Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven (1691, 1694, 1695), (1744) PDF
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QA935 B4 OSTWALD'S KLASSIKER ENG DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN. Nr. 175. ABHANDLUNGEN ÜBER DAS GLEICHGEWICHT UND DIE SCHWINGUNGEN DER EBENEN ELASTISCHEN KURVEN VON JAKOB BERNOULLI (1691, 1694, 1695) und LEONH, EULER (1744) WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG 55 L Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven Von Jakob Bernoulli (1691, 1694,1695)und Leonh. Euler (1744) Übersetzt und herausgegeben von H. Linsenbarth Mit 35 Textfiguren Leipzig Verlag von Wilhelm Engelmann 1910 y WWW WWWW Jakob Bernoulli. Auszug aus: Acta eruditorum , Leipzig, Juni 1691. (Opera, Band 1. Genf 1744; Seite 451.) Bei Gelegenheit der Aufgabe über die Seilkurve sind wir auf eine andere, ebenso hervorragende Aufgabe gestoßen. Sie betrifft die Biegungen oder Krümmungen der Balken, der ge spannten Bogen oder beliebiger elastischer Bänder, die durch die eigene Schwere, durch ein angehängtes Gewicht oder durch irgend eine andere zusammendrückende Kraft hervorgebracht werden. Der sehr berühmte Leibniz hat mich brieflich auf diese Aufgabe schon aufmerksam gemacht. Wegen der Un Fig. 1. B C AL sicherheit der Hypothesen und wegen der großenMannigfal tigkeit der einzelnen Fälle scheint sie aber schwieriger zu be handeln zu sein, obgleich es hierbei nicht einer weitschweiligen Rechnung, sondern nur des Fleißes bedarf. Ich habe aber durch die Lösung des einfachsten Falles (wenigstens unter der vorher erwähnten Annahme der Ausdehnung, d. h. daß die Ausdehnungen den spannenden Kräften proportional sind) in glücklicher Weise den Zugang zu dieser Aufgabe eröffnet. Wie jener sehr berühmte Herr (Leibniz) es getan, will ich anderen 1* 4 Jakob Bernouilli, Auszug aus Acta eruditorum. Zeit lassen, seine Analysis daran zu versuchen 1). Daher werde ich vorläufig die Lösung zurückhalten und sie in einem Logo griphen verbergen. DieLösung mit dem Beweise will ich zur Herbstmesse mitteilen. Wenn ein elastisches Band AB, das keine Schwere besitzt und überall von derselben Dicke und Breite ist, am unteren Ende A irgendwo befestigt wird, und ein Gewicht an das obere Ende B angehängt wird, das aus reicht, das Band so zu biegen, daß die Richtungslinie BC des Gewichtes in B zu dem gekrümmten Bande senkrecht ist, so wird die Krümmung des Bandes von folgender Natur sein: Qrzumu bapt.. (Die Lösung lautet: Der Teil der Achse zwischen der Or dinate und der Tangente verhält sich zur Länge der Tangente selbst wie das Quadrat der Ordinate zu einer gewissen kon stanten Fläche.]2). WY wy WWUN Jakob Bernoulli. Von der Krümmung des elastischen Bandes. Seine Über einstimmung mit der Krümmung eines Tuches, das von dem Gewicht einer eingeschlossenen Flüssigkeit gedehnt wird. Die Radien der Krümmungskreise in den ein fachsten Ausdrücken entwickelt und einige andere neue Lehrsätze. Auszug aus der Abhandlung: Acta eruditorum, Leipzig, Juni 1694. (Opera, Band 1, Genf 1744; Seite 576.] Nach dreijährigem Schweigen löse ich endlich mein Wort ein, aber so, daß ich den Leser für den Verzug, den er sonst nur unwillig ertragen könnte, reichlich entschädige, indem ich nämlich die Konstruktion der elastischen Linie nicht nur unter einer einzigen Hypothese, wie ich anfangs versprochen hatte, sondern allgemein unter einer beliebigen Hypothese über die Ausdehnungen auseinandersetze. Dies führe ich, wenn ich nicht irre, zuerst aus, nachdem diese Aufgabe von vielen ver geblich versucht worden ist. Diese berühmte Aufgabe stammt nämlich schon aus den Zeiten Galileis, der vermutet hatte, diese Kurve, wie auch die Seilkurve, sei eine Parabel.. Ich hatte in den Actis eruditorum, 1691, S. 289, gesagt, dieses Problem sei schwieriger als das der Seilkurve, und nicht