ALGEBR˘A LINIAR˘A, GEOMETRIE ANALITIC˘A SI GEOMETRIE DIFERENT¸ IAL˘A. Teorie si

329 Pages·2015·3.03 MB·Romanian

˘ ˘
ALGEBRA LINIARA, GEOMETRIE
˘
ANALITICA S¸I GEOMETRIE
˘
DIFERENT¸IALA.
Teorie ¸si probleme
Florian MUNTEANU
Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova
Al. Cuza 13, 200585 Craiova, Dolj, Romaˆnia
[email protected]
2
Cuprins
I ALGEBRA˘ LINIARA˘ 1
1 Spa¸tii vectoriale 3
1.1 No¸tiunea de spa¸tiu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Liniar dependen¸t˘a. Sistem de generatori . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Baz˘a ¸si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Coordonatele unui vector relativ la o baz˘a . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Subspa¸tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Aplica¸tii liniare 23
2.1 No¸tiunea de aplica¸tie liniar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Aplica¸tii liniare injective, surjective ¸si bijective . . . . . . . . . . 25
2.3 Nucleu ¸si imagine pentru o aplica¸tie liniar˘a . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Spa¸tii vectoriale izomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Matricea unei aplica¸tii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Subspa¸tii invariante fa¸ta˘ de un endomorfism . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Valori proprii ¸si vectori proprii pentru un endomorfism . . . . . . 34
2.8 Endomorfisme diagonalizabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Forme biliniare. Forme p˘atratice 49
3.1 No¸tiunea de form˘a biliniar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 No¸tiunea de form˘a p˘atratic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Metoda lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Metoda lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Forme p˘atratice definite pe spa¸tii vectoriale reale . . . . . . . . . 59
3.6 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Spa¸tii euclidiene 65
4.1 No¸tiunea de spa¸tiu vectorial euclidian . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Inegalitatea lui Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Baze ortonormate. Procedeul Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 68
4.4 Complementul ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1
2 CUPRINS
4.5 Operatori simetrici: defini¸tie, propriet˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Metoda transform˘arilor ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
II GEOMETRIE ANALITICA˘ 83
5 Vectori liberi 85
5.1 No¸tiunea de vector liber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Spa¸tiul vectorial real 3-dimensional V3 . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Produse de vectoriˆın V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Repere carteziene ortonormateˆın E . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3
5.5 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Dreapta ¸si planulˆın spa¸tiu 103
6.1 Dreaptaˆın spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.1 Reprezent˘ari analitice ale dreptei . . . . . . . . . . . . . . 103
6.1.2 Distan¸tadelaunpunctlaodreapt˘a. Unghiuladou˘adrepte105
6.1.3 Pozi¸tia relativ˘a a dou˘a drepte . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Planulˆın spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Reprezent˘ari analitice ale planului . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Distan¸ta de la un punct la un plan. Unghiul a doua˘ plane 108
6.2.3 Pozi¸tia relativ˘a a dou˘a plane . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.4 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.5 Perpendiculara comun˘a a dou˘a drepte necoplanare . . . . 112
6.3 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Conice ¸si cuadrice 117
7.1 Cuadrice (conice): defini¸tie, ecua¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Intersec¸tia unei cuadrice (conice) cu o dreapt˘a. . . . . . . . . . . 118
7.3 Centru pentru o cuadric˘a (conic˘a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Planul tangent la o cuadric˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5 Reducerea ecua¸tiei unei cuadrice (conice) . . . . . . . . . . . . . 123
7.6 Studiul cuadricelor pe ecua¸tia canonic˘a. Sfera . . . . . . . . . . . 130
7.7 Suprafe¸te riglate. Suprafe¸te de rota¸tie . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.8 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
III GEOMETRIE DIFERENT¸IALA˘ 141
8 Curbeˆın plan ¸siˆın spa¸tiu 143
8.1 Drumuri parametrizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2 Defini¸tia curbei. Moduri de reprezentare . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2.1 Curbeˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2.2 Curbeˆın spa¸tiu (curbe strˆambe) . . . . . . . . . . . . . . 150
CUPRINS 3
8.3 Tangenta ¸si normala. Planul normal . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3.1 Cazul curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3.2 Cazul curbelorˆın spa¸tiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.4 Curbur˘a. Torsiune. Triedrul lui Fren´et . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.5 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.6 Paˆnze parametrizate. Suprafe¸te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.7 Curbe pe o suprafa¸t˘a. Curbe coordonate . . . . . . . . . . . . . . 173
8.8 Plan tangent. Normal˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.9 Prima form˘a fundamental˘a a unei suprafe¸te . . . . . . . . . . . . 178
8.10 A doua form˘a fundamental˘a a unei suprafe¸te . . . . . . . . . . . 182
8.11 Probleme propuse spre rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
IV PROBLEME REZOLVATE 193
4 CUPRINS
Prefa¸t˘a
Acest curs este destinatˆın primul rˆand studen¸tilor din anul I, de la Facul-
tateadeAutomatic˘a,Calculatoare¸siElectronic˘aaUniversit˘a¸tiidinCraiovacare
au prev˘azutˆın planul deˆınv˘a¸t˘amˆant disciplina fundamental˘a obligatorie ”Al-
gebr˘a liniar˘a, geometrie analitic˘a¸si geometrie diferen¸tial˘a”,ˆın semestrul I, anul
I. De asemenea cursul este foarte util studen¸tilorˆın primul an al facult˘a¸tilor cu
profil tehnic, economic, matematic˘a-informatic˘a, fizic˘a, chimie, agronomie, hor-
ticultur˘a,dar¸si tuturorcelorcaredorescs˘aˆınve¸te¸sis˘aaprofundezecuno¸stin¸te
teoretice¸sipracticedealgebr˘aliniar˘a,geometrieanalitic˘a¸sigeometriediferen¸tial˘a
a curbelor ¸si suprafe¸telor.
