Algebra 1 (Vorlesungsmitschrift)

82 Pages·2018·1.547 MB·German

by  Peter Bürgisser

Algebra 1
VORLESUNGSMITSCHRIFT
Prof. Peter Bürgisser WS 2013/14
Was ist nahrhaft und kommutativ?
Eine abelsche Suppe.
16. Januar 2018

Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen 1
1.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Gruppenaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Die Sätze von Sylow 12
2.1 Exponent und Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Sylowsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Fortführung der Gruppentheorie 19
3.1 Direkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Semidirekte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Auflösbare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Ringe 28
4.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Ideale und Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Hauptidealbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Berlekamps Algorithmus und formale Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Polynome 47
5.1 Multivariate Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Resultante und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Algebraische Körpererweiterungen 63
6.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Einfache Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Endliche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5 Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6 Algebraischer Abschluss von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Literatur 78

1 Gruppen
1.1 Grundlegende Begriffe
Wir beginnen mit den grundlegendsten Begriffen der Gruppentheorie.
Definition 1.1. EineGruppeisteineMengeGzusammenmiteinerzweistelligenVerknüp-
fung G×G, (g,h) 7→ g·h = gh, welche wir Multiplikation nennen, einem ausgezeichneten
Element e ∈ G, welches wir das neutrale Element nennen werden, und einer einstelligen
OperationG → G,g 7→ g−1,welchewirInversion nennen,sodassfolgendeAnforderungen
erfüllt sind:
(i) Für alle g,h,k ∈ G gilt (gh)k = g(hk). (Assoziativität)
(ii) Für alle g ∈ G gilt g·e = e·g = g.
(iii) Für alle g ∈ G gilt gg−1 = g−1g = e.
WeiterheißtdieGruppeabelsch oderkommutativ,fallszusätzlichgh = hg füralleg,h ∈ G
gilt.
Beispiel 1.2. Die Zahlenmengen Z, Q, R und C bilden mit der Addition jeweils eine abel-
sche Gruppe.
Beispiel 1.3 (Symmetrische Gruppen). Für n ∈ N bezeichne S die Menge der Permuta-
n
tionen einer Menge {1,...,n} von n Elementen, d.h. die Menge der Bijektionen auf ihr.
Mit der Komposition als Verknüpfung, der Identität als neutrales Element und der Um-
kehrung von Abbildungen als Inversion ist S eine Gruppe, welche auch als symmetrische
n
Gruppe bezeichnet wird und für n ≥ 3 nicht abelsch ist.
Beispiel 1.4. Es sei k ein Körper und V ein k-Vektorraum. Mit GL(V) bezeichnen wir
die Menge der bijektiven linearen Abbildungen von V auf sich selbst und nennen dies die
allgemeine lineare Gruppe, denn mit der Komposition als Verknüpfung ist sie ähnlich wie
S tatsächlich eine Gruppe. Sobald die Dimension von V größer als Eins ist, ist GL(V)
n
nicht abelsch.
Wir merken an, dass zwei Gruppen, die in der zugrundeliegenden Menge und der Mul-
tiplikation übereinstimmen, identisch sind. Mit anderen Worten: Neutrales Element und
inverse Elemente einer Gruppe sind eindeutig. Sind nämlich e und e0 neutrale Elemente
bezüglich einer festen Multiplikation auf einer festen Grundmenge, so ist
e = ee0 = e0.
Existiert zu einem Element g einer Gruppe mit neutralem Element e ein h, so dass gh =
hg = e, so muss h bereits das (damit eindeutig bestimmte) inverse Element g−1 sein, was
durch Linksmultiplikation von gh = e mit g−1 ersichtlich ist.
Bemerkung 1.5. Das inverse Element e−1 des neutralen Elements e einer Gruppe ist stets
e selbst.
Eine zweifache Inversion führt zurück zum betrachteten Element, d.h. (g−1)−1 = g für
alle Elemente g einer Gruppe.
