Table Of Content

Вучэбны дапаможнік для 9 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі а з беларускай мовай навучання т е Пад рэдакцыяй прафесара в Л. Б. Шнэпермана с а Дапушчана Міністэрствам а дукацыі я Рэспублікі Беларусь а 4-е выданне, вынпраўленае і дапоўненае д о р а Н Мінск «Народная асвета» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 512(075.3=161.3) ББК 22.14я721 А45 Аўтары: А. П. Кузняцова, Г. Л. Мураўёва, Л. Б. Шнэперман, Б. Ю. Яшчын Пераклад з рускай мовы Н. М. Алганавай а т Рэцэнзент кандыдат фізіка-матэматычных навук, даецэнт, загадчык кафедры вышэйшай матэматыкі ўстановы адукацыі «Беларускі дзяржаўны аграрны тэхнічныв ўніверсітэт» А. А. Тіунчык с а Алгебра : вучэб. дапам. для 9-га кл. устаноў агул. я А45 сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання / А. П. Куз- няцова [і інш.] ; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана ; пер. а з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 4-е выд., выпр. і дап. — Мінск : Ннародная асвета, 2014. — 287 с. : іл. ISBN 978-985-03-2202-9. д Папярэдняе выданне выйшла ў 2008 г. о р а Н УДК 512(075.3=161.3) ББК 22.14я721 ISBN 978-985-03-2202-9 © Алганава Н. М., пераклад на беларускую мову, 2006 © Алганава Н. М., пераклад на беларускую мову, 2014, са змя- неннямі © Афармленне. УП «Народная асве- та», 2014 Правообладатель Народная асвета АД АЎТАРАЎ У 9-м класе мы працягнем вывучэнне алгебры: больш глы- бока вывучым паняцце функ цыі, навучымся рашаць квадратныя а няроўнасці і сістэмы ўраўненняў з дзвюма зменнымі, пазнаёмім- ся з арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі. т Практыкаванні ў гэтым вучэбным дапаможніку нумаруюцца па раздзелах. Лік перад кропкай абазначае нумар ераздзела, лік пасля кропкі — нумар практыкавання ў гэтым раздзеле. Напры- в клад, 3.14 — гэта 14-е практыкаванне з 3-га раздзела. Аналагіч- на нумаруюцца і пункты тэорыі. Пункт 2.4 абазначае 4-ы пункт с з 2-га раздзела. Як і ў вучэбных дапаможніках «Алгаебра, 7» і «Алгебра, 8», практыкаванні падзелены на тры групы. Практыкаванні, абазна- чаныя нумарамі з кружочкамі, напрыклад 1.12°, павінен умець я рашаць кожны навучэнец. Усе астатнія практыкаванні прызна- чаны для тых, хто жадае паглыбіць свае веды. Найбольш цяжкія а заданні адзначаны нумарамі з зорачкамі, напрыклад 1.58*. Тэарэтычны матэрыял, які вылучаны трохвугольнікамі (cid:83), н прызначаны тым, хто цікавіцца матэматыкай і збіраецца выву- чаць яе далей. д Некаторыя важныя моманты ў выкладанні тэорыі адзначаны о на палях клічнікам . Знак вагі р даецца там, дзе ёсць магчымасць параўноўваць розныя варыянты рашэння або доказу. а Гістарычныя звесткі, якія сустракаюцца ў кнізе, абазначаны знакам Н. Квадрат з дыяганалямі (cid:54) абазначае канец доказу cцверджан- ня, тэарэмы. Тлумачэнні да пераўтварэнняў змяшчаюцца паміж дзвюма вертыкальнымі стрэлкамі (cid:91) … (cid:91) або (cid:90) … (cid:90); напрамак стрэлак па- казвае, якое менавіта пераўтварэнне тлумачыцца. Матэрыял на паўтарэнне адзначаны спецыяльным сім- валам . Пасля кожнага пункта тэорыі змешчаны пытанні пад знакам . 3 Правообладатель Народная асвета Раздзел 1 Функ цыі 1.1. Функ цыя Мы працягнем вывучэнне паняцця функ цыі, паачатае ў 7-м і 8-м класах. Разгледзім спачатку два прыклады. т Прыклад 1. Нагадаем вядомую геаметрычную форму- лу. Няхай а — даўжыня канта куба, V — абе’ём гэтага куба. Тады в V = a3. с Тут мноства значэнняў, якія можа прымаць змен- ная а (абазначым яго D), — гэта аўсе дадатныя лікі, г. зн. D = (0; +(cid:88)). Формула V = a3 выражае залежнасць паміж зменнымі а і V. я Яна задае закон, па якім кожнаму значэнню а з прамеж- ку (0; +(cid:88)) ставіцца ў адпаваеднасць адзін пэўны лік V. Прыклад 2. Сума чацвёртай ступені натуральнага лі- н ку х і натуральнага ліку у роўна 1100. Як знайсці лік у, ве- даючы лік х? д Рашэнне. З умовы зразумела, што х4 + у = 1100, г. зн. о у = 1100 − х4. р Абсяг вызначэння