Alexandre Ferreira da Silva Renato Marinho Martins Criptografia

96 Pages·2012·1.71 MB·Portuguese

by  Alexandre Ferreira

Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática

Alexandre Ferreira da Silva
Renato Marinho Martins

Criptografia: aspectos históricos e matemáticos

Belém – PA
2011

Alexandre Ferreira da Silva
Renato Marinho Martins

Criptografia: aspectos históricos e matemáticos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como
requisito parcial para a obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado
do Pará.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Belém – PA
2011
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Silva, Alexandre Ferreira da

Criptografia: aspectos históricos e matemáticos. / Alexandre Ferreira da Silva, Renato
Marinho Martins. Belém, 2011.

Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado
do Pará, Belém, 2011.
Orientação de: Pedro Franco de Sá.

1. Teoria dos números 2. Matemática – História 3. Criptografia 4. Algoritmos I. Martins,
Renato Marinho II. Sá, Pedro Franco de (Orientador) III. Título.

CDD: 21 ed. 512.7
Alexandre Ferreira da Silva
Renato Marinho Martins

Criptografia: aspectos históricos e matemáticos

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como
requisito parcial para do grau de Licenciatura em
Matemática, Universidade do Estado do Pará.

Data: _____/______/______

Banca Examinadora

____________________________________ - Orientador
Prof. Pedro Franco de Sá
Dr. em Educação
Universidade do Estado do Pará

____________________________________
Prof. Fábio José da Costa Alves
Dr. em Geofísica
Universidade do Estado do Pará

____________________________________
Profª. Rosineide de Sousa Jucá
Ms. Em Educação

Belém – PA
2011
AGRADECIMENTOS

Bem, se não fosse Deus, possivelmente não estaríamos aqui. Então, quero
agradecer primeiro a Ele, por nos dar essa oportunidade. É meio clichê, mas
realmente devo agradecer, por segundo, aos meus pais, Guilherme Carvalho e
Regina Ferreira, principais responsáveis pela minha educação e por muito do que eu
sou hoje em dia. Não posso deixar de agradecer também a várias pessoas que, às
vezes sem saber, contribuíram bastante na minha vida pessoal, acadêmica e
profissional: meu irmão Lucas, companheiro, inteligente e amigo; a Franci, por ser
uma espécie de segunda mãe, na minha casa; meus camaradas do Rêgo Barros,
responsáveis por alguns dos melhores anos da minha vida; meus amigos da
instituição IFPA, o antigo Cefet, que proporcionou meu primeiro emprego e a minha
linda namorada, que eu amo muito, a Nayara.
Há também alguns professores que trilharam meu caminho e me ajudaram,
de alguma forma, a ser o profissional que hoje sou, como o Luís Otávio e a Deusélia
Nogueira, quando eu ainda estudava no Rêgo Barros; o Arthur, que muito me ajudou
quando eu estagiava na EMATER, em Marituba; a professora Márcia Santos, amiga
e companheira da monitoria da UEPA; o nosso professor e orientador Pedro Sá, que
é uma grande referência e um exemplo a ser seguido, (obrigado pela paciência!);
além do professor Adenílson Camelo, professor que me acompanhou durante o
estágio, no Rêgo Barros.
Não posso terminar sem citar os amigos que fiz na UEPA, que muito me
ajudaram em vários momentos difíceis, mesmo que talvez às vezes nem tivessem
dimensão que estavam me ajudando. São muitos, entre os futuros pedagogos,
secretários trilingues, cientistas da religião, biólogos e matemáticos. Infelizmente,
esse espaço não permite falar de todos. Porém, destaco os caras que eu considero
como verdadeiros irmãos pra mim: André, Itamar, Renato, Saulo e Walmi (vulgos
Ranger, Ítalo, Nattinho, Saulão e Tico), e a nossa mascotinha, a Mayara. Por último
ao Clube do Remo, que não tem me dado muita alegria, mas faz parte da minha vida
e eu tenho fé de que tudo há de melhorar.
Sinceramente, muito obrigado a todos, de coração!

