Abelsche Funktionen und Algebraische Geometrie PDF
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DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON R. GRAMMEL· E. HOPF . H. HOPF . F. K. SCHMIDT B. L. VAN DER W AERDEN BAND LXXXIV ABELSCHE FUNKTIONEN UND ALGEBRAISCHE GEOMETRIE VON FABIO CONFORTO f S PRI N G E R-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG 1956 ABELSCHE FUNKTIONEN UND ALGEBRAISCHE GEOMETRIE VON FABIO CONFORTO f AUS DEM NACHLASS BEARBEITET UND HERAUSGEGEBEN VON W. GROBNER· A. ANDREOTTI UND M. ROSATI MIT 8 TEXTABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG 1956 ALLE RECHTE. INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN. VORBEHALTEN OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT GESTATTET. DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE. MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN © BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN. GOTTINGEN • HEIDELBERG 1956 SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1956 ISBN-13: 978-3-642-94670-7 e-ISBN-13: 978-3-642-94669-1 DOl: 10.1007/978-3-642-94669-1 BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN Vorwort Schon vor fUnf J ahren hatte ich mit meinem inzwischen verstorbenen Freunde FABIO CONFORTO (1909-1954) vereinbart, eine deutsche Be arbeitung seiner Vorlesungen uber ABELsche Funktionen *), die er im Studienjahr 1940/41 in Rom gehalten hat, herauszugeben. Da aber eine grundliche Oberarbeitung des aus dem Jahre 1942 stammenden Textes notwendig erschien, die CONFORTO selbst besorgen wollte**), wurde die Verwirklichung dieses Planes zunachst noch hinausgeschoben. Aber bald nach dem AbschluB des Vertrages mit dem Verleger wurde CONFORTO von einer unerbittlichen Krankheit befallen, die ihn innerhalb J ahresfrist zwang, die Feder fUr immer aus der Hand zu legen, noch beY~r er mit diesem Werk hatte beginnen k6nnen. So blieb mir dessen Gestaltung und Vollendung als Vermachtnis zuruck, das ich im Sinne und Geiste meines verstorbenen Freundes bestens durchzufUhren be strebt war, urn so mehr, als ich damit hoffen durfte, eine wirkliche Lucke auszufUllen und den heute Lebenden eines der reizvollsten Gebiete der klassischen Mathematik naherzubringen, das seit dem Aussterben der alten Mathematikergeneration, zu der auch noch mein verehrter Lehrer W. WIRTINGER geh6rt hatte, beinahe vergessen worden ist. Dabei war ich glucklich, in A. ANDREOTTI und M. ROSATI zwei aus gezeichnete Mitarbeiter zu finden, die als ehemalige Schuler CONFORTOs sehr gut mit seinen Absichten und Planen vertraut waren und so ent scheidend zuJ? Gelingen des Werkes beigetragen haben. Aus den letzten Jahren lag auch noch eine vervielfaltigte Vorlesung***) CONFORTOs vor, deren erstes Kapitel in das vorliegende Buch hineinverarbeitet werden konnte. Wenn es auch notwendig war, den Text aus dem Jahre 1942 sehr grundlich umzuarbeiten, so war doch unser vorzuglichstes Bestreben *) Es existiert eine nur mehr in wenigen Exemplaren vorhandene photo mechanische Vervielfaltigung dieser Vorlesungen: CONFORTO, FABIO: Funzioni Abeliane e Matrici di RIEMANN. 304 S. Rom: Libreria dell'Universita 1942. **) DaB CONFORTO diese Absicht hatte, geht auch aus der folgenden Stelle seines Briefes an F. K. SCHMIDT yom 29. Dezember 1951 hervor: ,,10 mi propongo certamente di riscrivere tutto il testo ancora una volta ex-novo, usufruendo soltanto in piccola parte della mia redazione del 1942, la quale rimane tuttavia in certo senso come il nucleo, intorno al quale si sviluppa la nuova trattazione." ***) CONFORTO, FABIO: Funzioni Abeliane modulari. Lezioni raccolte dal Dott. MARIO ROSATI. 454 S. Rom: DOCET, Edizioni Universitarie 1951. VI Vorwort darauf gerichtet, daB der Charakter des Buches mit seinen vielfach anerkannten Vorziigen voll erhalten bleibe: das heiBt, es sollte eine anschauliche und verstandliche, durch moderne Abstraktionen *) nicht allzu beschwerte Darstellung der klassischen Theorien von RIEMANN, WEIERSTRASS, KLEIN, HURWITZ, POINCARE, ApPELL, FROBENIUS, WIRTlNGER, HUMBERT darbieten, die in allgemeiner Form erstmals von CONFORTO zusammengefaBt worden sind. Wenn damit auch Verzicht auf die gr6Btm6gliche Allgemeingiiltigkeit der Satze geleistet wird, so bleiben dafUr die Entwicklungen naher der geometrischen Anschaulich keit, auf welche sich einer der hauptsachlichsten Vorziige von