quali quelli di « modulo », « categoria » e « morfismo » che sono di carattere alge brico e che passano venire introdotti in modo del tutto naturale sulla base di materiali elementari. L 'efficienza di queste idee suggerisce una nuova pre sentazione dell'algebra. II punto di partenza dell'intera sviluppo e stato !'u'so sistematico di roe todi astratti ed assiomatici, quali quelli dell'algebra modema della decade 1920-1930. A quell'epoca divenne chiaro che ('algebra non ha solo a che fare con la manipolazione di somme e prodotti di numeri (quali i razionali, i rcali con o i complessi) rna anche somme e prodotti di clementi di ripo qualsiasi - can I'ipotesi ehe la somma ed il prodotto per gli clementi considerati sod disfino a (eggi basilari opportune 0 «assiomi »; pili esplicitamente agli as siomi di « anello » (addizione, sottrazione e moltiplicazione) 0 di « campo » (Ie tre precedenti pili la divisione). Ci fu una trasformazione analoga nella trattazione dei vettori. AlI'inizio un vettore nello spazio tridimensionale era dato mediante Ie sue eomponenti rispetto ad un data sistema di assi, eosicche un veUore risultava descritto come terna di nurneri. L'enfasi sulle operazioni di addizione vettoriale e di moltiplicazione di un vettore per un numero reale (uno sealare) rnostro ehe i vettori possono venire traltati meglio, indipendentemente da qualsiasi sceita di assi, come elementi di uno «spazio vettoriale» reale in cui queste operazioni sono definite e nel Quale si riehiede ehe esse soddisfino ad assiomi opportuni. Gli stessi assiomi (e la maggior parte dei teoremi) sono aneora applicabili quando gli scalari non sono nu meri reali rna elementi di un campo qualsiasi. Ne segul ehe \'algebra delle matrici apparve in una luee pili chiara ed invariante, come algebra delle trasformazioni lineari. Altri rami dell'algebra risultarono ehlarificati da ri formulazioni analoghe. Per esempio, si vide ehe la teoria di Galois non aveva a ehe fare con Ie sostituzioni sulle radiei di un polinomio rna ehe aveva ache fare con iI gruppo degli automorfisrni del campo generato da queste radiei. Tutte queste idee dell'algebra moderna si aprirono la strada nella seuola nella decade seguente (quella dal 1930 al 1940), a Iivello di laureati con I'in fluente Moderne Algebra del van der Waerden e, piu tardi, al livcHo di stu denti universitari con la nostra A Survey of Modern Algebra (.). Ora I'uso e di queste idec nell'insegnamento generalmente accettato. Nel frattempo la stessa algebra moderna ha continuato a svilupparsi (.) Garrett Birkhoff c Saunders Mac Lane, A SUn't'y of Modern. AI!{t'bra. 1· cd .. cd; zionc riveduta. 3- ed., New York. Macmillan. 1941. 1953. 1965. 6 PREFAZIONE vigorosamente. Per esempio. uno spazla vettoriale su un campo viene defi nito mediante assiomi sull'addizione di veuori e sulla moltipJicazione ~i un vettore per uno scalare appartenente a quel campo. Se il campo degli scalari viene sostituito da un anello di scalari, gli slessi assiomi hanna ancora sensa e defmiscono la nozione di modulo Sll quell'anello. Questa nozione piu gene fale di modulo si c dimostrata cti u\iJita malta grande in lopologia ed in geo metria - ed anche nello studio degli spazi vettoriali. Analogamente, ['alge e bra lineare (ciot 10 studio delle trasformazioni lineari) stala soppiantata dalla studio dell'algebra multilineare (10 studio delle funzioni multilineari) con i concetti che ne risullano di prodolto tensoriale e di prodotto esterno. e NeUo stesso tempo sl e approfondita la comprensione dell'algebra; ora chiaro che noi non studiamo solo una singola struttura algebrica (un gruppo od un anello) per se stessa, rna che noi studiamo anche gli omomorfismi di queste strutture, cioe Ie funzioni che applicano una struttura in un 'altra in modo da conservare Ie operazioni (di addizione efo di prodotto). Tuue Ie strutture di un dato tipo, insieme agH omornorfismi tra esse, costituiscono una « categoria )) che consiste di ({ oggetti )) (Ie strutture) e di {( morfismi» (gli omomorfismi fra esse). L'operazione essenziale e quella di comporre due morfismi per lormarne un terzo e gJi assiomi per questa composizione definiscono la nozione astratta di categoria. 