ohne Grund3). Ich will nur bemerken, daß zur Erforschung der Kettenlinie zwei Wege offen stehen, die zu zwei verschie denen Gleichungen führen. Der eine drückt die Natur der Kurve durch eine Beziehung zwischen den Koordinaten aus, der andere durch eine Beziehung zwischen dem Faden der Evolvente und diesen Koordinaten. Zur Erforschung der Natur der elastischen Kurve eröffnet nur der letztere Weg einen 6 Jakob Bernoulli. Zugang. Daher folgt offenbar, daß es wohl möglich ist, daß jemand die Schwierigkeiten der ersten Aufgabe überwindet, aber nicht bei der zweiten als Sieger hervorgeht. Er kann nämlich den zweiten Weg nicht betreten, der die besagte Be ziehung des Fadens der Evolvente oder des Radius des Krüm mungskreises klarlegt, wobei dieser in den einfachsten und rein differentialen Ausdrücken gegeben sein muß. Dieser Weg war uns schonzu der Zeit bekannt, als wir uns mit den Über legungenüber das Seil beschäftigten, und mein Bruder (Johann Bernoulli] hat ihn auf seinen Reisen schon einigen mitgeteilt. Inzwischen ist mir der ungeheure Nutzen des Gefundenen bei der Lösung der Segelkurve und der elastischen Kurve, die wir jetzt vorhaben, und bei einigen noch erhabeneren mehr und mehr klar geworden, und es ist jetzt so weit gekommen, daß ich der Öffentlichkeit den goldenen Lehrsatz nicht länger vorenthalten will. Weil er bisher den Geometern gefehlt hat, scheint es, daß sie bei dieser Aufgabe nicht gleich gute Fort schritte wie bei den früheren gemacht haben. Bevor ich daher weiter Fig. 2. gehe, seien in Figur 2 ab, bc unendlich kleine Teile der h Kurve, zu denen die Krüm mungsradien af, bf, die im Punktefzusammenlaufen,senk recht stehen. Sie bilden einen mn Winkel afb, der dem Winkel gbc gleich ist, den der ver längerte Teil ab mit dem an dern bc bildet. Es werdebh be abgeschnitten. Man ziehe die Parallelen al, bn, co und f auch bl, hom, gen. Die er steren bestimmen die Elemente der Abszissen, die letzteren die der Ordinaten oder dx, dy, der usw.). Ich behaupte: 1) Setzt man die Elemente der Kurve ab, bc, d. h. ds ein ander gleich, so ist (Fig. 2) der Radius des Krümmungskreises dxds oder die Länge des Fadens der Evolvente af = % = day dy ds ho : oder auch %= Denn ho : bc (wegen der d2x bc : hc Von der Krümmung des elastischen Bandes. 7 Ähnlichkeit der Dreiecke bmh und hoc und auch hcb and abf] bm : bh al: ab al da bf: ab af: ab bf x Es ist aber ho = hm 22C= dly doc bl nC= dly; bc ds; also ist Ebenso beweist ds x d2x dy. i q. e. d. man ds x Zusatz: In jeder Kurve, bei der die Elemente einander gleich gesetzt werden, sind die zweiten Differentiale der Ko ordinaten den ersten umgekehrt proportional. Da nämlich dcds: dºg dyds: d2x, so ist dx · d22c dy · dły oder = X= d2x dy auch Dies folgt auch unmittelbar aus der Ähnlich dly dac keit der Dreiecke bmh und hoc, denn co (oder dur) verhält sich zu oh (oder dạy) wie hm zu bm oder wie bl zu al, d. h. wie dy zu dx. 2) Setzt man die Elemente der Abszissen al, bn, d. h. die ds3 du einander gleich, so ist der Krümmungsradius af = x = dcdu gc : hc Da gc: bc (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke = bc : hc - bng und chg und auch hcb und abf] bg : bn ab: al ds: da ds2 bf: ab bf: ab % : ds zda Es ist gc=gn пс bl пс d2x und bc ds, also dly ds2 ds3 d. h. = i q. e. d. ds zdoc' dc dºg Setzt man die dy einander gleich, so wird ähnlich gezeigt, ds3 daß %= ist. dyder Nachdem dies alles vorausgeschickt ist, kehre ich zu der vorgelegten Aufgabe, die elastische Kurve zu konstruieren, zurück. 