A guided tour of mathematical physics

267 Pages·1996·1.513 MB·English

by  Snieder R.

A Guided Tour of Mathematical Physics
Roel Snieder
Dept(cid:0) of Geophysics(cid:1) Utrecht University(cid:1) P(cid:0)O(cid:0) Box (cid:2)(cid:3)(cid:0)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:1)
(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:2) TA Utrecht(cid:1) The Netherlands
Published by Samizdat Press
Golden (cid:0) White River Junction
(cid:1)c Samizdat Press(cid:1) (cid:5)(cid:8)(cid:8)(cid:9)
Samizdat Press publications are available
via Internet from http(cid:10)(cid:11)(cid:11)samizdat(cid:0)mines(cid:0)edu
Permission is given to copy these documents for educational purposes
November (cid:5)(cid:12)(cid:1) (cid:5)(cid:8)(cid:8)(cid:2)
Contents
(cid:0) Introduction (cid:1)
(cid:2) Summation of series (cid:3)
(cid:0)(cid:1)(cid:2) The Taylor series (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)
(cid:0)(cid:1)(cid:0) The bouncing ball (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)
(cid:0)(cid:1)(cid:4) Re(cid:5)ection and transmission by a stack of layers (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)
(cid:4) Spherical and cylindrical coordinates (cid:0)(cid:3)
(cid:4)(cid:1)(cid:2) Introducing spherical coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)
(cid:4)(cid:1)(cid:0) Changing coordinate systems (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:6)
(cid:4)(cid:1)(cid:4) The acceleration in spherical coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:2)
(cid:4)(cid:1)(cid:7) Volume integration in spherical coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:7)
(cid:4)(cid:1)(cid:8) Cylinder coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:9)
(cid:5) The divergence of a vector (cid:6)eld (cid:4)(cid:0)
(cid:7)(cid:1)(cid:2) The (cid:5)ux of a vector (cid:10)eld (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:2)
(cid:7)(cid:1)(cid:0) Introduction of the divergence (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:0)
(cid:7)(cid:1)(cid:4) Sources and sinks (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:7)
(cid:7)(cid:1)(cid:7) The divergence in cylinder coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:8)
(cid:7)(cid:1)(cid:8) Is life possible in a (cid:8)(cid:11)dimensional world(cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:3)
(cid:1) The curl of a vector (cid:6)eld (cid:5)(cid:0)
(cid:8)(cid:1)(cid:2) Introduction of the curl (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:2)
(cid:8)(cid:1)(cid:0) What is the curl of the vector (cid:10)eld(cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:0)
(cid:8)(cid:1)(cid:4) The (cid:10)rst source of vorticity(cid:13) rigid rotation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:7)
(cid:8)(cid:1)(cid:7) The second source of vorticity(cid:13) shear (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:8)
(cid:8)(cid:1)(cid:8) The magnetic (cid:10)eld induced by a straight current (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:3)
(cid:8)(cid:1)(cid:9) Spherical coordinates and cylinder coordinates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:3)
(cid:7) The theorem of Gauss (cid:1)(cid:0)
(cid:9)(cid:1)(cid:2) Statement of Gauss(cid:14) law (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:2)
(cid:9)(cid:1)(cid:0) The gravitational (cid:10)eld of a spherically symmetric mass (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:0)
(cid:9)(cid:1)(cid:4) A representation theorem for acoustic waves (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:7)
(cid:9)(cid:1)(cid:7) Flowing probability (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:8)
(cid:2)
(cid:0) CONTENTS
(cid:3) The theorem of Stokes (cid:1)(cid:8)
(cid:3)(cid:1)(cid:2) Statement of Stokes(cid:14) law (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:15)
(cid:3)(cid:1)(cid:0) Stokes(cid:14) theorem from the theorem of Gauss (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:9)(cid:0)
(cid:3)(cid:1)(cid:4) The magnetic (cid:10)eld of a current in a straight wire (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:9)(cid:4)
(cid:3)(cid:1)(cid:7) Magnetic induction and Lenz(cid:14)s law (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:9)(cid:7)
(cid:3)(cid:1)(cid:8) The Aharonov(cid:11)Bohm e(cid:16)ect (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:9)(cid:9)
(cid:3)(cid:1)(cid:9) Wingtips vortices (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:9)(cid:15)
(cid:9) Conservation laws (cid:3)(cid:4)
(cid:17)(cid:1)(cid:2) The general form of conservation laws (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:4)
(cid:17)(cid:1)(cid:0) The continuity equation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:8)
