Algebra

379 Pages·2001·13.582 MB·German

by  Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Siegfried Bosch
Algebra
Vierte, iiberarbeitete Auflage
Springer
Professor Dr. Siegfried Bosch
Universităt Miinster
Mathematisches Institut
Einsteinstrafie 62
48149 Miinster, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000): 12-01, 13-01, 14-01
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Bosch, Siegfried:
Algebra / Siegfried Bosch. -4., iiberarb. Aufi ..
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-41852-8 ISBN 978-3-662-05646-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-05646-2
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Aus dem Vorwort zur erst en Auflage
In den Algebra-Vorlesungen nimmt heutzutage die Theorie der Korpererwei
terungen, insbesondere die Galois-Theorie, einen zentralen Platz ein. Ich habe
mich darum bemiiht, diesen "Standard" -Stoff mit allen notwendigen Vorberei
tungen in groBtmoglicher Einfachheit und Ubersichtlichkeit darzustellen. ohne
jedoch auf simplifizierende ad-hoc-Losungen zuriickzugreifen. Wichtig war mir
dabei, die Dinge in behutsamer Weise so zu prasentieren, wie sie heute nach
allgemeiner Einschiitzung sowie aufgrund von Erfahrungen aus der aktuellen
Forschung gesehen werden sollten, ohne jedoch den Blick fUr die historische
Entwicklung der Theorie zu verlieren.
Neben Abschnitten, in denen der Standardstoff dargestellt wird, enthiilt das
Buch noch eine ganze Reihe von Abschnitten, die mit einem Stern (*) gekenn
zeichnet sind. Hier werden Ausblicke auf weiterfUhrende Gebiete gegeben, die
seltener in Vorlesungen behandelt werden, deren Kenntnis jedoch fUr ein ver
tieftes Studium der Algebra von groBem Interesse ist, insbesondere im Hinblick
auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie. In diesen Abschnitten konnte
schon aus Platzgriinden nicht ganz so grundsiitzlich vorgegangen werden wie im
rest lichen Teil des Buches, auch ist das Tempo der Darstellung etwas straffer.
Hauptziel ist jeweils die Erliiuterung eines begrenzten Themenkomplexes inklu
sive kompletter Beweise cler wichtigsten zugehOrigen Resultate. Dabei werden
aile benotigten Hilfsmittcl priizise erkliirt, so daB das Material dem interessier
ten Leser aueh zurn SelbststudiuIIl anempfohlen werden kanrl.
Welche Funktion soli d&" vorliegende Bueh nun erfiillen? Natiirlieh ist das
Bueh geschricben flir Studenten (und damit meine ieh StudentInnen naeh heuti
ger Terminologie), die im AnschluB an die mathematischen Anfiingervorlesungen
eine Vorlesung tiber Algebra horen bzw. sieh auf eine entspreehende Examens
priifung vorbereiten. lch denke, daB ein Student, cler sich in das Gebiet der
Algebra einarbeitcn moehte, in idealcr Weisc zwei Texte gebrauchen konnte,
und zwar eincn ersten, def ihn problemorientiert in die Thematik der Algebra
einfiihrt, und cinen zweiten, der die Theorie in systematischer Weise geord
net priisentiert. Ich habe versueht, beide Aspekte miteinander zu kombinieren.
Die Anordnung des Stoffes erfolgt im wesentlichen in systernatischcr Weise,
schon deshalb, damit der Text nieht nur Zll einer einzigen Vorlesung speziellen
Geschmacks paHt, sondern mdlr oder weniger 1I11iversell zu "jeder" Algebra
Vorlesung benutzt werden kanrl. Andererseits wird in der Einflihrung unci zu
Beginn eines jeden Kapitels der Aspekt der Problemorientiertheit realisiert, in-
VI Vorwort
dem auf die zugehorigen historisch gewachsencn Fragestellungen eingegangen
wird.