5i chiama ( fun tore un omomorfismo da una categoria ad un'altra e eerte coppie di fury tori )0 siffatti vengono ehiamate aggiunte Per esempio, la costruzione del gruppo II I). libero su un dato insieme di genera tori determina un funtore (sulla categoria degli insiemi verso que\la dei gruppi): questa funtore e aggiunto al funtore « immemore}) (da gruppi verso insiemi) che porta ogni gruppo G ne\l'insieme di tuUi gJi elementi di G. Queste coppie aggiunte di funtori figurano molto sovente, e Ie loro proprieti possono essere usate sistematicamente per orga nizzare molte parti della geomelria, dell'analisi e dell'algebra. Questo libra si propane di presentare l'algebra agli studenti universitari sulla base di queste nuove idee. Allo scopo di combinare il materiale standard e con queUo nuovo, sembrato meglio partire in modo del lutto nuovo. Allo stesso tempo. proprio come nella nostra Suroey, abbiamo ritenuto che Ie idee generali ed astratte, che occorrono, dovrebbero svilupparsi natural· mente da istanze concrete. Tenendo presente questo fatto, siamo stati fortu nati a non essere costretti ad iniziare can la nozione generale di categoria. e La categoria piu fondamentale 1a categoria i cui oggeHi sono tuni gli in siemi ed i cui morfismi sono tutte Ie funzioni (da un insieme verso un altro); ne segue che possiamo iniziare il Capitola I can gli insiemi - piu precisa mente can insiemi, funzioni e composizione di fnnzioni - come materiale basilare. Su questa sfondo, iI Capitola II introduce gli interi come I'esempio piu fondamentale di struttura algebrica. Tutte Ie altre categorie che ci occor rona sono categorie ({ concrete » - ciascun oggetlo A nella categoria e un insieme (con una certa struttura) e ciascun morflsmo da un oggeUo A. ad un oggetto B nella categoria e una funzione (che conserva la struttura) sul\'in· sieme A verso l'insieme 8. Possiamo quindi dare nel Capitolo II una defini zione facile ed esplicita di catcgoria « concreta », lasciando la trattazione completa della nozione piu generale di categoria al Capitolo XV. Nello stesso spirito, l'idea fondamentale per la nozione di funtore aggiunto risulta essere quella semplice di costruzione « universale )). Questa idea, introdotta nel Capitolo r per gli insiemi e nel Capitolo n per altre categorie concrete (quali PRl:FAZIONE 7 quelle dei monoid; e dei retieol;) viene sviluppata con esempi succeSSlvi nel ca'pitoli seguenti. In 'modo analogo la nozione di minimo confine superiore e quella di massimo confine inferiore in un insieme parzialrnente ordinato vengono introdotte (con esempi) nel Capitolo [[ in modo da essere pronle per I'uso in diverse esemplificazioni successive. Dopo questi due capitoli introduttivi, il libro presenta, in capitoli succes sivi, ciascuno dei tip; fondamentali di struttura algebrica: i gruppi ed i loro (omo-)morfismi, incluso i1 gruppo quoziente GIN, il morfismo G -+ GIN di « proiezione}) e la proprieta universale di questa proiezione; gli anetli, incluse Ie proprieta universali degli anelli quoziente, dei campi di quozienti e della sostituzione nei potinomi nonche la fattorizzazione unica per gli !nteri, i polinomi e. piu in generale, per gli elementi di qualsiasi dominio ad ideali principali; i campi, indusi i domini ordinati e Ie propriela speciali dei campi reale e complesso; i moduli ed i loro morfismi come pure proprieta universali de; moduli quozienli, dei moduli tiberi, dei moduli fattori e delle somme di rette (biprodotti); gli spazi vettoriali ed i loro morfismi (Ie trasformazioni lineari) can spazi duali, basi e trasformazioni elementari di basi. Su quest; fondamenti viene sviluppata I'algebra lineare. Cosi il Capitolo VIJI mostra come una trasformazione lineare possa venire