CONFORTOs V orlesungen griindet. So ist das Buch aber auch besser fUr das Studium geeignet, da kein ausgedehntes Spezialwissen vorausgesetzt werden muB. Urn es lesen und verstehen zu k6nnen, geniigen als Vorkenntnisse die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen, die projektive Geometrie und die Matrizenrechnung. Die wichtigsten Tatsachen iiber meromorphe Funktionen von mehreren Variablen sowie der grundlegende Satz von COUSIN werden im Anhang des Buches bewiesen. AuBerdem ist nur an einigen Stellen im zweiten Kapitel, wo es unerlaBlich war, urn den geometrischen Inhalt einiger Satze, wie z. B. des Theorems von ApPELL-HuMBERT und der daraus abgeleiteten Folgerungen, prazise definieren und exakt beweisen zu k6nnen, von den Begriffen und Satzen der Idealtheorie und deren Anwendungen in der algebraischen Geometrie Gebrauch gemacht worden **). Ganz neu hinzugefiigt wurden auGer dem bereits erwahnten Anhang iiber meromorphe Funktionen mehrerer komplexer Variablen im erst en Kapitel die Abschnitte Nr. 37 und 38 iiber allgemeine Thetafunktionen mit Charakteristiken und Thetafunktionen h6herer Ordnung, im zweiten Kapitel der Beweis fUr die algebraische N atur der ABELschen Mannig faltigkeiten und vor allem die Konstruktion eines singularitatenfreien Modells der PICARDschen Mannigfaltigkeit, die ich einer freundlichen brieflichen Mitteilung von Prof. C. L. SIEGEL verdanke. Auch alle iibrigen Beweise des zweiten Kapitels muBten neu auf gebaut werden, damit sie den Anforderungen einer exakten Beweis fiihrung geniigen. Da in vielen Fallen noch keine Ansatze und Vor arbeiten dafUr vorlagen, muBten hier mehrmals ganz neue Wege ein geschlagen werden, die auch zu neuen Erkenntnissen fiihrten, wie z. B. *) So sind z. B. alle Funktionenkorper grundsatzlich tiber dem Korper der komplexen Zahlen aufgebaut. **) Tatsachlich scheint auGer der Idealtheorie keine andere Theorie die hier notwendigen Begriffe und Beweismethoden in der erforderlichen Differenziertheit und Scharfe zu enthalten. Vorwort VII zur Tatsache, daB der Integritatsbereich aller zu einer RIEMANNSchen Matrix gehorigen intermediaren Funktionen ein( ZPE-Ring ist, eine Tatsache, die neues Licht nicht nur auf die funktimlentheoretische, sondern auch auf die geometrische Seite der Theorie wirft und in ihren weiteren Auswirkungen noch gar nicht ausgewertet werden konnte. Die von CONFORTO erstmals im Jahre 1942 ausgearbeitete EinfUhrung in die Theorie der ABELschen Funktionen hat gegeniiber alteren Dar stellungen den Vorzug eines liickenlosen logischen Aufbaues: Ausgehend von der Definition der ABELschen Funktionen als meromorpher Funk tionen von p Variablen mit 2p unabhangigen Perioden werden zunachst - unter Voraussetzung der Existenz einer ABELschen Funktion - die notwendigen Eigenschaften der von den Perioden gebildeten RIEMANNSchen Matrix, das sind die sog. Periodenrelationen, ermittelt. Diese Eigenschaften erweisen sich sodann auch umgekehrt als hin reichend, da gezeigt wird, daB zu einer diese Bedingungen erfiillenden Periodenmatrix immer zugehorige ABELsche Funktionen konstruiert werden konnen, die im wesentlichen als Quotienten von Thetareihen darstellbar sind, so daB hier die Thetareihen nicht ein kiinstlich heran gezogenes Hilfsmittel der Theorie sind, sondern aus den urspriinglichen Ansatzen als notwendig sich ergebendes Resultat folgen. Die (im zweiten Kapitel behandelte) geometrische Bedeutung der ABELschen Funktionen ergibt sich aus der Tatsache, daB Parameter darstellungen mittels ABELscher Funktionen zu p-dimensionalen alge braischen Mannigfaltigkeiten fUhren, deren Eigenschaften zufolge dieser Darstellung leicht untersucht werden konnen. Besonders wichtig sind die PICARDschen Mannigfaltigkeiten, deren Punkte umkehrbar eindeutig den Punkten des Periodenparallelotops, das ist ein verallgemeinerter Torus, entsprechen. Die rationalen und birationalen Transformationen einer PICARDschen Mannigfaltigkeit lassen sich von der funktionen theoretischen Seite her leicht diskutieren; die geometrische Interpretation ist auBerordentlich interessant und liefert wichtige neue Erkenntnisse fUr die Theorie der irregularen algebraischen Mannigfaltigkeiten. Dieser letzte Teil der Theorie steht noch ganz im Bereich der weiter dringenden Forschung; es kann wohl nicht erwartet werden, daB in der vorliegenden Einfiihrung bereits