Weiterhin besteht die Regel (gh)−1 = h−1g−1 für Inverse von Produkten.
Schließlich definieren wir Produkte g g ···g von n Gruppenelementen g bis g rekursiv
1 2 n 1 n
als (g ···g )g . Aufgrund der Assoziativität ist auch hier die Klammersetzung bedeu-
1 n−1 n
tungslos.
1 Algebra 1
1 Gruppen
Definition 1.6. Es sei G eine Gruppe. Als eine Untergruppe von G bezeichnen wir eine
Teilmenge H ⊂ G, so dass e ∈ H und für alle g,h ∈ H außerdem auch gh und g−1 in H
liegen. Wir schreiben dann H ≤ G.
Eine Untergruppe ist also eine Teilmenge, die bezüglich der bereits vorhandenen Multipli-
kation eine Gruppe bildet.
Beispiel 1.7. Ist V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, so ist die spezielle lineare
Gruppe SL(V) aller Automorphismen aus GL(V), deren Determinante Eins ist, eine Un-
tergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(V).
Ist V ein euklidischer Vektorraum, so ist die Menge O(V) aller orthogonalen Automor-
phismen von V (orthogonale Gruppe genannt) ebenfalls eine Untergruppe von GL(V).
Wir erinnern nun an die Zykelschreibweise für Permutationen (der Menge {1,...,n}). Mit
(i i ...i ) bezeichnen wir diejenige zyklische Permutation, welche i auf i für k < l
1 2 l k k+1
und i auf i abbildet. Zykel der Form (i i ), welche lediglich zwei Zahlen miteinander
l 1 1 2
vertauschen, heißen Transpositionen. Unterscheiden sich dabei i und i nur um Eins, so
1 2
sprechen wir von einer Nachbartransposition.
Als Übungsaufgabe kann gezeigt werden, dass jede Permutation als Produkt von Transpo-
sitionen (sogar von Nachbartranspositionen) darstellbar ist. Die Anzahl der dazu verwen-
deten Transpositionen mag variieren, doch ihre Parität hängt nur von der betrachteten
Permutation ab, weshalb das Signum sgn einer Permutation als −1 in dieser Potenz wohl-
definiert ist.
Beispiel 1.8. Die Teilmenge A von S , die aus den geraden Permutationen – also solchen
n n
mitSignumEins–besteht,bildeteineUntergruppevonS undwirdalternierende Gruppe
n
genannt.
Die Gruppe S enthält etwa die ungeraden Permutationen (23), (12) und (13). Die Unter-
3
gruppe A besteht aus der Identität und den geraden Permutationen (123) und (132).
3
Wir kommen nun zur Erzeugung von Untergruppen. Für eine Teilmenge S ⊂ G einer
Gruppe G setzen wir zunächst
S−1 := {s−1 ∈ G : s ∈ S}.
Definition 1.9. Es sei G eine Gruppe und S ⊂ G eine nichtleere Teilmenge. Dann ist
hSi := {s s ···s : s ∈ S ∪S−1,n ∈ N }.
1 2 n i 0
Weiter setzen wir h∅i := {e}.
Wir nennen hSi die von S erzeugte Untergruppe und zeigen nun, dass dieser Name ge-
rechtfertigt ist.
Lemma 1.10. Es sei wie oben S ⊂ G nichtleer.
(i) Die Menge hSi ist eine Untergruppe von G.
(ii) Jede Untergruppe von G, welche S enthält, enthält auch hSi.
Beweis. (i). Die Abgeschlossenheit von hSi ergibt sich direkt aus der Definition. Ist weiter
s ···s ∈ hSi, so ist auch (s ···s )−1 = s−1···s−1 ∈ hSi, und falls s ∈ hSi, so ist auch
1 n 1 n n 1
e = ss−1 ∈ hSi.
