Algebra

382 Pages·1999·13.09 MB·German

by  Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Siegfried Bosch
Algebra
Dritte, überarbeitete und erweiterte Auflage
, Springer
Prof.Dr.SiegfriedBosch
UniversitätMünster
MathematischesInstitut
Einsteinstraße62
D-48149Münster
MathematicsSubjectClassification(1991):12-01,13-01,14-01
DieDeutscheBibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Bosch,Sicgfricd:
AlgebraISiegfriedBosch,-3.,übcrarb.underg.Auß.-Berlin;
Hcidelberg;NewYork;Barcelona; Hongkoug;Londou;Mailand;
Paris;Singapur;Tokio:Springer,1999
(Spriugcr-Lebrbuch]
ISBN978-3-540-65360-8 ISBN978-3-662-05647-9 (eBook)
DOI10.1007/978-3-662-05647-9
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eSpringer-VerlagBerlinHeidelberg1992.,1994,1999
UrsprünglicherschienenbeiSpringer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork1999.
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Aus dem Vorwort zur ersten Auflage
In den Algebra-Vorlesungen nimmt heutzutage die Theorie der Körpererwei
terungen, insbesondere die Galois-Theorie, einen zentralen Platz ein. Ich habe
mich darum bemüht, diesen "Standard" -Stoff mit allen notwendigen Vorberei
tungen in größtmöglicher Einfachheit und Übersichtlichkeit darzustellen, ohne
jedoch auf simplifizierende ad-hoc-Lösungen zurückzugreifen. Wichtig war mir
dabei, die Dinge in behutsamer Weise so zu präsentieren, wie sie heute nach
allgemeiner Einschätzung sowie aufgrund von Erfahrungen aus der aktuellen
Forschung gesehen werden sollten, ohne jedoch den Blick für die historische
Entwicklung der Theorie zu verlieren.
Neben Abschnitten, in denen der Standardstoff dargestellt wird, enthält das
Buch noch eine ganze Reihe von Abschnitten, die mit einem Stern (*) gekenn
zeichnet sind. Hier werden Ausblicke auf weiterführende Gebiete gegeben, die
seltener in Vorlesungen behandelt werden, deren Kenntnis jedoch für ein ver
tieftes Studium der Algebra von großem Interesse ist, insbesondere im Hinblick
auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie. In diesen Abschnitten konnte
schon aus Platzgründen nicht ganz so grundsätzlich vorgegangen werden wie im
restlichen Teil des Buches, auch ist das Tempo der Darstellung etwas straffer.
Hauptziel ist jeweils die Erläuterung eines begrenzten Themenkomplexes inklu
sive kompletter Beweise der wichtigsten zugehörigen Resultate. Dabei werden
alle benötigten Hilfsmittel präzise erklärt, so daß das Material dem interessier
ten Leser auch zum Selbststudium anempfohlen werden kann.
Welche Funktion soll das vorliegende Buch nun erfüllen? Natürlich ist das
Buch geschrieben für Studenten (und damit meine ich StudentInnen nach heuti
ger Terminologie), die im Anschluß an die mathematischen Anfängervorlesungen
eine Vorlesung über Algebra hören bzw. sich auf eine entsprechende Examens
prüfung vorbereiten. Ich denke, daß ein Student, der sich in das Gebiet der
Algebra einarbeiten möchte, in idealer Weise zwei Texte gebrauchen könnte,
und zwar einen ersten, der ihn problemorientiert in die Thematik der Algebra
einführt, und einen zweiten, der die Theorie in systematischer Weise geord
net präsentiert. Ich habe versucht, beide Aspekte miteinander zu kombinieren.
Die Anordnung des Stoffes erfolgt im wesentlichen in systematischer Weise,
schon deshalb, damit der Text nicht nur zu einer einzigen Vorlesung speziellen
Geschmacks paßt, sondern mehr oder weniger universell zu "jeder" Algebra
Vorlesung benutzt werden kann. Andererseits wird in der Einführung und zu
Beginn eines jeden Kapitels der Aspekt der Problemorientiertheit realisiert, in-
VI Vorwort
dem auf die zugehörigen historisch gewachsenen Fragestellungen eingegangen
wird.
Jeder Abschnitt wird mit einer Liste von ausgewählten Übungsaufgaben
beendet, die dazu dienen sollen, die Handhabung des besprochenen Stoffes an
Beispielen zu üben. Speziell hervorzuheben sind hierbei die kursiv gedruckten
Aufgaben, zu denen es Lösungsvorschläge im Anhang gibt. Diese Aufgaben sind
überwiegend nicht von der konventionellen einengenden Form, etwa "Man zeige,
daß x = y gilt" , sondern sie sollen aufgrund ihrer offenen Art der Fragestellung
dazu anleiten, einige Aspekte der dargebotenen Theorie nochmals zu überden
ken. Man könnte sich etwa vorstellen, daß Fragen dieser Art in einer mündlichen
Examensprüfung eine Rolle spielen. Lösungen müssen nicht unbedingt in Form
und Inhalt mit den im Anhang aufgeführten Vorschlägen übereinstimmen, zu
mal letztere meist noch einige zusätzliche Erläuterungen enthalten. Man sollte
den Anhang aber stets konsultieren, wenn man meint, bei der Bearbeitung einer
Kursiv-Aufgabe zu einem gewissen Abschluß gelangt zu sein.
