A criança, a matemática e a realidade: Problemas do ensino da matemática na escola elementar

324 Pages·2009·17.551 MB·Portuguese

by  Gérard Vergnaud

criança
A ,
matemática
a e
realidade
a
Problemas do ensino da matemática
na escola elementar
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Reitor
Zaki Akel Sobrinho
Vice-Reitor
Rogério Mulinari
Diretor da Editora UFPR
Gilberto de Castro
Conselho Editorial
Alexander Welker Biondo
Carlos Alberto Ubirajara Gontarski
Ida Chapaval Pimentel
Jose Borges Neto
Luiz Edson Fachin
Maria de Fatima Mantovani
Maria Rita de Assis Cesar
Mario Antonio Navarro da Silva
Quintino Dalmolin
Sergio Luiz Meister Berleze
Sylvio Fausto Gil Filho
Ulf Gregor Baranow
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criança
A ,
matemática
a e
realidade
a
Problemas do ensino da matemática
na escola elementar
Gérard Vergnaud
Tradução
Maria Lucia Faria Moro
Revisão Técnica
Maria Tereza Carneiro Soares
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© Editions Peter Lang SA, Berne 1981, 1983, 1985
Successeurs des Editions
Herbert Lang & Cie SA, Berne
Título original
L’ enfant, la mathématique et la réalité.
3e édition
criança
A ,
a matemática e
a realidade
Problemas do ensino da matemática
Coordenação editorial
na escola elementar
Daniele Soares Carneiro
Revisão
Maria Cristina Périgo
Projeto gráfico, editoração eletrônica e capa
Reinaldo Weber
Série Pesquisa, n.146
Coordenação de Processos Técnicos. Sistemas de Bibliotecas. UFPR
Vergnaud, Gérard
A criança, a matemática e a realidade : problemas do ensino da ma-
temática na escola elementar / Gérard Vergnaud; tradução Maria Lucia
Faria Moro; revisão técnica Maria Tereza Carneiro Soares. – Curitiba :
Ed. da UFPR, 2009.
322p. : il. – (Pesquisa; n.146)

Inclui referências
ISBN 9788573352306
Título original: L’enfant, la mathematique et la réalité

