9. Ecuaciones Diferenciales de Órdenes Superiores, Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Derivadas Parciales

251 Pages·2002·72.462 MB·Spanish

by  A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach , traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria , revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

Ecuaciones diferenciales
de órdenes superiores
§1. Clasificación de las ecuaciones
no lineales integrables
1.1. Ecuación de la forma F (x, y{n)) == 0
La ecuación diferencial de la forma F{x, y^) — 0 es integrable
si la ecuación F(x, u) = 0 se puede resolver respecto a u = ip(x)
o respecto a x = il>(u). En efecto, en el primer caso
y{n) - <p{x),
X
y - J(x - dt + + (1)
x
0
I* C2X -{-. ». -J" Cfj—l® Cfj,
donde Cj (j = 1 ,n) son constantes arbitrarias.
En el segundo caso, hacemos y = t. Entonces x = ip{t)
y d(y{n~1]) = tdx = tip'{t) dt, de donde
a^1)- J t${i) dt + Cj.
Análogamente hallamos 3/tn / • y — <?(*) + C ^ , C 2,
... C ) donde g y w son funciones conocidas. Consiguiente-
t n f
mente la solución general tiene la forma paramétrica
/
tf = i>{t), ,
(
y = g(t) + w{t, C C ,..., C ). { }
lf 2 n
En algunos casos la ecuación F(x,y^n'^ = 0 tiene so-
luciones en forma paramétrica x ~ a(t), y^ = fi{t), es decir,
F(a(t), ¡3{t)) = 0 para t 6 (¿o, t<). Entonces,, siguiendo el esquema
anterior obtenemos la parametrización de la solución general, la
cual tiene la forma (2).
1.2. Ecuación de la forma 0
F (y{n~x\ yin)) =
Si la ecuación F{u, v) = 0 tiene soluciones en forma paramétrica
n = a(í) v = /?(£), t £ (¿o/^i)/ entonces la ecuación diferencial
7
F(y , y ) — 0 se puede integrar, pues en ese caso
yt»-1> = a(t), y{ n)=m
y = ¡3(t) dx, o bien a'(t) di ~ (3{t) dx, de donde
La función y se obtiene a partir de la ecuación diferencial
yip-1) _ utilizando el método del p. 1.1.
1.3. Ecuación de la forma 0
F (y{n~2), y(n)) =
Supongamos que las funciones u — a(t) v ~ f3(t) satisfa-
cen la ecuación del p. 1.2. Entonces la ecuación diferencial
í1 (y ^ 3/ ) — 0 se puede integrar. En efecto,
/-2) = a(t), y{n) = p(t).
o, introduciendo la notación = z{x),
z(x) = a(t), z"(x) = ¡3{t).
De la primera ecuación, hallamos
'/ ^ a>
Utilizando la segunda ecuación, obtenemos
tt r tt t í3 ^
a x — x a — x p.
(3)
Haciendo x' = r/, la ecuación (3) adopta la forma
ii ii o 3
a 7} r¡ a (3r¡
(4)
- = .
Ésta es una ecuación de Bernoulli. Supongamos que r¡=x'—(p{C t)
f
es su solución general. Entonces
x t) dt + C -
2
Para hallar la función y = y{t) integramos n — 2 veces la ecuación
_ utilizando el método analizado anteriormente. Así
obtenemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación
diferencia] inicial.
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales y hallar las
soluciones particulares en los casos en que se conozcan las
condiciones iniciales:
Solución. Integrando tres veces consecutivas ambos miembros
de la ecuación, obtenemos
x2
y = r (x + eos cc) dx 4- Ci = - + sen x + Cu
x1 \ z3
— + sen x + C\ ) dx + = —— eos x + C\x + C ,
y =
2
2 J 6
X'
eos x + C\X -f C% j ¿2 + C3
y =
é x
- sen x + C\ — + C x + C .
2 3
24
«4 Solución. Hallamos la solución general
Hl X
y =e x + C\,
x1
y" = ex -— + C x + C2,
x
3 2
y = ex - ~ + Cyy + C X + C ,
2 3
A ^ • 1 -»
X X x
24 6 2
donde las constantes C¿ son arbitrarias. Para determinar sus
valores utilizamos las condiciones iniciales. Tenemos:
1 = 1 + 01, 1 = 1 + C , 1 = 1 + C , 2 = 1 +
2 3
de donde hallamos Ci = C C3 = O, C4 = 1. La solución
2
particular es
x
Solución. Gráficamente es muy fácil mostrar que la ecuación
ct + sen a — 1 = O tiene una sola raíz real aj. Por consiguiente,
ym = ai, de donde, integrando sucesivamente, obtenemos
y" = oliX + Ci,
y =a y + Ci£C + C
x 2/
3 2
„
y — «i—X + >,C iX —- + C x + C .
2 3
6 2
Para determinar las constantes de integración utilicemos las
condiciones iniciales:
2 = «i + C\,
«i
2 = y + C} + C ,
2
2 - — + __ + c + C ,
2 3
ÍÜ^NSiíi
15 'iiHf
,
Oít
«i
de donde hallamos Ci = 2 - a j, C2 C3 — 1 —
Por tanto, la solución particular es
X X Qft ai
y = m -r 4- (2 - a i )— + - r® + 1
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y", obtenemos