(cid:17)(cid:1)(cid:4) Conservation of momentum and energy (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:9)
(cid:17)(cid:1)(cid:7) The heat equation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:17)
(cid:17)(cid:1)(cid:8) The explosion of a nuclear bomb (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:17)(cid:0)
(cid:17)(cid:1)(cid:9) Viscosity and the Navier(cid:11)Stokes equation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:17)(cid:7)
(cid:17)(cid:1)(cid:3) Quantum mechanics (cid:18) hydrodynamics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:17)(cid:9)
(cid:8) Scale analysis (cid:9)(cid:8)
(cid:15)(cid:1)(cid:2) Three ways to estimate a derivative(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:17)(cid:15)
(cid:15)(cid:1)(cid:0) The advective terms in the equation of motion (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:0)
(cid:15)(cid:1)(cid:4) Geometric ray theory (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:7)
(cid:15)(cid:1)(cid:7) Is there convection in the Earth(cid:14)s mantle(cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:15)(cid:17)
(cid:15)(cid:1)(cid:8) Making an equation dimensionless (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:6)
(cid:0)(cid:10) Linear algebra (cid:0)(cid:10)(cid:4)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:2) Projections and the completeness relation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:4)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:0) A projection on vectors that are not orthogonal (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:9)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:4) The Householder transformation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:17)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:7) The Coriolis force and Centrifugal force (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:0)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:8) The eigenvalue decomposition of a square matrix (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:9)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:9) Computing a function of a matrix(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:17)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:3) The normal modes of a vibrating system (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:0)(cid:6)
(cid:2)(cid:6)(cid:1)(cid:17) Singular value decomposition (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:0)(cid:4)
(cid:0)(cid:0) Fourier analysis (cid:0)(cid:2)(cid:8)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:2) The real Fourier series on a (cid:10)nite interval (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:6)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:0) The complex Fourier series on a (cid:10)nite interval (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:0)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:4) The Fourier transform on an in(cid:10)nite interval (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:7)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:7) The Fourier transform and the delta function (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:8)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:8) Changing the sign and scale factor (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:9)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:9) The convolution and correlation of two signals(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:17)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:3) Linear (cid:10)lters and the convolution theorem (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:6)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:17) The dereverberation (cid:10)lter (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:4)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:15) Design of frequency (cid:10)lters (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:9)
(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:2)(cid:6)Linear (cid:10)lters and linear algebra (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:17)
CONTENTS (cid:4)
(cid:0)(cid:2) Analytic functions (cid:0)(cid:1)(cid:4)
(cid:2)(cid:0)(cid:1)(cid:2) The theorem of Cauchy(cid:11)Riemann (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:8)(cid:4)
(cid:2)(cid:0)(cid:1)(cid:0) The electric potential(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:8)(cid:9)
(cid:2)(cid:0)(cid:1)(cid:4) Fluid (cid:5)ow and analytic functions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:8)(cid:17)
(cid:0)(cid:4) Complex integration (cid:0)(cid:7)(cid:0)
(cid:2)(cid:4)(cid:1)(cid:2) Non(cid:11)analytic functions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:9)(cid:2)
(cid:2)(cid:4)(cid:1)(cid:0) The residue theorem (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:9)(cid:0)