Münster, im Mai 1993 Siegfried Bosch
Vorwort zur dritten Auflage
Mit der vorliegenden Neuauflage meiner ALGEBRA möchte ich einige zusätzli
che Wünsche erfüllen, die bisher bei der Themenauswahl offen bleiben mußten.
So findet man nun im Anschluß an die Charakterisierung zyklischer Erweite
rungen zwei Abschnitte über Kummer-Theorie, also zur Theorie der abelschen
Erweiterungen zu einem gegebenen Exponenten n. Der Fall pfn mit p als Cha
rakteristik des betrachteten Körpers ist am übersichtlichsten und wird zuerst
behandelt. Anschließend folgt eine mehr axiomatische Darlegung der Kummer
Theorie sowie im Falle positiver Charakteristik eine Realisierung für Exponen
ten der Form n = pr. Die hierzu benötigte Theorie der Witt-Vektoren wird in
elementarer Weise entwickelt und dürfte auch für andere Zwecke von Interes
se sein. Im übrigen habe ich die Anwendungen zur Galois-Theorie durch eine
Motivierung und Herleitung der Auflösungsformeln algebraischer Gleichungen
dritten und vierten Grades ergänzt.
Allen meinen Lesern danke ich wiederum für die mannigfachen Anregungen
und Kommentare, die mich erreicht haben. H. Frommer hat mich beispielsweise
darauf aufmerksam gemacht, daß die in Aufgabe 2 von Abschnitt 3.4 vorge
schlagene "Argumentation" zur Konstruktion eines algebraischen Abschlusses
durchaus zu einem rechtmäßigen Beweis ausgebaut werden kann, wenn man
gewillt ist, einige mengentheoretische Kunstgriffe zu verwenden.
Schließlich gebührt mein Dank dem Springer-Verlag, der, wie immer, für
eine makellose Ausstattung des Buches gesorgt und diesmal auch das äußere
Erscheinungsbild neu gestaltet hat.
Münster, im Mai 1998 Siegfried Bosch
Inhalt
Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen 1
1 Elementare Gruppentheorie . . . . . . . . . . . 8
1.1 Gruppen .................. 9
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen 15
1.3 Zyklische Gruppen 19
2 Ringe und Polynome . . 23
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen 26
2.2 Ideale ................ 32
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 35
2.4 Primfaktorzerlegung ......... 42
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen 52
2.6 Nullstellen von Polynomen 58
2.7 Der Satz von Gauß . . . 59
2.8 Irreduzibilitätskriterien 65
2.9 Elementarteilertheorie* 68
3 Algebraische Körpererweiterungen 82
3.1 Die Charaktedstik eines Körpers 84
3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen 86
3.3 Ganze Ringerweiterungen* ...... 93
3.4 Algebraischer Abschluß eines Körpers 100
3.5 Zerfällungskörper............ 107
3.6 Separable Körpererweiterungen . . . . 111
3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen 119
3.8 Endliche Körper ............ 123
3.9 Anfänge der algebraischen Geometrie* 126
4 Galois-Theorie ........... 133
4.1 Galois-Erweiterungen .... 135
4.2 Pro endliche Galois-Gruppen* 142
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 154
4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante und Resultante* 163
4.5 Einheitswurzeln ...................... 178
X Inhalt
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren 187
4.7 Norm und Spur ......... . 190
4.8 Zyklische Erweiterungen ......... . 195
4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* .... . 201
4.10 Allgemeine Kummer-Theorie und Witt-Vektoren* 207
4.11 Galois-Descent* ..... . 226
5 Fortführung der Gruppentheorie 232
5.1 Gruppenaktionen . . . 233
5.2 Sylow-Gruppen . . . . 238
5.3 Permutationsgruppen 246
5.4 Auflösbare Gruppen . 250
6 Anwendungen der Galois-Theorie 256
6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen 257
6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4* 265
6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra 274
6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 277
7 Transzendente Erweiterungen 285
7.1 Transzendenzbasen .. . 286
7.2 Tensorprodukte* ... . 292
7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen* 304
7.4 Kalkül der Differentiale* ..... . 315
Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben 325
Literatur ..... 359
Symbolverzeichnis 360
Namen- und Sachverzeichnis 363