1. Allgemeine Lösung. Es sei (Fig. 3) ABC ein beliebiges geradlinig oder krumm linig begrenztes Flächenstück, dessen Abszissen AE die span nenden Kräfte, und dessen Ordinaten EF die Spannungen dar 8 Jakob Bernoulli. stellen. Das Quadrat AGDL sei dem Flächenstück ABC gleich, und in das Quadrat sei über A der Kreisquadrant GKL beschrieben. Es werde dann ein Rechteck AGHI festgelegt, das dem beliebig angenommenen Flächenteil AEF gleich sei. IH schneide den Kreisquadranten in K, man ziehe AK und dazu die Parallele GM. Auf der Ordinate EF nehme man EN AM . Alsdann gehört der Punkt N einer Kurve AN an. Zu dem Flächenstück AEN dieser Kurve bestimme man ein inhaltsgleiches Rechteck AGOP. Die Geraden O P und EF schneiden sich in einem Punkt Q,und dieser liegt auf der ge suchten Kurve AQR. Wenn also ein längerer Reifen, eine biegsame Rute oder Stange oder irgend ein elastisches Band ohne Schwere AQRSYVA, von überall gleicher Breite und Dicke RS, AV, von der Länge RQA mit einem Ende bei RS vertikal befestigt wird, und wenn an dem andern Ende AV eine Kraft angreift, oder dort ein Gewicht Z angehängt wird, das ausreicht, das Band so zu krümmen, daß die Tan genteinA,nämlichAB, aufderRichtungdes GewichtsAZsenk recht sei, so wird die konkave Seite des Bandes die Krüm mung RQA annehmen, die wir konstruiert haben; die konvexe Seite SyVist ihr parallel, beide besitzen also dieselbe Evolute mn und können durch Abwicklung derselben Kurve mn bo schrieben werden. (Diese Konstruktion gibt Jak.Bernoulli ohne Beweis. In der mit Erläuterungen versehenen Ausgabe der Werke (Genf 1744, Band 1, Seite 581) findet sich folgende Begründung hinzuge fügt: Es sei (Fig.3) Qy = c die Dicke des Bandes; Qq eins seiner Elemente ds, AP=y, EF= t, AE = x. Das am Hebelarm AE wirkende Gewicht Z erteilt der elastischen Faser tds wy eine Ausdehnung 2y, die gesetzt werden kann = b wo b die Länge AR des ganzen Bandes bedeutet. Die ähn lichen Dreiecke y2Q und qnQ liefern aber die Proportion 2y 9 Q Qn ist hierin gleich dem Krümmungsradius z des y Q Qn dads Punktes Q, also, wie gezeigt worden ist, Die Propor dzy 24 ds tion wird also Setzt man die beiden Werte für с x cds tds Ily einander gleich, so erhält man oder bc= t%, x b Von der Krümmung des elastischen Bandes. 9 d. h. bcdly tdocds. Es sei bc a?, dann ist a2dạy tdacds. Durch Integration entsteht ażdy = ds·Stdx4). Es sei ſtdx = S = der Fläche AEF. Aus a2dy=ds · S entsteht durch Quadrieren a'dy2= (da2 + dy2) S2, daher: Sdx dy Va4 - s2 Fig. 3. Kineal TensionumMмla 1P B E A Elastica P 3 у 19 H Curva D L T 3*** S m n 9 Hierin bedeutet a2 die Fläche ABC, denn für den Punkt dy Rist Oo, also muß a4 = S2 sein, d. h. doc AB =fidx= a2 S= dx = ABC. 10 Jakob Bernoulli. Die Konstruktion ist jetzt leicht abzuleiten: Nach Konstruktion ist AG= a; AGDL = a? = Fläche S ABC; AGHI Fläche AEF S; daher AI und a IK AG a4 — S2. Da so ist AI AM A I.AG as EN=AM IK Va4 - S2 Die Fläche AEN ist also aSdac Rechteck AGOP= a · AP= ay; a4-S2 Svara daher ist 2 Sda Sda Y oder dy Va4. S2 Vat- S2 Zusätze: 1. Wird das gebeugte Band RQA statt in R irgendwo in Q befestigt und der Teil RQ abgeschnitten, so behält der übrige Teil AQ seine Krümmung bei, wenn er von derselben Kraft gebeugt wird. 2. Rotiert die Kurve RQA um RZ als Achse, so entsteht ein anderer, kongruenter, umgekehrt gelegener Teil. Wird das Band statt in R in dem auf diesem Teil gelegenen Punkt a befestigt, so behält das verlängerte und von derselben Kraft gebeugte Band dieselbe Krümmung AQR7 bei. 3. Wenn ein beliebiges Segment AQ der Kurve um die Normale an rotiert, so entstehe das kongruente, auf der an dern Seite gelegene Segment aQ. Beide Segmente aQ A bil den den eigentlichen Bogen, der, wenn in Q ein Halter ange bracht ist, von zwei in jedem Endpunkt in Richtung der Normalen wirkenden Kräften gespannt wird. Jede einzelne Kraft ist der Kraft Z gleich. Dasselbe gilt von den Bögen, die durch Rotation der ganzen Kurve AQR oder der um das Stück Rq vermehrten entstehen. Man hat so drei Arten des Bogens: den verminderten, den vollen, den vermehrten. Diese Bögen werden so unterschieden: Beim verminderten Bogen
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