(cid:2)(cid:4)(cid:1)(cid:4) Application to some integrals (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:9)(cid:8)
(cid:2)(cid:4)(cid:1)(cid:7) Response of a particle in syrup (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:9)(cid:17)
(cid:0)(cid:5) Green(cid:11)s functions(cid:12) principles (cid:0)(cid:3)(cid:4)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:2) The girl on a swing (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:4)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:0) You have seen Green(cid:14)s functions before(cid:19) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:3)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:4) The Green(cid:14)s function as impulse response (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:15)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:7) The Green(cid:14)s function for a general problem (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:17)(cid:2)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:8) Radiogenic heating and the earth(cid:14)s temperature (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:17)(cid:4)
(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:9) Nonlinear systems and Green(cid:14)s functions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:17)(cid:3)
(cid:0)(cid:1) Green(cid:11)s functions(cid:12) examples (cid:0)(cid:8)(cid:0)
(cid:2)(cid:8)(cid:1)(cid:2) The heat equation in N(cid:11)dimensions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:15)(cid:2)
(cid:2)(cid:8)(cid:1)(cid:0) The Schr(cid:20)odinger equation with an impulsive source (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:15)(cid:7)
(cid:2)(cid:8)(cid:1)(cid:4) The Helmholtz equation in (cid:2)(cid:21)(cid:0)(cid:21)(cid:4) dimensions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:15)(cid:3)
(cid:2)(cid:8)(cid:1)(cid:7) The wave equation in (cid:2)(cid:21)(cid:0)(cid:21)(cid:4) dimensions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:6)(cid:0)
(cid:0)(cid:7) Normal modes (cid:2)(cid:10)(cid:8)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:2) The normal modes of a string (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:6)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:0) The normal modes of drum (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:2)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:4) The normal modes of a sphere(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:7)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:7) Normal modes and orthogonality relations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:2)(cid:17)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:8) Bessel functions are decaying cosines (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:2)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:9) Legendre functions are decaying cosines (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:4)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:3) Normal modes and the Green(cid:14)s function (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:9)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:17) Guided waves in a low velocity channel (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:4)(cid:6)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:15) Leaky modes (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:4)(cid:7)
(cid:2)(cid:9)(cid:1)(cid:2)(cid:6)Radiation damping (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:4)(cid:3)
(cid:0)(cid:3) Potential theory (cid:2)(cid:5)(cid:0)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:2) The Green(cid:14)s function of the gravitational potential (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:7)(cid:0)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:0) Upward continuation in a (cid:5)at geometry (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:7)(cid:4)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:4) Upward continuation in a (cid:5)at geometry in (cid:4)D (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:7)(cid:9)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:7) The gravity (cid:10)eld of the Earth (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:7)(cid:3)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:8) Dipoles(cid:21) quadrupoles and general relativity (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:8)(cid:2)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:9) The multipole expansion (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:8)(cid:7)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:3) The quadrupole (cid:10)eld of the Earth (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:8)(cid:3)
(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:17) Epilogue(cid:21) the (cid:10)fth force (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:9)(cid:6)
