Alexandre BOUMEZOUED Approches micro-macro des dynamiques de populations hétérogènes ...

337 Pages·2016·15.8 MB·French

THÈSE DE DOCTORAT DE
l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Spécialité
Mathématiques Appliquées
École doctorale Sciences Mathématiques de Paris Centre
Présentée par
Alexandre BOUMEZOUED
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Sujet de la thèse :
Approches micro-macro des dynamiques de
populations hétérogènes structurées par âge
Application aux processus auto-excitants et à la démographie
Micro-macro analysis of heterogenous age-structured populations
dynamics
Application to self-exciting processes and demography
Directrice de thèse : Mme Nicole El Karoui
Co-directeur de thèse : M. Stéphane Loisel
Remerciements
2
Table des matières
1 Présentation des motivations et travaux 10
1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Modélisation dynamique d’une population . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 La pyramide des âges des processus de Hawkes . . . . . . . . . . . . . 67
1.4 Les causes de décès dans la dynamique de population . . . . . . . . . 87
1.5 Estimation de l’hétérogénéité de la mortalité en présence de censure
par intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.6 Comportement macroscopique de trajectoires de vie accélérées . . . . 143
2 Bridging the gap from microsimulation practice to population mo-
dels: a survey: 157
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.2 Complexity and heterogeneity in demographic transition analysis . . . 159
2.3 Point and population processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.4 Microsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.5 Macroscopic behavior of linear and non-linear dynamics . . . . . . . . 196
3 Population viewpoint on Hawkes processes: 209
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.2 Population point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.3 The exponential case generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.4 Pathwise representation of Hawkes population . . . . . . . . . . . . . 221
3.5 Towards more general Hawkes processes . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4 Cause-of-death mortality: what can be learned from population
dynamics?: 237
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.3 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
3
TABLE DES MATIÈRES
5 Measuringmortalityheterogeneitydynamicswithinterval-censored
data: 267
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.2 Longitudinal data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.3 Parametric maximum likelihood method for interval-censored data . . 274
5.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.5 Aggregate mortality and the impact of heterogeneity on life insurance
products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6 Macroscopic behavior of heterogenous populations with fast ran-
dom life histories: 298
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.2 Setting and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.4 Examples and numerical illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4
TABLE DES MATIÈRES
Résumé
Cette thèse porte sur la modélisation de la dynamique des populations et de ses
applications, à la démographie et l’actuariat d’une part, et à l’étude des processus de
Hawkes d’autre part. Ces travaux de thèse proposent d’explorer à travers différents
points de vue comment se déforme la structure d’une population, tant concernant
la répartition des âges que sa composition en terme de caractéristiques. À travers
cinq chapitres, nous déclinonsune mêmephilosophiequi, pourcomprendre comment
évoluent des quantités agrégées, propose d’étudier la dynamique de la population à
une échelle plus fine, celle de l’individu.
Après un premier chapitre introductif en langue française, détaillant les motiva-
tions et les principales contributions, nous proposons d’abord dans le Chapitre 2 la
description du cadre général de la modélisation dynamique aléatoire de populations
structuréesencaractéristiquesetenâges,surlabasedeBensusanetal.(2010–2015),
ainsi que plusieurs exemples motivés par les applications démographiques et actua-
rielles. Nous détaillons la construction mathématique de tels processus ainsi que le
lien avec les équations déterministes classiques en démographie. Nous discutons éga-
lement l’impact de l’hétérogénéité sur l’exemple d’un effet cohorte, ainsi que le rôle
de l’environnement aléatoire.
Les deux chapitres suivants mettent en avant l’importance de la pyramide des
âges.LemodèledepopulationgénéralissuduChapitre2estdéclinédansleChapitre
3 pour étudier des processus de Hawkes avec immigrants généraux, pour lesquels
nous exploitons le concept de pyramide des âges. Dans cette étude théorique, basée
sur Boumezoued (2015b), nous établissons de nouveaux résultats sur leur distribu-
tion pour une classe de fonctions qui généralisent le cas exponentiel étudié jusqu’ici.