(ii). Es sei s ∈ S ∪S−1. Dann ist entweder s ∈ S ⊂ H oder s−1 ∈ S ⊂ H, womit aber
ebenfalls s ∈ H folgen würde. Da sich jedes Element von hSi als Produkt von Elementen
aus S ∪S−1 schreiben lässt, liegt jedes solche Produkt auch in H.
Algebra 1 2
1.1 Grundlegende Begriffe
Definition 1.11. Wir sagen, dass eine Teilmenge S ⊂ G die Gruppe G erzeugt, falls
hSi = G. Besitzt eine Gruppe eine endliche Teilmenge, von welcher sie erzeugt wird, so
nennen wir diese Gruppe endlich erzeugt.
Die Bemerkung vor der Einführung der alternierenden Gruppe in Beispiel 1.8 kann nun
folgendermaßen formuliert werden:
Satz 1.12. Die symmetrische Gruppe S wird von der Menge der Transpositionen und
n
von der Menge der Nachbartranspositionen erzeugt.
Korollar 1.13. Die symmetrische Gruppe S wird von
n
S = {(12),(12...n)}
erzeugt.
Beweis. Wir zeigen, dass hSi alle Nachbartranspositionen enthält. Ist a < n, so können
wir die Nachbartransposition (a,a+1) als (a,a+1) = g(12)g−1 ∈ hSi schreiben, wobei
g := (12···n)a−1 ∈ hSi.
Der einfachste Fall eines Erzeugnisses ist derjenige, in dem eine Gruppe G von einer
einelementigen Menge {g} erzeugt wird. Wir sagen dann, dass G von g erzeugt wird und
schreiben G = hgi statt G = h{g}i. In dieser Situation ist
hgi = {gn : n ∈ Z},
wenn wir g0 = e und g−n = (gn)−1 = (g−1)n für n ∈ N schreiben. Ähnlich wie bei den
Potenzgesetzen gilt gmgn = gm+n für alle m,n ∈ Z.
Definition 1.14. Eine Gruppe G, welche ein Element g ∈ G mit hgi = G besitzt, heißt
zyklisch.
Beispiel 1.15. Die additive Gruppe Z der ganzen Zahlen ist zyklisch, wird nämlich von 1
und ebenso von −1 erzeugt, d.h. Z = h1i = h−1i.
Satz 1.16. Auch jede Untergruppe von Z ist zyklisch.
Der Beweis ist Übungsaufgabe.
Definition 1.17. Es seien G und G0 Gruppen.
(i) Eine Abbildung ϕ: G → G0 heißt Gruppenhomomorphismus, falls ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h)
für alle g,h ∈ G gilt.
(ii) Ein bijektiver (Gruppen-)Homomorphismus heißt Isomorphismus.
(iii) Ein Isomorphismus, bei dem Bild- und Urbildgruppe G und G0 gleich sind, heißt
Automorphismus.
Beispiel 1.18. Ist k ein Körper und V ein endlichdimensionaler k-Vektorraum, so ist
die Determinante ein Gruppenhomomorphismus von GL(V) in die multiplikative Gruppe
k\{0}.
Beispiel 1.19. Auch das Signum sgn: S → {−1,1} von der symmetrischen Gruppe S in
n n
die multiplikative Gruppe {−1,1} ist ein Homomorphismus.
3 Algebra 1
1 Gruppen
Bemerkung 1.20. Es sei ϕ: G → G0 ein Gruppenhomomorphismus. Dann bildet ϕ das
neutrale Element e in G auf das neutrale Element e0 in G0 ab, was aus
ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e)
durch Multiplikation mit ϕ(e)−1 hervorgeht. Auch gilt ϕ(g−1) = ϕ(g)−1 für alle g ∈ G,
was zu zeigen eine Übungsaufgabe ist.