abschlieBende Ergebnisse aufgezeigt werden *). Dagegen muB mit Bedauern eingestanden und der mensch lichen Unzulanglichkeit sowie dem Mangel an Zeit und Raum zugute gehalten werden, daB manche Abschnitte der klassisch gereiften Theorie, die etwa in diesem Buch gesucht werden diirften, nicht mehr verarbeitet *) Vnter anderem liegt im NachlaB CONFORTOS auch ein unvollendetes Manu skript "Le varieta superficialmente irregolari" vor, das bisher nicht veroffentlicht ist und auch in unsere Bearbeitung nicht mit aufgenommen werden konnte. VIII Vorwort worden sind; vor aHem wird man die Behandlung der speziellen ABEL schen Funktionen sowie des JACoBIschen Umkehrproblems vermissen. CONFORTO hatte allerdings noch viele weitere Plane, mit denen diese Lucken gefiillt worden waren, aber wie weit diese in einer naheren oder ferneren Zukunft werden fortgesetzt werden konnen, das wird wesent lich davon abhangen, ob es dem vorliegenden Buche gelingt, das Interesse der gegenwartigen Mathematikergeneration auf dieses Gebiet der algebraischen Geometrie hinzulenken. Innsbruck, den 30. Dezember 1955 W. GROBNER Inhaltsverzeidmis Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Erklarung der Bezeichnungen ........ . 4 Erstes Kapitel. Die intermediiren Funktionen und das Existenztheorem fiir die ABELSchen Funktionen I. Die Perioden meromorpher Funktionen. RIEMANNsche Matrizen 5 1. Aligemeines iiber periodische Funktionen . 5 2. Lineare Transformationen der Variablen. Unabh1i.ngige Perioden 6 3. Infinitesimale Perioden. 7 4. Ausgeartete Funktionen . . 8 5. Reell unabh1i.ngige Perioden. 12 6. Definition der ABELschen Funktionen 13 7. Konstruktion eines primitiven Systems von Perioden 15 8. Ober die Gesamtheit aller primitiven Systeme von Perioden 18 9. Die Modulgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10. Verhalten einer Periodenmatrix bei !inearen Transformationen der Variablen. 21 11. Erste elementare Eigenschaften der RIEMANNSchen Matrizen 22 12. Reduzierle Form einer RIEMANNschen Matrix. 25 II. Die intermediii.ren (oder ]ACoBlschen) Funktionen 25 13. Der Satz von COUSIN 25 14. Darstellung einer ABELschen Funktion als Quotient von zwei ganzen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 27 15. Bedingungen fiir die Losbarkeit des Systems (14.9) von Diffe- renzengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 16. LOsung einer speziellen Differenzengleichung. . . . . . . . 30 17. Forlsetzung. Methode von HURWITZ fiir die Losung der gestellten Differenzengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 18. Nachweis der gleichmii.Bigen Konvergenz fiir die gefundene Reihe 35 19. LOsung des allgemeinen Differenzenproblems . . . . 39 20. Ein zweites Differenzenproblem. . . . . . . . . . . . . . . 44 21. Vertraglichkeitsbedingungen fiir das gestellte Problem . . . . . 47 22. Hilfssatz iiber die Entwicklung einer ganzen periodischen Funktion in eine FOURIER-Reihe . . . . . . . . . . . . . . 50 23. Formale LOsung des zweiten Differenzenproblems . 52 24. Konvergenz der Reihe, welche die LOsung darstellt 54 III. Das Existenztheorem der ABELSchen Funktionen 56 25. Determinante und charakteristische Zahlen einer intermediaren Funktion ................ . . . . . . . 56 26. Verhalten von N und d beim Obergang zu einer aquivalenten RIEMANN- schen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 27. Das Nichtverschwinden der Determinante Idl. . . . . . . . . 62 28 Die fiir eine RIEMANNsche Matrix charakteristischen Relationen 67 29. Geometrische Interpretation der RIEMANNschen Matrizen. 71 30. Matrizensatz von FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . 75 x Inhaltsverzeichnis 31. Hedeitung der elementaren Eigenschaften einer Periodenmatrix aus der Existenz einer Prinzipalmatrix. . . . 81 32. Bestimmung der charakteristischen Matrix 82 33. Bestimmung der zweiten Periodenmatrix . 83 34. Verschiedene Typen von Normalformen f1ir die Periodenmatrizen 88 35. Konstruktion der intermediaren Funktionen 91 36. Definition und Konvergenz der Thetareihen. . . 96 37. Allgemeine Thetafunktionen mit Charakteristiken 100 38. Thetafunktionen hoherer Ordnung ...... 104 39. Konstruktion der ABELSchen Funktionen. Ein Hilfssatz 108 40. Beweis des Existenzsatzes der ABELSchen Funktionen . 112 41. ABELsche Funktionenkorper . . . . . . . . 