Dans le Chapitre 4, qui reprend Arnold et al. (2015), nous analysons l’impact de
changements dans la mortalité par causes de décès sur la dynamique de la pyramide
des âges, et en particulier sur le ratio de dépendance qui est un indicateur crucial du
vieillissement de la population. En incluant le jeu des naissances dans la dynamique,
ce travail de simulations, basé sur les données de l’OMS, permet de compléter la lit-
térature existante sur les causes de décès qui se focalise traditionnellement sur des
indicateurs de mortalité.
Les deux derniers chapitres étudient plus particulièrement l’hétérogénéité des
populations. Le Chapitre 5, basé sur Boumezoued et al. (2015), propose de mesurer
l’hétérogénéitédelamortalitédanslesdonnéesdel’ÉchantillonDémographiquePer-
manent de l’INSEE. Dans le cadre de cette contribution d’adaptation de méthodes
statistiques et de sa mise en oeuvre sur données réelles, nous proposons une mé-
thode d’estimation paramétrique par maximum de vraisemblance pour les modèles
multi-étatsquiprendencompteàlafoislacensureparintervalle,caractéristiquedes
données longitudinales issues du recensement, et également le retour dans les états
5
TABLE DES MATIÈRES
intermédiaires. Enfin, le Chapitre 6, tiré de Boumezoued (2015a), reprend le modèle
général du Chapitre 2 dans lequel les individus peuvent donner naissance, changer
de caractéristiques et décéder. La contribution de cette partie théorique est d’étudier
le comportement de la population lorsque les caractéristiques individuelles changent
fréquemment. Nous établissons un thèorème limite en grande population pour le
processus de pyramide des âges, dont le comportement est alors décrit par des taux
de naissance et mort agrégés sur la structure stable en terme de caractéristiques.
Mots clés : Dynamique des populations, démographie mathématique, science
actuarielle, microsimulation, longévité, mortalité, pyramide des âges, hétérogénéité,
processus de naissance et mort, processus ponctuels, processus de Hawkes, morta-
lité par causes de décès, modèles multi-états, censure par intervalle, maximum de
vraisemblance paramétrique, théorèmes limites pour les processus, trajectoires de
vie accélérées.
6
TABLE DES MATIÈRES
Abstract
This thesis focuses on population dynamics models and their applications, on one
hand to demography and actuarial science, and on the other hand to Hawkes pro-
cesses. This work explores through several viewpoints how population structures
evolve over time, both in terms of ages and characteristics. In five chapters, we
develop a common philosophy which studies the population at the scale of the indi-
vidual in order to better understand the behavior of aggregate quantities.
The first chapter introduces the motivations and details the main contributions
in French. In Chapter 2, based on Bensusan et al. (2010–2015), we survey the mod-
eling of characteristic and age-structured populations and their dynamics, as well
as several examples motivated by demographic issues. We detail the mathematical
construction of such population processes, as well as their link with well known de-
terministic equations in demography. We illustrate the simulation algorithm on an
example of cohort effect, and we also discuss the role of the random environment.
The two following chapters emphasize on the importance of the age pyramid. Chap-
ter 3 uses a particular form of the general model introduced in Chapter 2 in order to
study Hawkes processes with general immigrants. In this theoretical part based on
Boumezoued (2015b) we use the concept of age pyramid to derive new distribution
properties for a class of fertility functions which generalize the popular exponential
case. Chapter 4 is based on Arnold et al. (2015) and analyses the impact of cause-
of-death mortality changes on the population age pyramid, and in particular on
the dependency ratio which is crucial to measure population ageing. By including
birth patterns, this numerical work based on WHO data gives additional insights
compared to the existing literature on causes of death focusing only on mortality
indicators.