Weiter sind der Kern
kerϕ := {g ∈ G : ϕ(g) = e0}
und das Bild
imϕ = {ϕ(g) : g ∈ G}
von ϕ Untergruppen von G bzw. G0. Die Injektivität von ϕ kann darüber charakterisiert
werden, dass der Kern trivial ist: ϕ ist genau dann injektiv, wenn kerϕ = {e}.
Beispiel 1.21. Für jede Gruppe G und g ∈ G ist Z → G, n 7→ gn ein Homomorphismus.
Letztlich führen wir noch direkte Produkte von Gruppen ein. Sind G ,...,G Gruppen,
1 r
×r
so statten wir das kartesische Produkt G := G ×···×G = G mit der komponen-
1 r i=1 i
tenweisen Multiplikation aus und erhalten so eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen
Produkt G, welches damit als (externes) direktes Produkt bezeichnet wird.
Bemerkung 1.22. Die Projektionen G → G , (g ,...,g ) 7→ g , i ≤ r, sind surjektive
i 1 r i
Homomorphismen.
1.2 Gruppenaktionen
Definition 1.23. Eine Operation oder Aktion einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine
Abbildung
G×X → X, (g,x) 7→ g.x = gx
mit der Eigenschaft, dass (gh).x = g.(h.x) und 1.x = x für alle g,h ∈ G und x ∈ X.
Wir definieren weiter S als die Menge aller Bijektionen auf X. So ist S = S für
X n {1,...,n}
n ∈ N und wieder ist S eine Gruppe.
X
Lemma 1.24. Eine Operation von G auf X definiert einen Gruppenhomomorphismus
D: G → S , wobei D(g): X → X die Abbildung x 7→ g.x ist.
X
Beweis. Tatsächlich ist D wohldefiniert, denn für g ∈ G ist D(g) bijektiv mit Umkehrab-
bildung D(g−1), was durch
(cid:0)D(g)◦D(g−1)(cid:1)(x) = D(g)(g−1.x) = g.(g−1.x) = (gg−1).x = 1.x = x
ersichtlich ist. Für g,h ∈ G ist weiterhin
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
D(gh)(x) = (gh).x = g.(h.x) = g. D(h)(x) = D(g)◦D(h) (x),
was D(gh) = D(g)◦D(h) zeigt.
Definition 1.25. Einen Gruppenhomomorphismus D: G → S nennen wir eine Permu-
X
tationsdarstellung.
Algebra 1 4
1.2 Gruppenaktionen
Wir haben soeben gesehen, dass Permutationsdarstellungen durch Gruppenaktionen in-
duziert werden. Umgekehrt kann eine Permutationsdarstellung D über g.x := D(g)(x),
g ∈ G, x ∈ X, auch eine Gruppenaktion definieren.
Beispiel 1.26. Ist V ein k-Vektorraum und G = GL(V), so operiert G auf V mit der
Abbildung
G×V → V , (g,v) 7→ g(v).
Beispiel 1.27. Jede Gruppe G operiert auf sich selbst bezüglich der Linksmultiplikation
G×G → G, (g,h) 7→ gh.
Die Rechtsmultiplikation (g,h) 7→ hg jedoch definiert keine Gruppenaktion; dies tut aller-
dings die Abbildung
G×G → G, (g,h) 7→ hg−1.
Die beiden Operationen kommutieren und ergeben in der Verknüpfung eine Gruppenwir-
kung von G×G auf G selbst, welche durch
(G×G)×G → G, (g ,g ,h) 7→ g hg−1
1 2 1 2
gegeben ist.
Beispiel 1.28. Für eine Gruppe G sei Aut(G) die Gruppe der Automorphismen von G,
welche eine Untergruppe von S bildet. Weiter betrachten wir die Wirkung von G auf sich
G
selbst durch Konjugation
G×G → G, (g,h) 7→ ghg−1.
