A computational view on normal forms of matrices of Ore polynomials [PhD diss]

139 Pages·2011·1.099 MB·English

by  Johannes Middeke

JOHANNES KEPLER JKU
UNIVERSITA¨T LINZ
Technisch-Naturwissenschaftliche
Fakult¨at
A computational view on normal forms of
matrices of Ore polynomials
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor
im Doktoratsstudium der
Naturwissenschaften
Eingereicht von:
Johannes Middeke
Angefertigt am:
Research Institute for Symbolic Computation (RISC)
Beurteilung:
Univ.-Prof. DI.Dr. Franz Winkler (Betreuung)
Prof. Dr. George Labahn
Mitwirkung:
Dr. Gu¨nter Landsmann
Linz, Juli, 2011

Normal forms of Ore polynomial matrices
Kurzfassung/Abstract
Kurzfassung
Diese Doktorarbeit behandelt Normalformen von Matrizen über Ringen von Ore-Polynomen. Sie
ist in drei Teile geteilt: Zunächst werden Ore-Polynome vorgestellt und ihre grundlegenden Eigen-
schaften. Dieser Teil beinhaltet einen Exkurs über Integro-Differential-Operatoren. Zum zweiten
werden im Hauptteil ein- und beidseitige Normalformen von Matrizen behandelt. Genauer legen
wir unseren Fokus auf die Popov-, die Hermite- und die Jacobsonform. Der letzte Teil der Arbeit
beschäftigtsichmiteinerAnwendungvonNormalformenaufeinProblemausderKontrolltheorie.
ImfolgendensollaufalledieseTeilenocheinmalgenauereingegangenwerden.
Ore-Polynome, die von einigen Autoren auch als Schiefpolynome bezeichnet werden, wurden
zuerstvonØysteinOreuntersuchtin[Ore32a,Ore32b].SieverallgemeinerndiegewöhnlichenPoly-
nome, wobei sie fast alle deren Eigenschaften erhalten mit der Ausnahme, dass die Multiplikation
nicht kommutativ sein muss: Weder wird vorausgesetzt, dass die Koeffizienten miteinander kom-
mutieren, noch muss die Unbestimmte mit diesen kommutieren. Ore-Polynome können verwendet
werden,umRingevonDifferential-oderDifferenzoperatorenzumodellieren.Unteranderemistdie
bekannteWeyl-AlgebraeinOre-Polynomring.
AlseineArtausführlichesBeispielbenutzenwirOre-Polynome,umIntegro-Differential-Operatoren
mit polynomiellen Koeffizienten darzustellen. Dieser Teil basiert auf unserem ISSAC 2009-Artikel
[RRM09].WirerhalteneineKonstruktion,diegroßeÄhnlichkeitzurWeyl-Algebraimreindifferen-
tiellenFallaufweist.
Im Hauptteil der Doktorarbeit werden zunächst Normalformen von Matrizen betrachtet. Diese
bieteneineMöglichkeit,SystemevonlinearenOperatorgleichungendarzustellenundaufLösbarkeit
oder andere Eigenschaften hin zu untersuchen. Wir widmen uns zunächst Normalformen in Bezug
aufZeilenoperationen.DieUntersuchungerstrecktsichdabeiaufZeilenreduktion,Hermite-,Popov-
undverschobenePopovformen.WirstelleneineVerbindungdieserNormalformenzuGröbnerbasen
über Moduln her. Als eine mögliche Anwendung dieser Verbindung wird ein modifizierter FGLM-
Algorithmus vorgestellt, der es erlaubt, von einer Normalform in eine andere zu wechseln. Teile
dieserArbeitwurdenaufderACA2010undin[Mid10]vorgestellt.
WeiterhinbetrachtenwirdieJacobsonform,dieeineNormalforminBezugaufsimultaneZeilen-
und Spaltenoperationen darstellt. In diesem Teil beschränken wir uns auf Differentialoperatoren
mit kommutierenden Koeffizienten. Wir präsentieren einen modularen Algorithmus, der die Jacob-
sonform mit Hilfe von zyklischen Vektoren berechnet und der zumindest bei Körpern der Charak-
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Normal forms of Ore polynomial matrices
teristik Null immer ein Ergebnis liefert. Wir geben Bedingungen an, wann er auch bei positiver
Charakteristikerfolgreichist.
Der letzte Teil der Arbeit behandelt ein Thema aus der Kontrolltheorie. Wir untersuchen lin-
eare,zeitvarianteSystememitTotzeitenaufdifferentielleundaufπ-Flachheit,wobeiwirIdeenaus
[MCL10]aufgreifen.UnsereMethodebasiertaufdeneinseitigenNormalformenausdemHauptteil
derDoktorarbeitanstellederursprünglichvorgeschlagenenJacobsonform.DieseArbeitwirdaufder
AMMCS 2011 vorgestellt und ist bei der CDC 2011 eingereicht. Erste Resultate wurden in [AM10]
präsentiert.
Abstract
ThisthesistreatsnormalformsofmatricesoverringsofOrepolynomials. Thewholethesisisdivided
in three parts: First, Ore polynomials are described and basic facts about them are recalled. This
part also includes integro-differential operators as an extended example. Second, in the main part
we present one- and two-sided normal forms of matrices. More precisely, we deal with the Popov
normal form, Hermite normal form and the Jacobson normal form. In the last part, we explore an
applicationofmatrixnormalformstoaproblemincontroltheory.
Below,wedescribeeachofthepartsinmoredetail.
Ore polynomials, sometimes called skew polynomials, arise from the work of Øystein Ore in
[Ore33]. Theyareageneralisationoftheusualpolynomialswithalmostalloftheirpropertieswith
the main exception being that the multiplication in not necessarily commutative: Neither need the
