Alex Modesto Amoras ESTUDO DA SEQUˆENCIA DE FIBONACCI VIA TEORIA DE´ALGEBRA ...

72 Pages·2015·1.88 MB·Spanish

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPA
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PRO-REIRORIA DE ENSINO DE GRADUAC¸AO
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CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMATICA
Alex Modesto Amoras
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ESTUDO DA SEQUENCIA DE FIBONACCI
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VIA TEORIA DE ALGEBRA LINEAR
Macap´a
2014
Alex Modesto Amoras
ˆ
ESTUDO DA SEQUENCIA DE FIBONACCI
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VIA TEORIA DE ALGEBRA LINEAR
Trabalho de Conclusa˜o de Curso apre-
sentado ao corpo docente do Curso de Li-
cenciatura em Matema´tica - UNIFAP, como
requisito parcial para a obten¸ca˜o da Gra-
dua¸ca˜o em Licenciatura em Matem´atica.
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Area de Concentra¸ca˜o: Algebra linear
Orientador: Dr. Guzman Eul´alio Isla Chamilco.
Macap´a
2014
Estudo da Sequˆencia de Fibonnacci
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via Algebra Linear
por
AMORAS, Alex Modesto
Este Trabalho de Conclus˜ao de Curso, foi julgado e aprovado, pelo Corpo Do-
cente do Curso de Licenciatura em Matem´atica - UNIFAP, como requisito parcial para a
obten¸ca˜o da Graduac¸˜ao de Licenciatura em Matema´tica.
Macap´a, 16 de Abril de 2014
Prof. Dr. Guzman Eul´alio Isla Chamilco
Professor do Curso de Licenciatura em Matema´tica - UNIFAP
Banca Examinadora
Orientador: Prof. Dr. Guzman Eul´alio Isla Chamilco.
Universidade Federal do Amapa´ - UNIFAP
Membro: Prof. Dr.Jos´e Walter C´ardenas Sotil.
Universidade Federal do Amapa´ - UNIFAP
Membro: Prof. Espec. Jo˜ao Socorro Pinheiro Ferreira.
Universidade Federal do Amapa´ - UNIFAP
A minha esposa Marcilene e meus trˆes Filhos Aline, Andr´e e Natalia.
Agradecimentos
(cid:63) Primeiro lugar ao meu Deus, que me sustentou nessa etapa da vida e proporcionou-me
mais essa alegria, pois vem dele tudo que sou, tudo tenho e tudo que espero;
(cid:63) Ao Colegiado do Curso de Licenciatura em Matema´tica da UNIFAP;
(cid:63) Ao professor Dr. Guzmam Chamilco, pelas suas orienta¸co˜es e apoio durante toda a
produ¸ca˜o dese tcc;
(cid:63) A minha ma˜e e meu pai, pelas ora¸co˜es, conselhos e for¸cas que foi muito importante para
concluir essa Graduac¸˜ao e tamb´em meus irma˜os, primos, minha tia Leomita, minha v´o
Tertulina, meu avoˆ Rold˜ao e meus irma˜os em Cristo Jesus;
(cid:63) A Professora Leila e ao Professor Arleno, que me ajudaram financeiramente;
(cid:63) Aos amigos e colegas que tive a oportunidade de conhecer e compartilhar dos seus
conhecimentos;
(cid:63) A todos os professores do colegiado de Matem´atica, que foram em parte os responsa´veis
pela minha formac¸˜ao acadˆemica e profissional;
(cid:63)Enfimatodosquecontribu´ıramdiretaouindiretamenteparaaconclus˜aodessetrabalho.
“Pois que aproveitaria ao homem ganhar todo o mundo e perder a sua
alma?”.
B´ıblia Sagrada - Evangelho de Marcos 8:36.
Resumo
Neste trabalho de conclus˜ao de curso exploraremos o eixo tema´tico o estudo da
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Sequˆencia de Fibonacci via Teoria de Algebra Linear, mas especificamente no assunto
de Transforma¸ca˜o Linear que vai nos auxiliar a encontrar a f´ormula de Binet que tem
uma forte rela¸ca˜o com a Sequˆencia de Fibonacci, iniciando um breve relato biografico de
Leonardo Fibonacci, assim como algumas de suas obras e conquistas em enfase um de
seus principais trabalhos: Os nu´meros de Fibonacci que surgiram do ”estudo o problema
dos coelhos”. E ainda com relac¸˜ao aos nu´meros de Fibonacci estudaremos suas rela¸co˜es
com a Biologia, a Arquitetura, a Arte, a F´ısica e com Corpo Humano. Finalizamos este
trabalho relatando outros assuntos que trazem uma liga¸c˜ao com Sequˆencia de Fibonacci,
como algumas propriedades da Sequˆencia de Fibonacci e sua rela¸ca˜o com outros assuntos
da matem´atica como Triˆangulo de Pascal, a Progressa˜o Geom´etrica, o Nu´mero de Ouro
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(nu´mero Phi), Retˆangulo Aureo e a Divisa˜o Aurea. E para desenvolver este trabalho
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foramnecessa´riosconceitosdeTeoriadosNu´meros,Ca´lculoDiferencialeIntegral,Algebra
Linearecomoapoiobibliogr´aficooslivrosde”Inicia¸c˜aoCient´ıficaOBMEP2006-Indu¸c˜ao
Matema´tica vol. 4”e ”Introdu¸ca˜o `a Teoria dos Nu´meros de Jos´e Pl´ınio de Oliveira.