(cid:7) CONTENTS
Chapter (cid:0)
Introduction
Thetopicofthiscourseistheapplicationofmathematicstophysicalproblems(cid:1) Inpractice(cid:21)
mathematics and physicsare taught separately(cid:1) Despite the fact that education inphysics
relies on mathematics(cid:21) it turns out that students consider mathematics to be disjoint
from physics(cid:1) Although this point of view may strictly be correct(cid:21) it re(cid:5)ects an erroneous
opinionwhenitconcerns aneducationinphysicsor geophysics(cid:1) Thereason forthisisthat
mathematics is the only language at our disposal for quantifying physical processes(cid:1) One
cannot learn a language by just studying a textbook(cid:1) In order to truly learn how to use a
language one has to go abroad and start using a language(cid:1) By the same token one cannot
learn how to use mathematics inphysics by just studying textbooks or attending lectures(cid:21)
the only way to achieve this is to venture into the unknown and apply mathematics to
physical problems(cid:1)
It is the goal of this course to do exactly that(cid:13) a number of problems is presented
in order to apply mathematical techniques and knowledge to physical concepts(cid:1) These
examplesarenotpresentedaswell(cid:11)developedtheory(cid:1) Instead(cid:21)theseexamplesarepresented
as a number of problems that elucidate the issues that are at stake(cid:1) In this sense this
book o(cid:16)ers a guided tour(cid:13) material for learning is presented but true learning will only
take place by active exploration(cid:1)
Since this book is written as a set of problems you may frequently want to consult
other material to refresh or deepen your understanding of material(cid:1) In many places we
will refer to the book of Boas(cid:22)(cid:2)(cid:2)(cid:23)(cid:1) In addition(cid:21) the books of Butkov(cid:22)(cid:2)(cid:7)(cid:23) and Arfken(cid:22)(cid:4)(cid:23) are
excellent(cid:1) When you are a physics of geophysics student you should seriously consider
buying a comprehensive textbook on mathematical physics(cid:21) it will be of great bene(cid:10)t to
you(cid:1)
In addition to books(cid:21) colleagues either in the same (cid:10)eld or other (cid:10)elds can be a great
source of knowledge and understanding(cid:1) Therefore(cid:21) don(cid:14)t hesitate to work together with
others on these problems if you are in the fortunate positions to do so(cid:1) This may not
only make the work more enjoyable(cid:21) it may also help you in getting (cid:24)unstuck(cid:25) at di(cid:26)cult
moments and the di(cid:16)erent viewpoints of others may help to deepen yours(cid:1)
This book is set up with the goal of obtaining a good working knowledge of mathe(cid:11)
matical geophysics that is needed for students in physics or geophysics(cid:1) A certain basic
knowledge of calculus and linear algebra is needed for digesting the material presented
here(cid:1) For this reason(cid:21) this book is meant for upper(cid:11)levelundergraduate students or lower(cid:11)
level graduate students(cid:21) depending on the background and skill of the student(cid:1)
(cid:8)
(cid:9) CHAPTER (cid:0)(cid:1) INTRODUCTION
At this point the book is still under construction(cid:13) New sections are reg(cid:14)
ularly added(cid:12) and both corrections and improvements will be made(cid:13) If you
are interested in this material therefore regularly check the latest version at
Samizdat Press(cid:13) The feedback of both teachers and students who use this
material is vital in improving this manuscript(cid:12) please send you remarks to(cid:15)
Roel Snieder
Dept(cid:1) of Geophysics
Utrecht University
P(cid:1)O(cid:1) Box (cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:6)(cid:0)(cid:2)
(cid:4)(cid:8)(cid:6)(cid:17) TA Utrecht
The Netherlands
telephone(cid:27) (cid:28)(cid:4)(cid:2)(cid:11)(cid:4)(cid:6)(cid:11)(cid:0)(cid:8)(cid:4)(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:1)(cid:17)(cid:3)
fax(cid:27) (cid:28)(cid:4)(cid:2)(cid:11)(cid:4)(cid:6)(cid:11)(cid:0)(cid:8)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:7)(cid:1)(cid:17)(cid:9)
email(cid:27) snieder(cid:29)geo(cid:1)uu(cid:1)nl
Acknowledgements(cid:15) Thismanuscripthasbeenpreparedwiththehelpofalargenumber
of people(cid:1) The feedback of JohnScalesandhisproposalto make thismanuscriptavailable
via internet is very much appreciated(cid:1) Barbara McLenon skillfully drafted the (cid:10)gures(cid:1)
The patience of Joop Hoofd(cid:21) John Stockwell and Everhard Muyzert in dealing with my
computer illiteracy is very much appreciated(cid:1) Numerous students have made valuable
comments for improvements of the text(cid:1) The input of Huub Douma in correcting errors
and improving the style of presentation is very much appreciated(cid:1)
Chapter (cid:1)
Summation of series