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação de crianças. 3.
Ensino elementar. I. Título.
CDD 372.7
Andrea Carolina Grohs CRB 9/1.384
ISBN 978-85-7335230-6
Ref. 539
Editora UFPR
Rua João Negrão, 280, 2º andar, Centro
Caixa Postal 17.309
Tel.: [phone] / Fax: [phone]
80010-200 - Curitiba - Paraná - Brasil
www.editora.ufpr.br
[email protected]
2009
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SUMÁRIO
PREFÁCIO DA EDIÇÃO EM LÍNGUA PORTUGUESA/ 11
PREFÁCIO/ 13
INTRODUÇÃO/ 15
A análise das noções e de sua ordem de complexidade crescente/ 16
A análise das tarefas escolares/ 17
A análise dos acertos e dos erros. A análise dos procedimentos/ 18
A análise das representações/ 18
O plano desse livro/ 19
Capítulo I
NOÇÕES DE RELAÇÃO E DE CÁLCULO
RELACIONAL/ 23
Noção de relação/ 23
- Relações binárias/ 23
- Relações ternárias/ 24
- Relações quaternárias/ 24
Representação das relações/ 26
- Representação das relações binárias/ 26
- Representação das relações ternárias/ 28
- Representação das relações quaternárias/ 31
Que é um cálculo relacional?/ 32
- Primeira forma/ 33
- Segunda forma/ 35
Capítulo II
PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES BINÁRIAS/ 41
Simetria e antissimetria/ 41
Transitividade e antitransitividade/ 43
Reflexividade e antirreflexividade/ 45
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Grandes categorias de relações binárias/ 46
- As relações de equivalência/ 46
- As relações de ordem estrita/ 47
- As relações de ordem ampla/ 47
Conexidade/ 49
Uma relação de equivalência particular, a relação de
igualdade/ 51
Capítulo III
RELAÇÕES TERNÁRIAS E TRANSFORMAÇÕES
RELAÇÕES QUATERNÁRIAS
CORRESPONDÊNCIAS E APLICAÇÕES/ 57
Relações ternárias/ 57
- Primeiro modelo: lei de composição binária/ 57
- Segundo modelo: elemento, relação-elemento, elemento/ 59
A noção de transformação/ 60
- Caso simples: uma só transformação/ 62
- Caso mais complexo: várias transformações/ 64
Relações quaternárias/ 71
Correspondências e aplicações/ 73
- Primeiro caso: correspondência biunívoca/ 73
- Segundo caso: correspondência bimultívoca/ 73
- Terceiro caso: correspondência co-unívoca/ 75
- A noção de aplicação/ 75
Capítulo IV
RELAÇÕES E TAREFAS ESCOLARES/ 81
Domínios de estudo/ 81
- O espaço/ 81
- As propriedades dos objetos/ 82
- Relações de parentesco/ 84
- Números/ 84
- Variedade dos domínios utilizáveis/ 85
Análise das tarefas/ 85
- A representação/ 86
- Compreensão-extensão/ 87
- Cálculos relacionais/ 89
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Capítulo V
CLASSIFICAÇÕES E OPERAÇÕES
CLASSIFICATÓRIAS/ 97
Noções de classe e de característica/ 98
- Noções de propriedade e de descritor/ 99
- Problemas de expressão/ 99
Semelhança, equivalência e identidade/ 102
Diferença qualitativa, ordinal e quantitativa/ 104
- Os descritores qualitativos/ 104
- Os descritores ordinais/ 105
- Os descritores quantitativos/ 106
Operações e relações: complemento, união, intersecção,
inclusão/ 107
- A noção de complemento/ 108
- As noções de união e de intersecção/ 111
- A noção de inclusão/ 118
Representação das classificações/ 119
- A representação cruzada/ 119
- A representação em “rede”/ 120
- A representação em árvore/ 120
- A representação de Euler-Venn/ 121
Capítulo VI
O NÚMERO E A MEDIDA/ 125
A sequência numérica falada como recitação e
como contagem/ 125
Correspondência biunívoca e equivalência entre
conjuntos/ 127
Relação de ordem e relação de equivalência: o problema do contínuo
e do discreto/ 129
O número como relação de equivalência e como relação
de ordem/ 132
O número como medida/ 135
A adição dos números/ 138
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Capítulo VII
A MEDIDA: ALGUNS PROBLEMAS PRÁTICOS
E TEÓRICOS/ 145
O problema do intermediário e do mensurador/ 145
A aproximação/ 149
- Os comprimentos e as quantidades contínuas/ 150
- A medida direta das superfícies e a noção de
enquadramento/ 152
- Exemplos de outras medidas diretas/ 155
- A decomposição do que é medido/ 156
As medidas indiretas e a noção de medida composta/ 156
A estrutura algébrica das medidas/ 160
Capítulo VIII
A NUMERAÇÃO E AS QUATRO OPERAÇÕES/ 167
Número e escrita do número/ 167
Os exercícios e os materiais empregados na aprendizagem
da numeração/ 173
Adição e subtração/ 177
- A subtração/ 181
Multiplicação e divisão/ 183
- A divisão/ 188
- Uma disposição interessante da multiplicação/ 192
Capítulo IX
OS PROBLEMAS DE TIPO ADITIVO/ 197
Medidas e transformações/ 197
- Números naturais e números relativos/ 198
- Números inteiros e números decimais/ 199
As seis grandes categorias de relações aditivas/ 199
Diversidade e dificuldade desigual dos problemas
de tipo aditivo/ 206
- Análise detalhada dos problemas referentes à segunda
categoria de relações aditivas/ 207
- Análise dos problemas referentes às outras categorias
de relações aditivas/ 215
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Capítulo X
A NOÇÃO DE GRUPO/ 225
Propriedades do grupo/ 225
Exemplos de grupos finitos/ 228
Lei de composição interna e lei de composição externa:
os três tipos de adições/ 235
Capítulo XI
OS PROBLEMAS DE TIPO MULTIPLICATIVO/ 239
Isomorfismo de medidas/ 239
- Análise detalhada de um exemplo simples/ 243
- Análise vertical (escalar)/ 247
- Análise horizontal (função)/ 251
Produto de medidas/ 253
Conclusão sobre a noção de dimensão/ 258
Classes de problemas de tipo multiplicativo/ 260
- Isomorfismos de medidas/ 260
- Caso de um único espaço de medidas/ 262
- Produto de medidas/ 264
Capítulo XII
REPRESENTAÇÃO E SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ARITMÉTICOS COMPLEXOS/ 269
Exemplo do tipo aditivo puro/ 270
Exemplo de tipo multiplicativo puro/ 276
- Análise das informações e algumas perguntas
plausíveis/ 276
- Soluções/ 278
- Tabelas e curvas/ 283
Exemplo misto (multiplicativo e aditivo)/ 288
CONCLUSÃO: OS PROBLEMAS FUNDAMENTAIS DO
ENSINO DA MATEMÁTICA/ 297
A noção de homomorfismo e o papel da representação/ 297
A noção de invariante operatório/ 303
- O objeto permanente/ 305
- Invariantes relacionais e classificatórios/ 306
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- Invariantes quantitativos/ 307
- A noção geral de invariante operatório/ 308
A noção de algoritmo e seus derivados/ 309
A noção de complexidade lógica/ 314
- Hierarquia dos diferentes objetos lógicos/ 315
- Hierarquia das diferentes propriedades desses
objetos lógicos/ 317
- Hierarquia das diferentes classes de problemas/ 317
Observação final/ 319
BIBLIOGRAFIA/ 321
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