Palavras-chave: Sequˆencia de Fibonacci, Nu´meros de Fibonacci, Numero de
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ouro, F´ormula de Binet, Retˆangulo Aureo.
Abstract
En este trabajo de finalizacio´n explorara´ el tema principal del estudio Fibonacci
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Teor´ıa trav´es Algebra Lineal, pero espec´ıficamente en el tema de la transformaci´on lineal
que nos ayudara´ a encontrar la fo´rmula de Binet tenemos una fuerte relaci´on con la su-
cesio´ndeFibonacci,iniciandounabreveresen˜abiogra´ficadeLeonardoFibonacci,as´ıcomo
algunas de sus obras y logros´enfasis en una de sus obras ma´s importantes: los nu´meros de
Fibonacci que surgieron de la ”estudiar el problema de los conejos.”Y con respecto a los
nu´merosdeFibonacciestudiara´susrelacionesconlaBiolog´ıa,Arquitectura,Arte,F´ısicay
el cuerpo humano. Terminamos este art´ıculo que informa sobre otras cuestiones que traen
una relacio´n con la secuencia de Fibonacci como algunas propiedades de la secuencia de
Fibonacci y su relaci´on con otras asignaturas de matema´ticas como el tri´angulo de Pascal,
la geom´etrica progresio´n, el nu´mero de oro (nu´mero Phi ), recta´ngulo de oro y la Divisi´on
de oro ”Matema´tico vol induccio´n 4 2006 OBMEP Iniciaci´on Cient´ıfica”e ”Introduccio´n a
la Teor´ıa de Nu´meros Joseph Plinio”E para desarrollar este trabajo conceptos necesarios
de Teor´ıa de nu´meros, c´alculo diferencial e integral, a´lgebra lineal y apoyo bibliogra´fico
como libros eran Oliveira.
Keywords:Palabras clave: Secuencia de Fibonacci, los nu´meros de Fibonacci,
Nu´mero oro, fo´rmula de Binet, recta´ngulo de oro.
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SUMARIO
Resumo vii
Abstract viii
Introdu¸c˜ao 2
0.1 Historia de Leonardo Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.1 O L´ıber Abaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Preliminares 6
2.1 No¸co˜es Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 No¸co˜es Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Nota¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Implica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Conceito Primitivos e Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Igualdade entre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 M´etodo de Indu¸ca˜o Matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Estudo das Sequˆencias Nu´mericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Estudo do Limite de uma Sequˆencia Nu´merica . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.2 Estudo de Sequˆencias Definidas Recursivamente . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Crit´erio de Convergˆencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Conceito Sobre Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Transforma¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Teor´ıa Matem´atica de Fibonacci 18
3.1 Os Coelhos de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1 A a´rvore Genealo´gica da abelha macho (Zang˜ao). . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Propriedades Nu´mericas da Sequˆencia de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . 23
4 A Sequˆencia de Fibonacci na Matem´atica. 28
4.1 A Sequˆencia de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Encontrando a F´ormula Generalizada (A Fo´rmula de Binet) . . . . . . . . . 28
4.3 Fibonacci e Transforma¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1 Definindo a Transforma¸ca˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Fibonacci e Progressa˜o Geom´etrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Fibonacci e o Triˆangulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
5 O Nu´mero de Ouro 39
5.1 Breve Histo´ria do Nu´mero de Ouro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 O Nu´mero do Ouro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Fibonacci e o Nu´mero de Ouro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
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5.3 Fibonacci e o Retaˆngulo Aureo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Fibonacci e Suas Aplica¸c˜oes 50
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6.1 Os Nu´meros de Fibonacci e a Raz˜ao Aurea na Natureza. . . . . . . . . . . . 50
6.1.1 No Nautilus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 Na Pinha e no Romanesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 No Girassol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.4 Nos Furaco˜es e nas Galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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6.1.5 Crescimento de Arvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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6.2 Fibonacci e a Raza˜o Aurea no ser Humano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.1 Na Orelha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.2 No Rosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3 No Sorriso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.4 Na Ma˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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6.3 Fibonacci e a Raza˜o Aurea na Arte e Arquitetura Antiga. . . . . . . . . . . 58
6.3.1 Na Arte Antiga (Monalisa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.2 Na Arquitetura Antiga (Parthenon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Fibonacci na F´ısica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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6.4.1 Na Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Considera¸c˜oes Finais 61
BIBLIOGRAFIA 62
Amoras, Alex Modesto Matem´atica - Unifap