Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores §1. Clasificación de las ecuaciones no lineales integrables 1.1. Ecuación de la forma F (x, y{n)) == 0 La ecuación diferencial de la forma F{x, y^) — 0 es integrable si la ecuación F(x, u) = 0 se puede resolver respecto a u = ip(x) o respecto a x = il>(u). En efecto, en el primer caso y{n) - <p{x), X y - J(x - dt + + (1) x 0 I* C2X -{-. ». -J" Cfj—l® Cfj, donde Cj (j = 1 ,n) son constantes arbitrarias. En el segundo caso, hacemos y = t. Entonces x = ip{t) y d(y{n~1]) = tdx = tip'{t) dt, de donde a^1)- J t${i) dt + Cj. Análogamente hallamos 3/tn / • y — <?(*) + C ^ , C 2, ... C ) donde g y w son funciones conocidas. Consiguiente- t n f mente la solución general tiene la forma paramétrica / tf = i>{t), , ( y = g(t) + w{t, C C ,..., C ). { } lf 2 n En algunos casos la ecuación F(x,y^n'^ = 0 tiene so- luciones en forma paramétrica x ~ a(t), y^ = fi{t), es decir, F(a(t), ¡3{t)) = 0 para t 6 (¿o, t<). Entonces,, siguiendo el esquema anterior obtenemos la parametrización de la solución general, la cual tiene la forma (2). 1.2. Ecuación de la forma 0 F (y{n~x\ yin)) = Si la ecuación F{u, v) = 0 tiene soluciones en forma paramétrica n = a(í) v = /?(£), t £ (¿o/^i)/ entonces la ecuación diferencial 7 F(y , y ) — 0 se puede integrar, pues en ese caso yt»-1> = a(t), y{ n)=m y = ¡3(t) dx, o bien a'(t) di ~ (3{t) dx, de donde La función y se obtiene a partir de la ecuación diferencial yip-1) _ utilizando el método del p. 1.1. 1.3. Ecuación de la forma 0 F (y{n~2), y(n)) = Supongamos que las funciones u — a(t) v ~ f3(t) satisfa- cen la ecuación del p. 1.2. Entonces la ecuación diferencial í1 (y ^ 3/ ) — 0 se puede integrar. En efecto, /-2) = a(t), y{n) = p(t). o, introduciendo la notación = z{x), z(x) = a(t), z"(x) = ¡3{t). De la primera ecuación, hallamos '/ ^ a> Utilizando la segunda ecuación, obtenemos tt r tt t í3 ^ a x — x a — x p. (3) Haciendo x' = r/, la ecuación (3) adopta la forma ii ii o 3 a 7} r¡ a (3r¡ (4) - = . Ésta es una ecuación de Bernoulli. Supongamos que r¡=x'—(p{C t) f es su solución general. Entonces x t) dt + C - 2 Para hallar la función y = y{t) integramos n — 2 veces la ecuación _ utilizando el método analizado anteriormente. Así obtenemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación diferencia] inicial. Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales y hallar las soluciones particulares en los casos en que se conozcan las condiciones iniciales: Solución. Integrando tres veces consecutivas ambos miembros de la ecuación, obtenemos x2 y = r (x + eos cc) dx 4- Ci = - + sen x + Cu x1 \ z3 — + sen x + C\ ) dx + = —— eos x + C\x + C , y = 2 2 J 6 X' eos x + C\X -f C% j ¿2 + C3 y = é x - sen x + C\ — + C x + C . 2 3 24 «4 Solución. Hallamos la solución general Hl X y =e x + C\, x1 y" = ex -— + C x + C2, x 3 2 y = ex - ~ + Cyy + C X + C , 2 3 A ^ • 1 -» X X x 24 6 2 donde las constantes C¿ son arbitrarias. Para determinar sus valores utilizamos las condiciones iniciales. Tenemos: 1 = 1 + 01, 1 = 1 + C , 1 = 1 + C , 2 = 1 + 2 3 de donde hallamos Ci = C C3 = O, C4 = 1. La solución 2 particular es x Solución. Gráficamente es muy fácil mostrar que la ecuación ct + sen a — 1 = O tiene una sola raíz real aj. Por consiguiente, ym = ai, de donde, integrando sucesivamente, obtenemos y" = oliX + Ci, y =a y + Ci£C + C x 2/ 3 2 „ y — «i—X + >,C iX —- + C x + C . 