+ x .
Dado que estas ecuaciones son de la forma y" ~ ip{x), entonces
integrando dos veces podemos obtener sus soluciones generales.
Sin embargo, las ecuaciones obtenidas también pueden integrarse
mediante un cambio de variable, haciendo, por ejemplo, x — t2+t
(en ese caso el radical desaparece). Entonces obtenemos
y" ~ t3 + t2 e y" -¿3 - 212 - t.
De la primera ecuación tenemos
d{y) = (¿3 +12) dx = (;t3 4- t2)(2t +1) dt,
de donde
t
- / (í3 + i2){lt + 1) dt + CÍ = + - í4 + y + Cj,
2 3 í3
dy = 1 -i5 + -í4 + - + Ci I dx =
= ( + ~ + Ci JP + l)dí.
integrando una ves más, hallamos
J
3 ¿3
Q¿5 +
~t4 + - + Ci ) (2í + 1) dt + C =
= 2
4 ' 3
17 i
¿6 +
35 60
La segunda ecuación se integra de forma análoga. •
M Solución. Esta ecuación es de la forma F{x, y{n)) = 0 con n ~ 2,
y puede ser resuelta respecto a x. Tenemos:
x = y -2y .
Haciendo y" ~ t, obtenemos x =
t3 - 2t. De esta manera,
d{y') - tdx = t (3? - 2) dt, de donde
y' = J(3tz - 21) dt = - t2 + Ci.
Por consiguiente,
dy = í-¿4 - £2 + Cj j d® = Q í4 - í2 + Cij (312 ~ 2) dt,
de donde
/ ( + ) ( 3 í2- 2 ) d£ + C
2
Obtuvimos la solución general en forma paramétrica de la ecua-
ción inicial:
x ~ t3 - 2t,
-4 Solución. De un modo análogo al anterior, hacemos y" = t.
Entonces
x = £ + ln£ d(y')~tdx~t fl + jJ dt = (t + l)dt,
/
de donde
y' ^ J(¿ + i)dt=t-+t + C ,
1 ;
luego
+ t + C ) [ 1 -h - } dt 4- C
y
t 2
7 + ; í2 + (Cj +1 )t + Ci ln 11\ + C
2
6 4
Por consiguiente, la solución general es
x — t 4* ln t,
í3 3
y = - + 4- (Ci 4- l)í -f Ci ln t 4- C ,
2
6 4
Es evidente que ccq = 1 para t = 1; por tanto,
í
2 \
= 2,
yo= i j + ¿ +
*=i
yo =s l t 4- gf + (Ci f 1 )t 4- Ci ln t 4- C = L
2
«=i
1 17
De las últimas dos ecuaciones hallamos C\ — - , C =
2
12
La solución particular es
x = t + ln
í3 3 ,3 1 17
y
6 4 2 2 12
Solución. Esta ecuación es de la forma F(y{n'l), y{n)) = 0 con
n = 3 y -y) = d - — 0, Según lo expuesto en el p. 1.2,
n . ttt -t
y ~t y = e ,
r
de donde d(y") = e~l dx, o bien dt — e~l dx. Integrando la
última ecuación1, hallamos x = é 4- C\. Para obtener la función y
utilizamos la ecuación y" —t. Tenemos que = tdx = té dt,
de donde
y' = j té dt + C = e(t - 1) + C .
2 2
Integrando una vez más, obtenemos
dy — j (c*(í - 1) + C ) dx + C =
z 3
= J (c*(í - 1) + C ) c* dí + C ,
2 3
o bien
,2i
e / 3\
2 /= Y V 2/ +c2 «í+ C .
3
Finalmente encontramos
a; = e* + C
1;
,2í
e
2/ = 6 ~ + C e' + C .
2 3
Solución. Esta ecuación es de la forma = 0; sin
embargo, para integrarla recurriremos a un método diferente al
del problema anterior. Haciendo y" = z(x) obtenemos la ecuación
diferencial de primer orden z' — z = 0, cuya solución general es
z = C\ ex. Por tanto, y" = C\ ex, de donde
y = C e + C x + C .
x 2 3
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y" = z(x),
•2 ry
de donde z + ¿ -1 = 0. Separando las variables en la ecuación
obtenida,
dz
. = = dx,
e integrando el resultado, obtenemos
z = ± sen(x + Ci),
o bien
y" = ± sen (a; + Cj).
mimmmmmxmmmm
Integrando la última ecuación dos veces más hallamos
/
(:V - C x - C f = ser\2(x + Ci).
2 3
Además, tenemos la solución evidente
y ~ ±~ + CiX \ C . •
5
Nota. La solución de esta ecuación puede obtenerse en forma paramétrica si se
utiliza la identidad sen2 t + cos2f - 1 =0. En efecto, haciendo en la ecuación dada
y" — sen i, y"' = eos f, podemos escribir d(y") = eos t dx, o bien d(sen i) = eos t dx,
de donde x = t + Ci (cosí ^ 0). Consiguientemente, d(y') — sen tdx — sent dt,
por tanto
y1 = J sen í dt + C ~ - eos t + C .
2 2
De aquí obtenemos que dy = (C2 ~ eos t) dx — {C% — eos t) di, por lo cual
y= (C - eos t) dt + C = C t - sen t + C ,
2 3 2 3
Además, existen soluciones de la ecuación y" = ±1 que no pertenecen a la
solución general.
•4 Solución. Hagamos yt! = tyEntonces de la ecuación dada
obtenemos que
y = r3 - 3r2, ' = o.
y
De esta manera, a la ecuación analizada le corresponde e! sistema
de ecuaciones
y'mr3- 3 f* ( í# 0),
y" = r2- 3 r1 ( ¿ / o ),
y* = o.
Como £%') = 2/" ¿te, a partir de las dos primeras ecuaciones del
sistema hallamos
d(t~3 - 3í"2) = ( r2 - 3C1) dx,
de donde
f (2t - 1 ) j tt f 1 ]t| \