rappresentata da una matrice relativa ad una data scelta delle basi, discute gli effetti di un cambiamento nella scelta delle basi ed introduce i concelli, collegati a questi, di equiva lenza, similitudine e di autovalori. II Capitolo rx sviluppa i determinanti (come funzioni multilineari) i prodolti tensoriali e Ie sequenze esalle. Fino a questo punta i capitoli seguono un ordine essenzialmente obbli gato; da qui in avanti i capitoli sono largamente indipendenti. Cosi ne! Ca pitolo X viene svolto uno studio completo della similitudine di matrici su un campo e si ricavano sia la forma canorrica razionale che quella di Jordan. Si utilizzano in modo essenziale i moduli; questi risultati ed il teorema di scomposizione corrispondente per i .gruppi abeliani finiti vengono dedolti da un teorema sui moduli generati in modo finito su un dominio ad ideali principali. Nel secondo capitolo sulla teoria dei gruppi, che include i teoremi di Sylow ed il teorema di Jordan-HOlder, si utilizzano solamente i risultati sui gruppi abeliani. Tndipendentemente da questi, nel Capitolo XI vengono studiati gli spazi con prodotto intern~ (euclidei cd unitari) e Ie forme quadra liche. Questi materiali vengono utilizzati nel capitola seguente sugli spazi affini e proieltivi - capitolo che da una formulazione algebrica sistematica di alcuni classici concelti geometrici. L'ultimo capitolo sull'algebra multi lineare e un seguito naturale dei capitoli precedenti sui determinanti e sui prodotti tensoriali, mentre retieoli e categoric, usati negli esempi in tutto il libro, vengono traltati sistematicamente nei Capitoli xrv e XV. Ci dispiace che la mancanza di spazio abbia resa impossibile l'incJusione della teoria di Galois, per la qua Ie rimandiamo alia monografla di Artin 0 agli ultimi due capitoli della nostra Survey. Can questa disposizione degli argomenti, questo e libro adatto a corsi semestrali 0 annuali sull'algebra moderna delle univer sita; trascurando alcuni argomenti elementari (per esempio parti dei Ca pitoli T e V) esso fornisee iI materiale per un corso di algebra superiore. Siccome la nostra presentaziorie dell'algebra sottolinea sistematicamente I'uso di funzioni e di morfismi, si sono resi net:essari alcuni cambiamenti nel la terminologia. Cosi una funzione f verra indicata con una freccia come in f: X -+ Y ed avra sempre un dominio fisso X e (dualmenle) un codominio 8 PREFAZIONE fisso Y; iI suo effelto su un elemento x del suo dominio verra indicato con XI-+-I(x) con una freccia sbarrata. Un sottoinsieme S di un insieme X verra spesso descritto mediante una funzione S _ X, pre<:isamente mediante la funzione familiare st-+ $, chiamata inserzione, che porta ciascun clemento $ di Sin se stesso (in X). Ogo; concetto descritto con frecce ha un duale (frecce invertite): ogoi volta che sara possibile, COReett; duali avranno nomi duali. Cosi il prodotta diretto (di insiemi 0 di gruppi) diverra semplicemente il e « prodolta » DleRtre il suo duale un «( coprodotto ». Quando quest; due concetti coincideranno (come nel caso di moduli) parleremo di.« biprodotto I). La brutta paroJa « n-upla» vern\ sostituita con « sequenza » (di n elementi); e una siffatta sequenza una funzione definita sull'insieme standard degli indici b = {I, ... , n} che consiste dei primi n interi positivi. Distingueremo fra «semigruppi » (insiemi con una moltiplicazione assoeiativa) e « monoidi » (gli stessi con in pill la eondizione che ci sia un elemento identita). Su una eategoria qualsiasi C definiremo oggetto « graduato » una successione Co, Cl, ... , C .. , ... di oggetti della C; quindi, in particolare, un modulo gra duato i una siffatta sequenza (di moduli) e non la corrispondente somma di retta. Da ultimo, e pili importante di tutti, useremo i1 termine «clemento universa!e di un fun tore» cal significato esplicito che verra descritta nel Capitola I. II completamenlo. effettiva di un libra qualsiasi dipende dall'aiuta di malte persane; ci