Jeder Abschnitt wirel mit einer Liste von ausgewahlten Ubungsaufgab(m
beendet, die dazu dienen sollen, die Handhahung des hesprocherwn Stoffes an
Beispielen zu uhen. Spel\iell hervorzllhehen sind hierbei die kllTSiv gcdruckten
Aufgaben, zu denen es Losungsvorschliige im Anhang gibt. Diesc Allfgaben sind
uberwiegend nicht von der konventionellen einengenden Form, ctwa "Man zeige,
daB x = y gilt" , sondern sie sollen aufgrund ihrer offenml Art del' Fragestellung
dazu anleiten, einige Aspekte del' dargebotenen Theorie nochmals zu uberden
ken. Man konnte sich etwa vorstellen, daB Fr·agen diesel' Art in cineI' mlindlichcn
Examensprlifllng eine Rolle spielen. Losllngen miissen nicht Ilnbedingt in Form
und Inhalt mit den im Anhang aufgeftihrten Vorschliigell iibereinstirmnen, zu
mal letztere meist noch einige zusat7.liche Erliiuterungen enthalten. Man sollte
den Anhang aber stets konsulticren, wenn man meint, bci der Bcarbeitung einer
Kursiv-Aufgabc 7.U einem gewissen AbschluB gdangt L1l! sein.
Munster, irn Mai 1993 Siegfried Bosch
Vorwort zur vierten A uflage
In del' vorliegenden Neuauflage mcincr ALGEBRA hahe ich nur cinige kleinen:
Anderungen und Erganzungen vorgenommcn. Das Bueh bcinhaltct nach wie
vor das Programm ciner traditionellen Algebra-Vorlesllng llncl bi(~tet in den
optionalen Abschnitten, die mit einern Stern (*) gckellll7.(,idmet sind, dnigc
weiterftihrende Themen all. DieHe cignen sich insbesondere wr Behandlung in
vertiefenden Seminaren. Das Spektrum erstrcckt sich hier von Aspektcn del' li
nearen Algehra (Elementarteilertheorie) libel' allgenHline Grundlagen der kOlll
rnutativen Algehra (syrnmetrische Polynollle, Diskriminante, Resultante, ganze
Ringerweiterungen, Tensorproclllkte) bis hin I\U algebraisch-geomptrisch b:;,w.
zahlentheoretisch relevanten Prohlernen (Anhinge der algebraischen Geometrie,
Galois-Descent, separable, priman~ und reglliare Erweitenlllgcn, Kalktil del'
Differentiale, b:;,w. pro-cndliche Galois-Gruppen, Kllllllller-Theorie und Witt
Vektoren). Himu kommt ein Abschnitt, in dem di(, Aufliisungsformdn algchrai
scher Gleichllngen dritten und vicrten Grades hesproehcll werdcll.