116 42. Ausgeartete intermediare Funktionen. Singulare ABELsche Funktionen- korper ............................ 118 43. Klassifikation der ABELSchen Funktionenkorper ........: 120 44. Geometrische Darstellung fiir die RIEMANNschen Matrizen der Xormal- form ......................... 122 45. Existenz von RIEMANNschen Matrizen mit einer einzigen Prinzipal- matrix. . . . . . . . . . . . . .. . .......... 124 46. SchluBfolgerung fiir die Klassifikation der ABELschen Funktioncn" korper. . . . . . . .. . ................ 129 47. Verteilung der regularen und singularen RIEMANNschen Matrizen 130 48. SchluBbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . 134 Zweites Kapitel. Die ABELschen Mannigfaltigkeiten Einleitung. . . . . . . . . . 137 I. Die PICARDsche Mannigfaltigkeit 138 I. Aigebraische Relationen zwischen p + 2 intermediaren Funktioncn desselben Typus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138 2. Konstruktion von p-dimensionalen ABELschen Mannigfaltigkeiten . 141 3. Algebraische Natur der p-dimensionalen ABELschen Mannigfaltigkeitcn 146 4. Einige Hilfssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5. Die PICARDsche Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6. Konstruktion eines singularitatenfreien Modells der PICARDschen Mannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7. Rationale Funktionen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit. . . . 164 8. trber die Gesamtheit der ABELschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . 166 9. Die PICARDschen Integrale 1. Gattung auf einer PICARDschen Mannig faltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10. Die birationalen Transformationen der PICARDschen Mannigfaltigkeit insich ............................ 174 11. Eine charakteristische Eigenschaft der PICARDschen Mannigfaltigkeit 177 12. Das Theorem von ApPELL-HuMBERT ............... 184 13. Einige Folgerungen aus dem Theorem von ApPELL-HuMBERT ... 192 14. Die kontinuierlichen (algebraischen) Systeme von (p -I)-dimensio nalen Mannigfaltigkeiten-auf der PICARDschen Vp . . . . . . . . . 195 15. Primitivitli.t und Imprimitivitat der Gruppe ~ aller Transformationen- der 1. Schar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201 16. Die Basis fiir die (p -l)-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten der PICARDschen Vp (im nicht singularen Fall) . . . . . . . . . -202 17. Geometrische Bedeutung der Determinante einer intermediaren Funktion ................ . . . . . . . 205 Inhaltsverzeichnis XI 18. Die WIRTINGERSchen Mannigfaltigkeiten und die KUMMERsche Flache als Beispiele fUr ABELsche Mannigfaltigkeiten des Ranges 2 . .. 210 II. Algebraische Korrespondenzen zwischen PICARDschen Mannigfaltigkeiten 221 19. Algebraische Korrespondenzen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit und HURWITzsche Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 20. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei PICARDschen Mannig faltigkeiten derselben Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 225 21. HURWITZsche Relationen und RIEMANNSche Homographien. Korre- spondenzen mit Valenz. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 22. Die Involutionen auf einer PICARDschen Mannigfaltigkeit Vp• die zur Vp selbst birational aquivalent sind . . . . . . . . . . . . 233 23. Komplexe Multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . 235 24. Die Transformationstheorie der RIEMANNSchen Matrizen und ABEL- schen Funktionenk6rper . . . . . 237 25. Isomorphe RIEMANNSche Matrizen 240 26. SchluBbetrachtungen . . . . . . 242 Anhang fiber analytische und meromorphe Funktionen von mehreren kom plexen Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 1. Definition und Darstellung analytischer Funktionen von mehreren komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 2. Die wichtigsten allgemeinen Satze tiber analytische Funktionen von mehreren komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . .. 246 3. Der WEIERSTRASssche Vorbereitungssatz. . . . . . . . . .. 249 4. Der Integritatsbereich aller in einem Punkte analytischen Funktionen 252 5. Meromorphe Funktionen . . . . . . 258 6. Die Satze von POINCARE und COUSIN 264 7. Beweis des Satzes von COUSIN 266 Literaturverzeichnis. . . . . . . 271 Namen- und Sachverzeichnis 272 Berichtigungen und Erganzungen 276
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