coefficientscommutewitheachother, nordoestheindeterminatehavetocommutewiththem. Ore
polynomialscanbeusedtomodeldifferentialordifferenceoperators. Forexample,thefamousWeyl
algebracanbeconsideredtobeanOrepolynomialring.
As an example, we model integro-differential operators with polynomial coefficients using Ore
polynomials. This part is based on our ISSAC 2009 paper [RRM09]. We arrive at a construction
whichissimilartotheWeylalgebrainthepurelydifferentialcase.
Inthemainpart,weconsidernormalformsofmatrices. Thesemakeitpossibletoexpresssystems
oflinearequationsinvolvingoperatorsandtodeterminethepropertiesofthesesystemssuchas,for
example, solvability. Wefirstconsidernormalformswithrespecttorow-operations. Thecoefficient
domain here is a skew field. We treat row-reduction, the Hermite normal form, the Popov normal
formandshiftedPopovnormalforms. WedrawaconnectionbetweenthesenormalformstoGröbner
basesovermodules. Asanapplicationofthisconnection,wepresentamodifiedFGLMalgorithmfor
converting matrices from one normal form into another. Parts of this were presented at ACA 2010
andin[Mid10].
WealsoconsidertheJacobsonnormalformwhichisanormalformwithrespecttosimultaneous
row-andcolumn-operations. Here,werestrictourselvestodifferentialoperatorsoveracommutative
coefficientdomain. WepresentamodularalgorithmforcomputingaJacobsonnormalformwhichis
basedoncyclicvectorsandwhichisguaranteedtosucceedincharacteristiczero, butundercertain
conditionsalsoyieldsaresultinpositivecharacteristic.
Thelastpartdealswithatopicfromcontroltheory. Weexaminelineartime-varyingdifferential
systems with delays for differential flatness and π-flatness where we use an idea from [MCL10].
Forthis,weapplytheone-sidednormalformsfromthemainpartinsteadoftheoriginallyproposed
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Normal forms of Ore polynomial matrices
Jacobsonnormalform. ThiswillbepresentedatAMMCS2011andisalsosubmittedtoCDC2011—
initialresultswerepresentedat[AM10].
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Normal forms of Ore polynomial matrices
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Normal forms of Ore polynomial matrices
Curriculum vit(cid:230)
Personal data
FullName JohannesMiddeke
DateofBirth 30thofNovember,1979
PlaceofBirth Oldenburg(Oldenburg),Germany
Homeaddress Aubrunnerweg9,A-4040Linz,Austria
Emailaddress [email protected]
Citizenship German
Career
2007–present Ph.D. studies in Natural Sciences at the Research Institute for Symbolic
Computation(RISC)inHagenberg/Linz,Austria.
2000–2007 DiplomastudiesinMathematicsatCarlvonOssietzkyUniversityinOlden-
burg (Oldenburg), Germany. Degree of Diplom-Mathematiker with distinc-
tion.
Career related activities
• ResearchvisitatUniversityofInnsbruck(Austria,2009)
• ContributedtalkatISSAC2009(Seoul,Korea)
• ResearchvisitatUniversityofWaterloo(Canada,2009)
• ContributedtalkatACA2010(Vlorë,Albania)
• ContributedtalkatDEAM2(Linz,Austria)
• OrganisingcommitteeofDEAM2(Linz,Austria)
• ResearchvisitatUniversityofWaterloo(Canada,2011)
• OrganisingcommitteeofCAI2011(Linz,Austria)
• ContributedtalkatAMMCS2011(Waterloo,Canada)
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Normal forms of Ore polynomial matrices
Published papers
1. J.Middeke, Apolynomial-timealgorithmfortheJacobsonformformatricesofdifferentialop-
erators,Tech. Report08-13,RISCReportSeries,UniversityofLinz,Austria,July2008.
2. G. Regensburger, M. Rosenkranz, and J. Middeke, A skew polynomial approach to integro-
differential operators, Proceedings of ISSAC 2009 (J. R. Johnson, H. Park, and E. Kaltofen,
eds.),ACM,2009,pp. 287–294(English).
3. J.Middeke, ConvertingbetweenthePopovandtheHermiteformofmatricesofdifferentialop-
erators using an FGLM-like algorithm, Tech. report, RISC Report Series, University of Linz,
Austria,June2010.
4. J.Middeke,E.Shemyakova,F.Winkler. ProceedingsofDEAM(WorkshopforDifferentialEqua-
tions by Algebraic Methods). Technical report no. 09-08 in RISC Report Series, University of
Linz,Austria. 2009. Proceedings.
5. J. Middeke. Conversion between Hermite and Popov normal forms using an FGLM-like ap-
proach, Albanian Journal of Mathematics, Vol. 4, No. 4 (2010), Special Issue, Applications of
ComputerAlgebra2010.
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Eidesstattliche Erkl(cid:228)rung/A(cid:30)davit
IcherkläreanEidesstatt,dassichdievorliegendeDissertationselbstständigundohnefremdeHilfe
verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt bzw. die wörtlich oder
sinngemäßentnommenenStellenalssolchekenntlichgemachthabe.
Hereby I declare in lieu of oath that I wrote the present thesis by my own and without any
assistancefromthirdpartiesandwithoutsourcesotherthanthoseindicatedinthethesisitself.
JohannesMiddeke
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