Miinster, im .Jllli 20l)l Si<'gfried Bosch
Inhalt
Einftihrung: Zur L6sung algebraischer Gleichungen 1
1 Elementare Gruppentheorie . . . .. .. .. 9
1.1 Gruppen .... ......... . 10
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen 16
1.3 Zyklische Gruppen 20
2 Ringe und Polynome 25
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen 28
2.2 Ideale ..... . .... 34
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 37
2.4 Primfaktorzerlegung . .. .. 44
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen 54
2.6 Nullstellen von Polynomen 60
2.7 Der Satz von GauB 61
2.8 Irreduzibilitatskriterien 67
2.9 Elementarteilertheorie* 70
3 Algebraische K6rpererweiterungen 85
3.1 Die Charakteristik eines K6rpers 87
3.2 Endliche und algebraische K6rpererweiterungen 89
3.3 Ganze Ringerweiterungen* . . 96
3.4 Algebraischer AbschluB eines K6rpers 103
3.5 Zerfallungsk6rper .. .. . . 110
3.6 Separable K6rpererweiterungen ... 114
3.7 Rein inseparable K6rpererweiterungen 122
3.8 Endliche K6rper .. .. 126
3.9 Anfange der algebraischen Geometrie* 129
4 Galois-Theorie . . . 137
4.1 Galois-Erweiterungen 139
4.2 Proendliche Galois-Gruppen* 146
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 158
4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante und Resultante* 167
4.5 Einheitswurzeln . . . .. ..... 182
VIII Inhalt
4.6 Lineare Unabhangigkeit von Charakteren 191
4.7 Norm und Spur ......... . 194
4.8 Zyklische Erweiterungen ........ . 199
4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* ... . 205
4.10 Allgemeine Kummer-Theorie und Witt-Vektoren* 211
4.11 Galois-Descent* ..... . 230
5 Fortftihrung der Gruppentheorie 237
5.1 Gruppenaktionen ... 238
5.2 Sylow-Gruppen . . . . 243
5.3 Permutationsgruppen 251
5.4 Auflosbare Gruppen . 255
6 Anwendungen der Galois-Theorie 261
6.1 Auflosbarkeit algebraischer Gleichungen 262
6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4* 270
6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra 279
6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 282
7 Transzendente Erweiterungen 291
7.1 Transzendenzbasen .. . 292
7.2 Tensorprodukte* ... . 298
7.3 Separable, primare und regulare Erweiterungen* 310
7.4 Kalkiil der Differentiale* . . . . . . 321
Anhang: Losungshinweise zu den Aufgaben 331
Literatur ..... 365
Symbolverzeichnis 367
N amen- und Sachverzeichnis 371
Einfiihrung
Zur Losung algebraischer Gleichungen
Der Name "Algebra" ist arabischen Ursprungs (9. Jahrhundert n. Chr.) und
bedeutet Rechnen mit Gleichungen, etwa das Zusammenfassen von Termen der
Gleichung oder das Verandern der Terme durch gleichartige Manipulationen
auf den beiden Seiten der Gleichung. Dabei stellt die Gleichung eine Beziehung
dar zwischen bekannten GraBen, den sogenannten Koeffizienten, sowie den un
bekannten GroBen oder Variablen, deren Wert man mit Hilfe der Gleichung
ermitteln mochte. Meist interessiert man sich in der Algebra fUr polynomiale
Gleichungen, etwa des Typs
2x3 + 3x2 + 7x - 10 = 0,
wobei x fUr die unbekannte GroBe steht. Eine solche Gleichung wird allgemein
als algebraische Gleichung fUr x bezeichnet. Ihr Grad ist gegeben durch den
Exponenten der hochsten wirklich vorkommenden Potenz von x. Algebraische
Gleichungen vom Grad 1 nennt man linear. Das Studium linearer Gleichun
gen oder, allgemeiner, linearer Gleichungssysteme in endlich vielen unbekannten
GroBen ist ein zentrales Problem der Linearen Algebra.
Unter Algebra im Sinne dieses Buches wollen wir im wesentlichen dasjeni
ge Gebiet verstehen, welches sich mit dem Studium algebraischer Gleichungen
einer unbekannten GroBe beschaftigt, also in heutiger Sprache die Theorie der
Korpererweiterungen mit all ihren abstrakten Begriffsbildungen, auch gruppen
theoretischer Art, die insgesamt eine bequeme und prazise Handhabung alge
braischer Gleichungen erst moglich gemacht haben. In der Tat verwendet die
moderne Algebra schon auf "elementarem" Niveau in viel starkerem MaBe ab
strakte Methoden und Begriffe, als man dies etwa von der Analysis oder der
komplexen Funktionentheorie her gewohnt ist. Der Grund hierfiir wini in ge
wisser Weise deutlich, wenn man das Problem der Lasung algebraischer Glei
chungen in seiner historischen Entwicklung verfolgt, was wir nachstehend ein
wenig tun wollen.