The last two chapters focus on population heterogeneity. The aim of Chap-
ter 5, based on Boumezoued et al. (2015), is to measure mortality heterogeneity
on French longitudinal data called Échantillon Démographique Permanent. In this
work, inspired by recent advances in the statistical literature, we develop a para-
metric maximum likelihood method for multi-state models which takes into account
both interval censoring and reversible transitions. Finally, Chapter 6, based on
Boumezoued (2015a), considers the general model introduced in Chapter 2 in which
individuals can give birth, change their characteristics and die. The contribution
of this theoretical work is the analysis of the population behavior when individual
characteristics change very often. We establish a large population limit theorem
for the age pyramid process, whose dynamics is described at the limit by birth and
death rates which are averaged over the stable population composition.
Keywords: Population dynamics, mathematical demography, actuarial science,
microsimulation, longevity, mortality, age pyramid, heterogeneity, birth-death pro-
7
TABLE DES MATIÈRES
cesses, point processes, Hawkes processes, causes-of-death mortality, multi-state
models,intervalcensoring,parametricmaximumlikelihood,limittheoremsforstochas-
tic processes, fast life trajectories.
8
TABLE DES MATIÈRES
Contributions issues de la thèse
Nous mentionnons ici les contributions issues de la thèse, qui seront introduites dans
les Sections 1.2 à 1.6 et détaillées dans leur intégralité dans les Chapitres 2 à 6.
• Bensusan, H., A. Boumezoued, N. El Karoui, S. Loisel. 2010–2015. Bridging
the gap from microsimulation practice to population models: a survey. Work
in progress
• Boumezoued, A. 2015. Population viewpoint on Hawkes processes. HAL
preprint Id: hal-01149752, To appear in Advances in Applied Probability 48.2
(June 2016)
• Arnold, S., A. Boumezoued, H. Labit Hardy, N. El Karoui. 2015. Cause-
of-death mortality: What can be learned from population dynamics? HAL
preprint Id: hal-01157900
• Boumezoued, A., N. El Karoui, S. Loisel 2015, Measuring mortality hetero-
geneity dynamics with interval-censored data. Working paper
• Boumezoued, A. 2015, Macroscopic behaviorof heterogenouspopulationswith
fast random life histories. Working paper
9
Chapitre 1
Présentation des motivations et
travaux
Cette thèse se divise en six chapitres. Nous décrivons dans ce chapitre introductif les
motivations qui sous-tendent les différents travaux, et nous détaillons pour chaque
thème le cadre et les principales contributions. Les cinq chapitres suivants peuvent
être appréhendés indépendamment.
1.1 Motivations
Dans la plupart des pays développés, on assiste à un accroissement de la durée
de vie, matérialisé par l’indicateur d’espérance de vie. Ces améliorations de lon-
gévité mettent en difficulté les systèmes existants de mutualisation et de transfert
des risques, en particulier les systèmes publics de retraite et de santé, les fonds de
pension et les sociétés d’assurance. Pour les produits d’assurance qui concernent le
versement d’une rente jusqu’au décès, le risque de longévité consiste en l’allonge-
ment imprévu de la durée de vie. Pour faire face à ce risque, les sociétés d’assurance
doivent prévoir des montants de capitaux toujours plus importants pour faire face à
un scénario de longévité extrême, ce qui est requis par la réglementation européenne
Solvabilité 2.
La mesure de longévité à l’échelle d’un pays passe par des tables de mortalité qui
donnent, pour les hommes et les femmes, une estimation de taux de mortalité pour
une classe d’âge et une année données. Ces indicateurs sont cruciaux d’un point de
vue démographique pur, mais également car ils servent de référence pour des sec-
teurs comme l’assurance et l’économie. Pour les calculer, il est nécessaire de mesurer
le nombre d’individus en vie et décédés par classe d’âge, ce qui requiert une bonne
compréhension de la pyramide des âges. L’allongement des durées de vie s’ajoute au
jeu de la fertilité des populations, ce qui a pour conséquence une modification des
équilibres dans cette pyramide des âges. Celle-ci permet de calculer les indicateurs
10