Cursul a fost scris dup˘a o bogat˘a experien¸t˘a ˆın predare ¸si seminarizare a
autorului, dar¸sidup˘aconsultareauneifoartebogatebibliografii. Deasemenea,
materialul de fa¸t˘a este rodul colabor˘arii deosebite dintre autor ¸si Profesorul
Ion Vladimirescu,ˆıncepˆand cu anul 1998, colaborare pentru care autorul aduce
cele mai calde ¸si sincere mul¸tumiri Domnului Profesor Universitar Doctor Ion
Vladimirescu. Referin¸tele bibliografice de baza ale acestui acestui curs sunt:
monografia[20]Matematicispeciale,IonVladimirescu,ReprografiaUniversit˘a¸tii
din Craiova, 1987, cursul [39] Algebr˘a liniara˘, geometrie analitic˘a ¸si geome-
trie diferen¸tial˘a, Ion Vladimirescu, Florian Munteanu, Editura Universitaria,
Craiova, 2007, precum ¸si culegerile de probleme scrise de autor ¸si colaboratorii
lui ([33], [35], [41]).
Cartea are trei p˘ar¸ti principale: Algebr˘a liniar˘a, Geometrie analitic˘a ¸si Ge-
ometriediferen¸tial˘a. Primapartesecompunedincapitolele: 1. Spa¸tiivectoriale;
2. Aplica¸tii liniare; 3. Forme biliniare. Forme p˘atratice; 4. Spa¸tii euclidiene.
Partea a doua este alc˘atuit˘a din capitolele: 5. Vectori liberi; 6. Dreapta ¸si
planul ˆın spa¸tiu; 7. Conice ¸si cuadrice. A treia parte este format˘a din capi-
tolele: 8. Curbeˆın plan ¸siˆın spa¸tiu; 9. Suprafe¸te.
In final, pentru fiecare capitol se prezint˘a o bogat˘a list˘a cu probleme rezol-
vate. Multe dintre acestea sunt exact problemele l˘asate spre rezolvare la finalul
fiec˘arui capitol de teorie. De asemenea, exist˘a 8 modele de subiecte de examen
¸sidou˘aanexeˆıncaresuntreprezentategrafictoatetipuriledeconice¸sicuadrice.
No¸tiunile teoretice sunt prezentate foarte clar¸si sper˘am peˆın¸telesul tuturor
studen¸tilor, fiindˆınso¸tite de foarte multe exemple¸si exerci¸tii rezolvate complet.
ˆIn plus, pentru o mai bun˘a consolidare a no¸tiunilor, la sfˆar¸situl fiec ˘arui capitol
este l˘asat spre rezolvare cˆate un set de probleme. Pentru cititorul care vrea
s˘a parcurg˘a ¸si s˘aˆın¸t eleag˘a con¸tinutul c˘ar¸tii sunt necesare no¸tiuni elementare
i
ii CUPRINS
de matematic˘a din clasele I-XII, cunoscute la nivel cel pu¸tin satisf˘ac˘ator, dar
mai ales no¸tiunile de algebr˘a din clasa a XI-a (matrici, determinan¸ti, sisteme
de ecua¸tii liniare). De asemenea, mai ales pentru ultima parte a cursului,
este nevoie de cunoa¸s terea unor no¸tiuni fundamentale ale analizei matemat-
ice(derivatepar¸tiale,teoremafunc¸tiilorimplicite)¸siaunorno¸tiunielementare
de topologie (mul¸time deschis˘a, vecin˘atate a unui punct).
Autorul
Partea I
… …
ALGEBRA LINIARA
1