Die Anfiinge sind ganz konkreter Natur und konzentrieren sich im wesent
lichen auf das Bearbeiten spezieller zahlenmaBig gegebener "Aufgaben". Eine
beriihmte Aufgabe aus der griechischen Antike (ca. 600 v. Chr. - 200 n. Chr.)
ist z. B. das Problem der Wiirfelverdoppelung: Gegeben sei ein Wiirfel mit
S. Bosch, Algebra
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2 Einfiihrung
Kantenlange 1, man bestimme die Kantenlangc cines Wiirfels, der doppeltcs
Volumen besitzt. Zu lasen ist also die algebraische Gleichung x3 = 2, welehe
yom Grad 3 ist. Reute wiirdcn wir die Lasung mit x = ij2 angeben. Was hat
man aber unter ij2 ~u verstehen, wenn man nur rationale Zahlen kmmt? Da
man keine rationale Zahl finden konnte, deren dritte Potem 2 ist, hat man sich
im Altertum bei solchen Situationen vielfach mit Naherungsliisungen begniigt,
also etwa versucht, ij2 mit geniigender Genauigkeit rational ~u approximieren.
Andererseits ist das Problem der Wiirfelverdoppelung geometrischer Natur, und
es liegt nahe, cine geometrische Lasung zu vcrsuc:hen. Raufig zu findcn ist bei
den Griechen, z. B. bci Euklid, die Konstruktion mit Zirkel und Lineal, welche
Schnittpunkte von Geraden und Kreisen mit ebensolchen Objektm benutzt.
Aber auch mit dieser Technik liiBt sich ij2 nicht konstruieren, wie wir heute
wissen; vgl. Abschnitt 6.4. Da die Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht im
mer den gewiinsc:hten Erfolg haben konnte, findet man bei den Griechen auch
geometrisc:he Konstruktionen unter Verwendung komplizierterer Kurven.
Wenn man einmal akzeptiert hat, daB man zur Lasung algebraischer Glei
chungen, etwa mit rationalen Koeffizienten, neben den bekannten "rationalen"
Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zllmindest
auch noeh das "Wurzelziehen" benatigt, so kann man die Frage stellen, ob
eine wiederholte Anwendung dieser Operationen stets ausreicht, um die Liisun
gen aus den Koeffizienten ~u gewinnen. Dies ist die beriihmtc Frage nach der
Auflosbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale. I3eispielsweise sind al
gebraische Gleiehungcn yom Grad 1 b~w. 2 durch Radikale auflosbar:
x =-a
x = -2a ± V~4 - b
Die Auflasung quadratischer Gleiehungen wurdc im wesentliehen schon von den
Babyloniern (ab ca. Ende des 3. Jahrtausends v. ChI.) unter Verwmdung ele
mentargeometrischer Methoden beherrscht, auch wenn bei den konkreten Rech
nungen, die uns iiberliefert sind, Quadratwurzeln meist nur aus Quadratzahlen
gewgen werden. N ach Becndigung der babylonischen und der griechischen Peri
ode wurde die Auflosung quadratischer Gleichungen ab ca. dem 9. Jahrhundert
n. Chr. insbesondere durch arabische Mathematiker weiter perfektioniert. Diese
arbeiteten auch an dem Problem, kubische sowie Gleichungen hoheren Grades
durch Radikalc aufzulosen, konnten hierzu jedoch kcinen nennenswerten Beitrag
liefern.
Die sensationelle Entdeckung, daB kubische Gleichungen durch Radikale
auflosbar sind, gelang erst gegen 1515 dem Italiener S. clel Ferro. Er betrachtete
eine Gleichung cler Form x3 + ax = b mit a, b > 0 und fand als Losung
x=
Obwohl er wuBte, daB Generationen von Mathematikern vor ihm an diesem
Problem gescheitert waren, hat del Ferro st~ine Entdeckung geheimgehalten und