Wir behaupten, dass das Bild im(Ad) der zugehörigen Permutationsdarstellung Ad: G →
S eine Teilmenge von Aut(G) ist, d.h. dass jede Abbildung Ad(g): h 7→ ghg−1 ein Auto-
G
morphismus ist. Dazu ist nur noch zu zeigen, dass diese Abbildung ein Homomorphismus
ist. Für g,h ,h ∈ G ist jedoch
1 2
Ad(g)(h h ) = gh h g−1 = gh g−1gh g−1 = Ad(g)(h )Ad(g)(h ).
1 2 1 2 1 2 1 2
Den Kern dieser Permutationsdarstellung nennen wir das Zentrum von G und bezeichnen
ihn mit
Z(G) := kerAd = {g ∈ G : ghg−1 = hfür alleh ∈ G} = {g ∈ G : gh = hg für alleh ∈ G}.
Dies ist gerade die Untergruppe von G derjenigen Elemente, welche mit allen anderen
kommutieren.
Definition 1.29. Die Gruppe G operiere auf der Menge X. Für x ∈ X nennen wir
G.x := {g.x : g ∈ G} ⊂ X
die Bahn oder den Orbit von x. Weiter nennen wir
G := {g ∈ G : g.x = x} ⊂ G
x
den Stabilisator von x.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass ein Stabilisator stets eine Untergruppe von G ist.
5 Algebra 1
1 Gruppen
Definition 1.30. Eine Teilmenge Y ⊂ X von X heißt G-invariant, falls die Bahnen all
ihrer Elemente in ihr enthalten sind, falls also G.y ⊂ Y für alle y ∈ Y.
Weitersagenwir,dassGtransitiv aufX operiert,fallsfürallex,y ∈ X eing ∈ Gexistiert,
so dass y = g.x.
Offenbar operiert G genau dann transitiv auf X, falls G.x = X für alle x ∈ X gilt.
Bemerkung 1.31. Jede Bahn ist G-invariant.
Lemma 1.32. Die Gruppe G operiere auf X. Dann bildet die Menge aller Bahnen in X
eine Partition von X.
Beweis. Zunächst ist klar, dass
(cid:91)
G.x = X.
x∈X
Wir zeigen noch, dass zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt sind. Es seien also x,y ∈
X mit G.x∩G.y 6= ∅. Für z ∈ G.x∩G.y finden wir also g,h ∈ G mit z = g.x = h.y. Dies
zeigt y = (h−1g).x, womit offenbar G.y = G.x folgt.
Beispiel 1.33. Es seien m,n ∈ N und k ein Körper. Die Gruppe G := GL(m,k)×GL(n,k)
wirkt auf X = km×n durch
G×X → X, (g,h,A) 7→ gAh−1.
Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen von Matrizen gleichen Ranges. Auch wirkt G :=
GL(n,C) auf X = Cn,n durch
G×X → X, (g,A) 7→ gAg−1
undhiersinddieBahnenÄquivalenklassenvonMatrizenmitgleicherJordan-Normalform.
Definition 1.34. Die Gruppe G operiere auf sich selbst durch Konjugation, also durch
G×G → G, (g,h) 7→ ghg−1.
Die Bahn
{ghg−1 : g ∈ G}
eines Elements h ∈ G heißt dann Konjugationsklasse von h. Weiter heißt
Z := {g ∈ G : gh = hg}
h
der Zentralisator von h.
Satz 1.35 (Bahnformel). Die endliche Gruppe G operiere auf der Menge X. Dann gilt
für alle x ∈ X
|G| = |G ||G.x|.
x
Beweis. Die „Bahnabbildung“
ϕ : G → G.x, g 7→ g.x
x
ist surjektiv. Außerdem ist ϕ−1(x) = {g ∈ G : g.x = x} = G . Für h ∈ G beobachten wir
x x
h−1ϕ−1(h.x) = {h−1g˜∈ G : g˜.x = h.x} = {g ∈ G : (h−1hg).x} = ϕ−1(x).
x x
Algebra 1 6