ALEXANDRE FERREIRA DA SILVA
AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por me dar ombros mais fortes sempre que precisei
carregar fardos mais pesados.
À UEPA pela qualidade de ensino que permite formar profissionais de
qualidade.
Ao meu orientador, professor Pedro Sá, pelas orientações para a conclusão
deste trabalho e por ser um exemplo de profissional e fonte pessoal de inspiração
para seguir a carreira docente.
Aos meus amigos de UEPA dos cursos de Ciências da Religião, em especial
duas baixinhas que sempre me fazem sorrir, Narah e Monique, e Pedagogia, em
especial à Ellen Cristina pelo companheirismo; e a todos que tornaram meu tempo
nesta instituição mais agradável.
Aos meus amigos de UEPA, de curso, e de vida, em especial Alexandre,
André, Itamar, Saulo, Mayara e Walmi, pelas suas prazerosas companhias durante
todo o curso e por tudo de grandioso que fizemos juntos.
Por fim, aos meus pais. À minha mãe, principal responsável por eu está aqui,
a quem dedico tudo que consegui até hoje.
RENATO MARINHO MARTINS
“Não há fatos eternos, como não há verdades absolutas.”
Nietzsche

“Queima a ponte que acabaste de atravessar.
Para quem não pode recuar só resta avançar.
Até o rato, quando encurralado, ataca o gato.”
Masaharu Taniguchi
RESUMO

No presente trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre o
desenvolvimento e principais conceitos da Criptologia, ciência que estuda os
acontecimentos acerca das trocas e interceptações de mensagens sigilosas através
dos tempos. O objetivo do estudo é mostrar como ocorreu o avanço desta ciência
através da história, que remonta os tempos dos antigos faraós até os dias de hoje,
no século XXI, bem como, as suas relações com a matemática, entre cifras antigas e
atuais, até o advento da criptografia de chaves assimétricas. Como principal
exemplo desta, temos a cifra RSA, responsável por garantir formas de comunicação
seguras pela internet. São apontados os elementos matemáticos básicos da cifra,
como as diferentes formas de se obter e verificar números primos, além da
aritmética modular. Também há uma breve discussão sobre as consequências da
segurança proporcionada por esta cifra, assim como a expectativa quanto ao futuro
da Criptologia. Por fim, conclui-se que a criptografia foi e continua sendo de suma
importância à confidencialidade de informações, o que se deve, em grande parte, a
inúmeros matemáticos que dedicaram suas vidas a essa ciência e, às vezes, à suas
nações, atitudes essas decisivas para importantes acontecimentos que contribuíram
para a história da humanidade.

Palavras chave: Criptografia; História da Matemática; Criptologia; criptografia RSA;
Números Primos.
ABSTRACT

The present work presents results from a bibliographic research about the
development and main ideas of Cryptology, a science which studies events about
secret messages exchange and interception through ages. The objective of this
study is to show how this science advanced through history, dating back from the
ancient pharaohs until present time, on century XXI, as well as its interactions with
mathematics, amongst past and present ciphers, until the advent of asymmetric keys
cryptography. As a prime example of asymmetric keys cryptography there is the RSA
cipher, responsible for assuring secured means of communication through Internet.
The cipher’s basic mathematic elements have been pointed out, such as its different
ways for obtaining and checking prime numbers, and also modular arithmetic. In
addition, there is a brief discussion about the consequences of security provided by
RSA cipher and the expectations for the future of Cryptology. Finally, it is possible to
conclude that Cryptology was and still is of great importance to information
confidentiality, most thankfully to innumerous mathematicians who have dedicated
their lives to this science, sometimes to their countries, taking critical decisions
toward important happenings which contributed for the human history.
Key words: Cryptography; history of mathematics; Cryptology; RSA Cryptography;
prime numbers.