(cid:0)(cid:1)(cid:2) The Taylor series
In many applications in mathematical physics it is extremely useful to write the quantity
of interest as a sum of a large number of terms(cid:1) To (cid:10)x our mind(cid:21) let us consider the
motion of a particle that moves along a line as time progresses(cid:1) The motion is completely
described by giving the position x(cid:30)t(cid:31) of the particle as a function of time(cid:1) Consider the
four di(cid:16)erent types of motion that are shown in (cid:10)gure (cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:1)
constant constant constant variable
position velocity acceleration acceleration
x(t) x(t) x(t) x(t)
(a) (b) (c) (d)
t t t t
Figure (cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:27) Four di(cid:16)erent kinds of motion of a particle along a line as a function of time(cid:1)
The simplest motion is a particle that does not move(cid:21) this is shown in panel (cid:30)a(cid:31)(cid:1) In
this case the position of the particle is constant(cid:27)
x(cid:30)t(cid:31) (cid:18)x(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:31)
The value of the parameter x(cid:0) follows by setting t(cid:18) (cid:6)(cid:21) this immediately gives that
x(cid:0) (cid:18)x(cid:30)(cid:6)(cid:31) (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:31)
In panel (cid:30)b(cid:31) the situation is shown of a particle that moves with a constant velocity(cid:21) in
that case the position is a linear function of time(cid:27)
x(cid:30)t(cid:31)(cid:18)x(cid:0) (cid:28)v(cid:0)t(cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:4)(cid:31)
Again(cid:21) setting t (cid:18) (cid:6) gives the parameter x(cid:0)(cid:21) which is given again by (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:31)(cid:1) The value of
the parameter v(cid:0) follows by di(cid:16)erentiating (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:4)(cid:31) with respect to time and by setting t(cid:18) (cid:6)(cid:1)
(cid:3)
(cid:17) CHAPTER (cid:2)(cid:1) SUMMATION OF SERIES
Problem a(cid:15) Do this and show that
dx
v(cid:0) (cid:18) (cid:30)t(cid:18)(cid:6)(cid:31) (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:7)(cid:31)
dt
This expressionre(cid:5)ects that the velocity v(cid:0) is given by the time(cid:11)derivative of the position(cid:1)
Next(cid:21) consider a particle moving with a constant acceleration a(cid:0) as shown in panel (cid:30)c(cid:31)(cid:1)
As you probably know from classical mechanics the motion is in that case a quadratic
function of time(cid:27)
(cid:2) (cid:1)
x(cid:30)t(cid:31)(cid:18) x(cid:0) (cid:28)v(cid:0)t(cid:28) a(cid:0)t (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:8)(cid:31)
(cid:0)
Problem b(cid:15) Evaluate this expression at t (cid:18) (cid:6) to show that x(cid:0) is given by (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:31)(cid:1) Di(cid:16)er(cid:11)
entiate (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:8)(cid:31) once with respect to time and evaluate the result at t(cid:18) (cid:6) to show that
v(cid:0) is again given by (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:7)(cid:31)(cid:1) Di(cid:16)erentiate (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:8)(cid:31) twice with respect to time(cid:21) set t (cid:18) (cid:6)
to show that a(cid:0) is given by(cid:27)
(cid:1)
d x
a(cid:0) (cid:18) (cid:1)(cid:30)t(cid:18) (cid:6)(cid:31) (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:9)(cid:31)
dt
This result re(cid:5)ects the fact that the acelleration is the second derivative of the
position with respect to time(cid:1)
Let us now consider the motion shown in panel (cid:30)d(cid:31) where the acceleration changes
with time(cid:1) In that case the displacement as a function of time is not a linear function of
time (cid:30)as in (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:4)(cid:31) for the case of a constant velocity(cid:31) nor is it a quadratic function of time
(cid:30)as in(cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:8)(cid:31) for the case of a constant acceleration(cid:31)(cid:1) Instead(cid:21) the displacementisingeneral
a function of all possible powers in t(cid:27)
(cid:1) (cid:0) n
x(cid:30)t(cid:31) (cid:18)c(cid:0)(cid:28)c(cid:2)t(cid:28)c(cid:1)t (cid:28) (cid:18) cnt (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:3)(cid:31)
(cid:0)(cid:0)(cid:0)
n(cid:3)(cid:0)
X
This series(cid:21) where a function is expressed as a sum of terms with increasing powers of the
independent variable(cid:21) is called a Taylor series(cid:0) At this point we do not know what the
constants cn are(cid:1) These coe(cid:26)cients can be found in exactly the same way as in problem
b where you determined the coe(cid:26)cients a(cid:0) and v(cid:0) in the expansion (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:8)(cid:31)(cid:1)