2 3 6 2 Para determinar las constantes de integración utilicemos las condiciones iniciales: 2 = «i + C\, «i 2 = y + C} + C , 2 2 - — + __ + c + C , 2 3 ÍÜ^NSiíi 15 'iiHf , Oít «i de donde hallamos Ci = 2 - a j, C2 C3 — 1 — Por tanto, la solución particular es X X Qft ai y = m -r 4- (2 - a i )— + - r® + 1 Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y", obtenemos + x . Dado que estas ecuaciones son de la forma y" ~ ip{x), entonces integrando dos veces podemos obtener sus soluciones generales. Sin embargo, las ecuaciones obtenidas también pueden integrarse mediante un cambio de variable, haciendo, por ejemplo, x — t2+t (en ese caso el radical desaparece). Entonces obtenemos y" ~ t3 + t2 e y" -¿3 - 212 - t. De la primera ecuación tenemos d{y) = (¿3 +12) dx = (;t3 4- t2)(2t +1) dt, de donde t - / (í3 + i2){lt + 1) dt + CÍ = + - í4 + y + Cj, 2 3 í3 dy = 1 -i5 + -í4 + - + Ci I dx = = ( + ~ + Ci JP + l)dí. integrando una ves más, hallamos J 3 ¿3 Q¿5 + ~t4 + - + Ci ) (2í + 1) dt + C = = 2 4 ' 3 17 i ¿6 + 35 60 La segunda ecuación se integra de forma análoga. • M Solución. Esta ecuación es de la forma F{x, y{n)) = 0 con n ~ 2, y puede ser resuelta respecto a x. Tenemos: x = y -2y . Haciendo y" ~ t, obtenemos x = t3 - 2t. De esta manera, d{y') - tdx = t (3? - 2) dt, de donde y' = J(3tz - 21) dt = - t2 + Ci. Por consiguiente, dy = í-¿4 - £2 + Cj j d® = Q í4 - í2 + Cij (312 ~ 2) dt, de donde / ( + ) ( 3 í2- 2 ) d£ + C 2 Obtuvimos la solución general en forma paramétrica de la ecua- ción inicial: x ~ t3 - 2t, -4 Solución. De un modo análogo al anterior, hacemos y" = t. Entonces x = £ + ln£ d(y')~tdx~t fl + jJ dt = (t + l)dt, / de donde y' ^ J(¿ + i)dt=t-+t + C , 1 ; luego + t + C ) [ 1 -h - } dt 4- C y t 2 7 + ; í2 + (Cj +1 )t + Ci ln 11\ + C 2 6 4 Por consiguiente, la solución general es x — t 4* ln t, í3 3 y = - + 4- (Ci 4- l)í -f Ci ln t 4- C , 2 6 4 Es evidente que ccq = 1 para t = 1; por tanto, í 2 \ = 2, yo= i j + ¿ + *=i yo =s l t 4- gf + (Ci f 1 )t 4- Ci ln t 4- C = L 2 «=i 1 17 De las últimas dos ecuaciones hallamos C\ — - , C = 2 12 La solución particular es x = t + ln í3 3 ,3 1 17 y 6 4 2 2 12 Solución. Esta ecuación es de la forma F(y{n'l), y{n)) = 0 con n = 3 y -y) = d - — 0, Según lo expuesto en el p. 1.2, n . ttt -t y ~t y = e , r de donde d(y") = e~l dx, o bien dt — e~l dx. Integrando la última ecuación1, hallamos x = é 4- C\. Para obtener la función y utilizamos la ecuación y" —t. Tenemos que = tdx = té dt, de donde y' = j té dt + C = e(t - 1) + C . 2 2 Integrando una vez más, obtenemos dy — j (c*(í - 1) + C ) dx + C = z 3 = J (c*(í - 1) + C ) c* dí + C , 2 3 o bien ,2i e / 3\ 2 /= Y V 2/ +c2 «í+ C . 3 Finalmente encontramos a; = e* + C 1; ,2í e 2/ = 6 ~ + C e' + C . 2 3 Solución. Esta ecuación es de la forma = 0; sin embargo, para integrarla recurriremos a un método diferente al del problema anterior. Haciendo y" = z(x) obtenemos la ecuación diferencial de primer orden z' — z = 0, cuya solución general es z = C\ ex. Por tanto, y" = C\ ex, de donde y = C e + C x + C . x 2 3 Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y" = z(x), •2 ry de donde z + ¿ -1 = 0. Separando las variables en la ecuación obtenida, dz . = = dx, e integrando el resultado, obtenemos z = ± sen(x + Ci), o bien y" = ± sen (a; + Cj). mimmmmmxmmmm Integrando la última ecuación dos veces más hallamos / (:V - C x - C f = ser\2(x + Ci). 2 3 Además, tenemos la solución evidente y ~ ±~ + CiX \ C . • 5 Nota. La solución de esta ecuación puede obtenerse en forma paramétrica si se utiliza la identidad sen2 t + cos2f - 1 =0. En efecto, haciendo en la ecuación dada y" — sen i, y"' = eos f, podemos escribir d(y") = eos t dx, o bien d(sen i) = eos t dx, de donde x = t + Ci (cosí ^ 0). Consiguientemente, d(y') — sen tdx — sent dt, por tanto y1 = J sen í dt + C ~ - eos t + C . 2 2 De aquí obtenemos que dy = (C2 ~ eos t) dx — {C% — eos t) di, por lo cual y= (C - eos t) dt + C = C t - sen t + C , 2 3 2 3 Además, existen soluciones de la ecuación y" = ±1 que no pertenecen a la solución general. •4 Solución. Hagamos yt! = tyEntonces de la ecuación dada obtenemos que y = r3 - 3r2, ' = o. y De esta manera, a la ecuación analizada le corresponde e! sistema de ecuaciones y'mr3- 3 f* ( í# 0), y" = r2- 3 r1 ( ¿ / o ), y* = o. Como £%') = 2/" ¿te, a partir de las dos primeras ecuaciones del sistema hallamos d(t~3 - 3í"2) = ( r2 - 3C1) dx, de donde f (2t - 1 ) j tt f 1 ]t| \