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Carlos Ivorra Castillo ´ ALGEBRA Mathematics, rightly viewed, posseses not only truth, but supreme beauty —a beauty cold and aus- tere, like that of sculpture. Bertrand Russell ´ Indice General Introducción ix Preliminares conjuntistas xv Cap´ıtulo I: Los nu´meros enteros y racionales 1 1.1 Construccioń de los nu´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Cuerpos de cocientes. Nu´meros racionales . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Cap´ıtulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construccioń de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Evaluacioń de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Cap´ıtulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Cap´ıtulo IV: Divisibilidad en dominios´ıntegros 29 4.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Divisibilidad en Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Cap´ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45 5.1 Definiciones ba´sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Nu´meros perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 v vi ÍNDICE GENERAL Cap´ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65 6.1 Ternas pitago´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4 Nu´meros de la forma x2+3y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.5 La ecuación x2+3y2 =z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.6 El U´ltimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.7 Enteros cicloto´micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Cap´ıtulo VII: Módulos y espacios vectoriales 87 7.1 Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Suma de mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3 Mo´dulos libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Cap´ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105 8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Homomorfismos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.3 Clausuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.4 Extensiones normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Cap´ıtulo IX: Grupos 135 9.1 Definicioń y propiedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.4 Conjugacioń y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.5 Producto de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.6 Grupos cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Cap´ıtulo X: Matrices y determinantes 157 10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Cap´ıtulo XI: Enteros algebraicos 179 11.1 Definicioń y propiedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 185 11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.4 Factorización uńica en cuerpos cuadra´ticos. . . . . . . . . . . . . 195 11.5 Aplicaciones de la factorizacioń uńica. . . . . . . . . . . . . . . . 201 ÍNDICE GENERAL vii Cap´ıtulo XII: Factorización ideal 207 12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.2 Factorizacioń ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214 12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizacioń uńica . . . . . 220 Cap´ıtulo XIII: Factorización en cuerpos cuadráticos 223 13.1 Los primos cuadra´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.3 Cálculo del nu´mero de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Cap´ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadrática 243 14.1 Introduccioń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 14.2 El s´ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 14.3 El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Cap´ıtulo XV: La teor´ıa de Galois 259 15.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 15.2 Extensiones ciclotómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 15.4 Polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Cap´ıtulo XVI: Módulos finitamente generados 281 16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289 Cap´ıtulo XVII: Resolución de ecuaciones por radicales 293 17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 17.3 Caracterización de las extensiones radicales . . . . . . . . . . . . 303 17.4 La ecuación general de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Apéndice A: El teorema de la base normal 307 Apéndice B: Extensiones inseparables 311 Apéndice C: La resultante 315 Bibliograf´ıa 319 Índice de Tablas 321 Índice de Materias 322 Introduccioń Elpropo´sitodeestelibroesintroduciraunlectorconconocimientosm´ınimos de matemáticas en el estudio de los nu´meros naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Quiza´ esta afirmación sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien porque crea que los nu´meros naturales son algo tan simple que dif´ıcilmente se puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ı no deber´ıa llamarse ‘A´lgebra’. El primer caso es faćil de rectificar. Consideremos por ejemplo la ecuación x2+xy−3y2 =15. ¿Sabr´ıa decidir el lector si existen nu´meros naturales (x,y) que satisfagan esta condición? Tenemos aqu´ı un problema de planteamiento elemental cuya solución no es nada faćil. Si existiera un par as´ı podr´ıamos tener suerte y en- contrarloportanteo,perosinolohaynecesitaremosalguńtipoderazonamiento que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya. Si el problema fuera x2 +xy +3y2 = 15 el asunto ser´ıa muy diferente, pues podr´ıamos hacer 4(x2+xy+3y2)=(2x+y)2+11y2 y de aqu´ı sacar´ıamos una cota a las posibles soluciones, con lo que un nu´mero finito de comprobaciones bastar´ıaparadecidirsilashay. Aunas´ıhabr´ıamosnecesitadounpequenõtruco que requerir´ıa un m´ınimo de perspicacia. De nada sirve despejar la y en funcioń de x, o viceversa, pues entonces nos encontraremos con el problema de determinar si una expresioń con una ra´ız cuadradapuedeonoserunnu´meronatural,ynopodremosirmuchoma´slejos. Sin duda el lector que cre´ıa dominar los nu´meros naturales reconocerá ya la precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situacioń suele causar rechazo al matemático acostumbrado a otra clase de problemas más ... ¿abstractos? La reacciónnaturales: ¿peroquéimportasiexistenonosolucionesnaturales? Una pregunta interesante podr´ıa ser si existen funciones reales continuas no deriva- bles en ninguń punto, por ejemplo, porque una solucioń negativa consolidar´ıa nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una soluciónpositivaser´ıa(ydehechoes)algoverdaderamentecuriosoeintrigante. Sin embargo, tanto si alguien encuentra una solucioń a esa ecuación como si prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato irrelevante. ix x Introduccioń Esta objecioń entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete abordar estas banalidades tenga la osad´ıa de titularse ‘A´lgebra’. El reproche estar´ıa justificado si lo uńico que fuéramos a ver en este libro fuera una co- lección de recetas o, auń peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de antes. También en tal caso ser´ıa razonable opinar que el contenido del libro ser´ıa irrelevante, al menos seguń los gustos matemáticos al uso. Sin embargo, el interés de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta. Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta una disciplina que merece el t´ıtulo de Reina de las Matema´ticas. ¿Por qué un matemático que destacó tan prodigiosamente en ana´lisis, geometr´ıa diferencial, f´ısica y estad´ıstica, entre otras partes de la matemática, antepon´ıa la teor´ıa de nu´merosatodasellas? Sencillamenteporquealabordarproblemascomoelque hemos propuesto se encontró con una teor´ıa mucho más rica, sutil y abstracta que cualquier otra de su época. Ciertamente, la teor´ıa de nu´meros antes de Gauss era esencialmente una colección de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ı, pero despreciables al gusto del matemático moderno, pero estamos hablando de la teor´ıa de nu´meros del siglo XVIII. Para los matemáticos del siglo XIX la si- tuacioń era radicalmente distinta, y es esta visioń moderna la que queremos transmitir al lector de este libro. Ba´sicamente se puede describir como sigue: Los nu´meros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero nocaóticos. Escomosiunpianistadecidecaprichosamentequépiezavaatocar. A priori no podemos predecir lo que hara´, pero una vez conocemos su decisión podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura. Un pianista cao´tico ser´ıa por ejemplo un intérprete de Jazz que improvisara en todo momento. As´ı, el comportamiento de los nu´meros puede ser controlado en funcioń de ciertos para´metros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulacioń de ecuaciones al estilo del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ıa más fina, la bu´squeda de leyes generales que sólo pueden ser expresadas en términos de objetos abstractos, impensables en una primera aproximacioń, pero que los matemáticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos. Pensemos por ejemplo en la introduccioń de los nu´meros enteros: ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Setratadelejemploma´selementaldecómounartificioalgebraicocomoesponer un signo delante de los nu´meros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo. Tanto es as´ı que en realidad, aunque la motivacioń primera en el estudio de los nu´meros proviene de los nu´meros naturales, es más justo decir que en este libro se estudian los nu´meros enteros. Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir mucho más lejos. El paso siguiente en esta dirección es factorizar la ecuación (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:3) √ √ x2+xy−3y2 = x+y 1+ 13 x+y 1− 13 . 2 2 Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se disfruta del punto de vista adecuado. As´ı nos encontramos con que la ecuación