fa piacere riconoscere tale aiuto per iI nostro libro. Quel e erilico superbo che Arthur Mattuck ha letto "intera manoscritto ed ha data molti suggerimenti importanti, dalla maggior parte dei quali abbiamo tratto grande profitto (probabilmente avremmo tratto un profitto ancora maggiore dai rimanen!i). Analogamente abbiamo avuto un grande aiuto dai commenti incisivi di M. F. Smiley edi L. J. Ratliff,jr. O. F. G. Schilling ha suggerito nu merosi esercizi ed altri argomenti da includere. Paul Palmquist e Richard H. rvan hanno letto parecchi capitoli del rnanoscritto con occhio d'aquila. Studenti dei corsi dell'Universita della California (Riverside) e dell'Univer sita di Chicago hanna esaminato accuratamente un'edizione preliminare; in particolare Louis Crane ha falto commenti di vitale importanza. Slesure successive del libro sana slate dauiloscritte accuratamente da Dorothy Mac Lane, Gretch.en Mac Lane e Merilee Benson. Dorothy Mac Lane ha preparato I'indice, qui particolarmente necessario per organizzare la terrninologia ne cessaria per i nuovi concetti di questo libra. Aicune delle idee qui presentate dipendono dalle ricerche altuali e devono quindi moltissimo all'aiuto gene roso e instancabiie che 10 Air Force Office af Scientific Researeh ha data per molti anni aile ricerche di uno dei due autori (S. M.). A tutti questi - e ad altri - esprimiamo i1 nostra grazie sincero ed il nostro apprezzamento. SAUNDERS MAC LANE GARRETT BIRKHO FF Lista dei simboli Capilolo e Simbolo Uso Signijicalo paragrafo e x ES x un elemento di S l.l x¢S x non e un elemento di S 1.1 e Sc X S sottoinsieme di X I.l c e Sc G S sottogruppo di G llJ.4 '" '" L'insieme VUOlO I.I ( ) (xl-) Tutti gli x (ali che l.I n Sn T Jntersezione di SeT 1.1 u Su T Unione di SeT I.l U S lJ T Unione disgiunta di SeT I.8 ( ) (k, m) Coefficiente binomiale (k + m)!/(k!)(m!) IV. I ( ) (X, y) Coppia ordinata di x ed y 1.4 X X X Y ProdoHo di X ed Y T.4 ... implica- I.l ... se e solo se - I.l Jog Composto, f dopa g 1.2 Funzione su X verso Y 1.2 X~ Y X-)o- Y Funzione da costruire 1.7 XI-+ x2 Funzione che assegna XZ ad x 1.2 X~ y Bijezione (isomorfismo) X verso Y I.3 yz Tutte Ie funzioni su X verso Y 1.5 D, '! x D y Operazione binaria su x, y 1.6 V xV y ,·unione di x ed y H.S x/\ y r-intersezione di x ed y H.S /I " /I v Prodolta estemo di u e tl XVI.6 x:£y x minoTe 0 uguale ad y II.) x contenuto in y (in un reticolo) H.S min m divide n IV.S k ;;;;;: m (mod n) k congruo ad m, modulo n U.5 J' Funzione data dal polinomio f IV.7 e <J N<JG N sottogruppo normale di G 1ll.9 IG: Sj Indice di S in G i!Itd ill. . 1\ XIE Insieme quoziente di X pe~ E 1.7 GIN Gruppo quoziente di G per N IU.1O RIA Anello quoziente di R per I'ideale A IV.) AID Modulo quoziente VIA 10 LlSTA DEI SIMBOLI Capilolo e Simb% U,a Signijicalo paragrafo " Numero complesso conjugato di z V.7 \ I.S Immagine di S per f 1.2 • f"T Immagine inversa di T per f 1.2 V· Spazio vettoriale duale di V VI.7 i " Mappa duale di t Vr.7 Mappa aggiunta a t XI.6 " . ,,(X) Numero degli elementi in X 11.6 " P+ Spazio delle traslazioni di P XII.2 • V· Spazio affine di V XII.2 <Jl ·A<JlB Biprodotto dei moduli A. B VI.6 <8> A<8> B Prodotto tensoriale di ..t, B IX.8 101 Valore assoluto di a V.I, Y.? I I lui Lunghezza del vettore u XU IAI Determinante della matriCe A IX.2 <> (u, v) Prodouo interno di u, XI.S [I J.. uJ.. a U ortogonale a v XI.S <Xl <Xl Infinito (caratteristica) IV.I Go, Gruppo opposto 1lI.2 Ro, Anello Opposlo IV.2 ~ XO, Categoria opposta XV.2 Abbreviazione Capito/a e Significato standard paragrafo Aut(G) Automorfismi di G III.! Bilin (A, B·, C) Funzioni bilineari A X B _ C IX.to End (A) Endomorfismi di A IV.2,VI.2 hom (X, Y) Morfismi di X verso Y 1l.!O,XV.2 Hom (A, B) Gruppo dei morfismi, A verso B VI.2 A(P) Gruppo affine di P XU.3 GL(n, F) Gruppo lineare generale VJII.6,IX.3 O. Gruppo ortogonale Xl.7 SL(n, X) Gruppo Iineare speciale rX,3 dim V Dimensione di V VU.2 rango A Rango di A VlI.3.VIJI.5