Abstract Algebra. An Inquiry based Approach

564 Pages·2014·3.44 MB·english

by  Jonathan K. Hodge, Steven Schlicker, Ted Sundstrom

ABSTRACT
ALGEBRA
AN INQUIRY-BASED
APPROACH
J K. h
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ed undStrom
Grand Valley State University
Allendale, Michigan, USA
CRC Press
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Contents
NotetoStudents xvii
Preface xix
I The Integers 1
1 TheIntegers:AnIntroduction 3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IntegerArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
OrderingAxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
What’sNext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 DivisibilityofIntegers 11
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
QuotientsandRemainders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TheWell-OrderingPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ProvingtheDivisionAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 GreatestCommonDivisors 23
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
CalculatingGreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
TheEuclideanAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
GCDsandLinearCombinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Well-Ordering,GCDs,andLinearCombinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 PrimeFactorization 33
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
DefiningPrime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TheFundamentalTheoremofArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ProvingExistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ProvingUniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
PrimesandIrreduciblesinOtherNumberSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Other Number Systems 43
5 EquivalenceRelationsandZ 45
n
CongruenceClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
EquivalenceRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
EquivalenceClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TheNumberSystemZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
n
BinaryOperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ZeroDivisorsandUnitsinZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
n
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 AlgebrainOtherNumberSystems 63
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
SubsetsoftheRealNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
TheComplexNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
CollectionsofSets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
PuttingItAllTogether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III Rings 77
7 AnIntroductiontoRings 79
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
BasicPropertiesofRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
CommutativeRingsandRingswithIdentity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
UniquenessofIdentitiesandInverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ZeroDivisorsandMultiplicativeCancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
FieldsandIntegralDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 IntegerMultiplesandExponents 91
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IntegerMultiplicationandExponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
NonpositiveMultiplesandExponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
PropertiesofIntegerMultiplicationandExponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TheCharacteristicofaRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 Subrings,Extensions,andDirectSums 105
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
TheSubringTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
SubfieldsandFieldExtensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10 IsomorphismandInvariants 121
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
IsomorphismsofRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
RenamingElements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
PreservingOperations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ProvingIsomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Well-DefinedFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
DisprovingIsomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
IV PolynomialRings 135
11 PolynomialRings 137
PolynomialRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
PolynomialsoveranIntegralDomain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
PolynomialFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Appendix–ProofthatR[x]IsaCommutativeRing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12 DivisibilityinPolynomialRings 153
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
TheDivisionAlgorithminF[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
GreatestCommonDivisorsofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
RelativelyPrimePolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
TheEuclideanAlgorithmforPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13 Roots,Factors,andIrreduciblePolynomials 167
PolynomialFunctionsandRemainders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
RootsofPolynomialsandtheFactorTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
IrreduciblePolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
UniqueFactorizationinF[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14 IrreduciblePolynomials 179
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
FactorizationinC[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
FactorizationinR[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
FactorizationinQ[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
PolynomialswithNoLinearFactorsinQ[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
ReducingPolynomialsinZ[x]ModuloPrimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Eisenstein’sCriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
FactorizationinF[x]forOtherFieldsF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
TheCubicFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Appendix–ProofoftheFundamentalTheoremofAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 196
15 QuotientsofPolynomialRings 199
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
CongruenceModuloaPolynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
CongruenceClassesofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
TheSetF[x]/ f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
h i
SpecialQuotientsofPolynomialRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
AlgebraicNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
V MoreRing Theory 215
16 IdealsandHomomorphisms 217
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
CongruenceModuloanIdeal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
MaximalandPrimeIdeals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
TheKernelandImageofaHomomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
TheFirstIsomorphismTheoremforRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
17 DivisibilityandFactorizationinIntegralDomains 239
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
DivisibilityandEuclideanDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
PrimesandIrreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
UniqueFactorizationDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Proof1:GeneralizingGreatestCommonDivisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Proof2:PrincipalIdealDomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
18 FromZtoC 249
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
FromWtoZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
OrderedRings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
FromZtoQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
OrderingonQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
FromQtoR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
FromRtoC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
ACharacterizationoftheIntegers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
VI Groups 269
19 Symmetry 271
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
SymmetriesofRegularPolygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
20 AnIntroductiontoGroups 283
Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
ExamplesofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
BasicPropertiesofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
IdentitiesandInversesinaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
TheOrderofaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
GroupsofUnits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
21 IntegerPowersofElementsinaGroup 295
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
PowersofElementsinaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
22 Subgroups 303
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
TheSubgroupTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
TheCenterofaGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
TheSubgroupGeneratedbyanElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
23 SubgroupsofCyclicGroups 317
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
SubgroupsofCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
PropertiesoftheOrderofanElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
FiniteCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
InfiniteCyclicGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
24 TheDihedralGroups 325
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
RelationshipsbetweenElementsinD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
n
GeneratorsandGroupPresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
25 TheSymmetricGroups 333
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
TheSymmetricGroupofaSet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
PermutationNotationandCycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
TheCycleDecompositionofaPermutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
EvenandOddPermutationsandtheAlternatingGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
26 CosetsandLagrange’sTheorem 347
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
ARelationinGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Lagrange’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
27 NormalSubgroupsandQuotientGroups 359
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
AnOperationonCosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
NormalSubgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
QuotientGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Cauchy’sTheoremforFiniteAbelianGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
SimpleGroupsandtheSimplicityofA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
n
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
28 ProductsofGroups 381
ExternalDirectProductsofGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
OrdersofElementsinDirectProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
InternalDirectProductsinGroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
ConcludingActivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391