Problem c(cid:15) Determinethecoe(cid:26)cientcm bydi(cid:16)erentiatingexpression(cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:3)(cid:31)m(cid:11)timeswith
respect to t and by evaluating the result at t(cid:18)(cid:6) to show that
m
(cid:2) d x
cm (cid:18) m(cid:30)x (cid:18)(cid:6)(cid:31) (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:17)(cid:31)
m(cid:19) dt
Of course there is no reason why the Taylor series can only be used to describe the
displacement x(cid:30)t(cid:31) as a function of time t(cid:1) In the literature(cid:21) one frequently uses the Taylor
series do describe a function f(cid:30)x(cid:31) that depends on x(cid:1) Of course it is immaterial how we
call a function(cid:1) By making the replacements x f and t x the expressions (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:3)(cid:31) and
(cid:1) (cid:1)
(cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:17)(cid:31) can also be written as(cid:27)
(cid:0) n
f(cid:30)x(cid:31)(cid:18) cnx (cid:1) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:15)(cid:31)
n(cid:3)(cid:0)
X
(cid:2)(cid:1)(cid:0)(cid:1) THE TAYLOR SERIES (cid:15)
with
n
(cid:2) d f
cn (cid:18) n(cid:30)x(cid:18) (cid:6)(cid:31) (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:6)(cid:31)
n(cid:19)dx
You may (cid:10)nd this result in the literature also be written as
n n (cid:1)
(cid:0) x d f df (cid:2)d f
f(cid:30)x(cid:31) (cid:18) (cid:30)x (cid:18)(cid:6)(cid:31) (cid:18)f(cid:30)(cid:6)(cid:31)(cid:28)x (cid:30)x (cid:18)(cid:6)(cid:31)(cid:28) (cid:30)x (cid:18) (cid:6)(cid:31)(cid:28) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:31)
n (cid:1)
n(cid:19) dx dx (cid:0)dx (cid:0)(cid:0)(cid:0)
n(cid:3)(cid:0)
X
Problem d(cid:15) Show by evaluating the derivatives of f(cid:30)x(cid:31) at x (cid:18) (cid:6) that the Taylor series
of the following functions are given by(cid:27)
(cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:5)
sin(cid:30)x(cid:31) (cid:18)x x (cid:28) x (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:0)(cid:31)
(cid:2) (cid:4)(cid:19) (cid:8)(cid:19) (cid:2)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
(cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:6)
cos(cid:30)x(cid:31) (cid:18)(cid:2) x (cid:28) x (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:4)(cid:31)
(cid:2) (cid:0) (cid:7)(cid:19) (cid:2)(cid:0)(cid:0)(cid:0)
x (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:4) (cid:0) (cid:2) n
e (cid:18) (cid:2)(cid:28)x(cid:28) x (cid:28) x (cid:28) (cid:18) x (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:7)(cid:31)
(cid:0)(cid:19) (cid:4)(cid:19) (cid:0)(cid:0)(cid:0) n(cid:19)
n(cid:3)(cid:0)
X
(cid:2) (cid:1) (cid:0) n
(cid:18)(cid:2)(cid:28)x(cid:28)x (cid:28) (cid:18) x (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:8)(cid:31)
(cid:2) x (cid:0)(cid:0)(cid:0)
n(cid:3)(cid:0)
(cid:2) X
(cid:0) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:4)
(cid:30)(cid:2) x(cid:31) (cid:18)(cid:2) (cid:2)x(cid:28) (cid:2)(cid:30)(cid:2) (cid:2)(cid:31)x (cid:2)(cid:30)(cid:2) (cid:2)(cid:31)(cid:30)(cid:2) (cid:0)(cid:31)x (cid:28) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:9)(cid:31)
(cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:19) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:19) (cid:2) (cid:2) (cid:0)(cid:0)(cid:0)
Up to this point the Taylor expansion was made around the point x (cid:18) (cid:6)(cid:1) However(cid:21)
one can make a Taylor expansion around any arbitrary point x(cid:1) The associated Taylor
series can be obtained by replacing the distance x that we move from the expansion point
by a distance h and by replacing the expansion point (cid:6) by x(cid:1) Making the replacements
x h and (cid:6) x the expansion (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:31) is given by(cid:27)
(cid:1) (cid:1)
n n
(cid:0) h d f
f(cid:30)x(cid:28)h(cid:31) (cid:18) (cid:30)x(cid:31) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:31)
n
n(cid:19) dx
n(cid:3)(cid:0)
X
TheTaylorseriescannotonlybeusedforfunctionsofasinglevariable(cid:1) Asanexample
consider a function f(cid:30)x(cid:1)y(cid:31) that depends on the variables x and y(cid:1) The generalization of
the Taylor series (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:15)(cid:31) to functions of two variables is given by
(cid:0) n m
f(cid:30)x(cid:1)y(cid:31) (cid:18) cnmx y (cid:0) (cid:30)(cid:0)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:31)
n(cid:1)m(cid:3)(cid:0)
X
At this point the coe(cid:26)cients cnm are not yet known(cid:1) They follow in the same way as the
coe(cid:26)cients of the Taylor series of a function that depends on a single variable by taking
the derivatives of the Taylor series and by evaluating the result in the point where the
expansion is made(cid:1)