выразу, што стаіць у правай част- цы гэтай формулы, — мноства D = {1; 2; 3; 4; 5} (патлумачце а чаму). Формула у = 1100 − х4 задае закон, па якім кожнаму значэНнню х з мноства D ставіцца ў адпаведнасць адзін пэў- ны лік у. У кожным з разгледжаных прыкладаў зададзены закон, па якім кожнаму ліку з некаторага мноства D ставіцца ў ад- паведнасць адзін пэўны лік. У такіх выпадках гавораць, што на мностве D вызначана функ цыя. Азначэнне. Закон (правіла), паводле якога кожнаму значэнню х з некаторага мноства лікаў D ставіцца ў адпа- веднасць адзін пэўны лік у, называецца функ цыяй, вызна- чанай на гэтым мностве D. 4 Правообладатель Народная асвета Пры гэтым х называюць незалежнай зменнай або аргу- ментам, у — залежнай зменнай або функ цыяй ад х, а мно- ства D — абсягам вызначэння функ цыі. Вядома, замест літар х, у, D можна выкарыстоўваць і ін- шыя літары. Лінейная функ цыя у = kx + b і квадратычная функ цыя у = ах2 + bх + с задавальняюць дадзенае азначэнне. Слова «функ цыя» паходзіць ад лацінскага functiаo, што азначае «здзяйсненне», «выкананне». т У матэматыцы тэрмін «функ цыя ад х» першымі ста- лі выкарыстоўваць вучоныя Готфрыд Лейебніц (1646— 1716) і Іаган Бернулі (1667—1748). в 3−x Прыклад 3. Дадзена функц ыя y = з абсягам вызна- xс чэння D = (−(cid:88); 0) (cid:21) (0; +(cid:88)). Знайсці значэнні гэтай функ цыі а пры х, роўным −5; −4; −3; −2; −1. Рашэнне. Няхай х = −5; х = −4; х = −3; х = −2; х = −1. 1 2 3 4 5 Адпаведныя значэнні функ цыі у яабазначым y , y , y , y , y . 1 2 3 4 5 Тады а y = 3−(−5) = 8 = −13; y = 3+4 = 7 = −13; 1 −5 −5 5 2 −4 −4 4 н 3+3 3+2 3+1 y = = −2; y = = −2,5; y = = −4. 3 −3 4 −2 5 −1 д Адказ: −13; −13; −2; −2,5; −4. 5 о4 Заўважым, што адпаведныя значэнні аргумента х і р функ цыі у звычайна абазначаюць х і у (х і у , х і у 1 1 2 2 3 3 і г. д.а). Аналагічныя запісы выкарыстоўваюцца і тады, калі аргумент і функ цыя выражаны іншымі літарамі. Н Азначэнне. Мноства ўсіх значэнняў, якія можа пры- маць функц ыя, называецца мноствам (абсягам) значэнняў функц ыі. Азначэнне. Найменшы лік з мноства значэнняў функ- цыі называецца найменшым значэннем функ цыі, а най- большы лік з гэтага мноства — найбольшым значэннем функ цыі. Вернемся да прыкладу 1. Ці можа значэнне функ цыі V = a3 быць роўным 8? Зразумела, што можа, паколькі пры 5 Правообладатель Народная асвета а = 2 значэнне V = 23, г. зн. V = 8. А ці можа значэнне функ- цыі V быць роўным 9? Адказаць на гэта пытанне можна, ра- шыўшы ўраўненне a3 = 9. Пры a = 39 атрымаем a3=(39)3=9. Значыць, V можа прымаць значэнне 9. Пакажам цяпер, што для любога c (cid:42) 0 ёсць такое значэнне а, што c = a3. Сапраўды, калі a = 3 c, то a3 = (3 c)3 = c. а Такім чынам, мноства значэнняў функ цыі V =т a3 з абсягам вызначэння (0; +(cid:88)) — гэта прамежак (0; +(cid:88)). Най большага і е найменшага значэнняў гэта функ цыя не мае. Абсяг вызначэння функ цыі у = 1100 в− х4 з прыкладу 2 складаецца з лікаў х = 1; х = 2; х = 3; х = 4; х = 5. Знойдзем 1 2 3 4 5 адпаведныя значэнні функ цыі у, якія сі будуць складаць мно- ства яе значэнняў: у = 1100 − 14 = 1099, у = 1100 − 24 = 1084, 1 а 2 аналагічна атрымаем у = 1019, у = 844, у = 475. 3 4 5 Значыць, мноства значэнняў функ цыі у — гэта мноства я {1099; 1084; 1019; 844; 475}. Відавочна, што 1099 — най- большае, а 475 — найменшае значэнні функ цыі. а (cid:83) Пакажам цяпер, як знайсці мноства значэнняў функ- цыі з прыкладу 3. н 3−x Няхай с — значэнне функ цыі y = . Гэта значыць, x д што пры пэўным значэнні х мае месца роўнасць о 3−x c = . (*) x р 3−x Мноства значэнняў функ цыі y = складаецца з тых x а значэнняў с, пры якіх ураўненне (*) мае рашэнне. Рэшым яго: Н cx = 3 − x; (c + 1)x = 3. Калі c = −1, ураўненне рашэнняў не мае; калі c ≠ −1, то x = 3 . c+1 Такім чынам, ураўненне (*) мае рашэнне пры любым 3−x c ≠ −1, г. зн. мноства значэнняў функ цыі y = — гэта x мноства (−(cid:88); −1) (cid:21) (−1; +(cid:88)). Для гэтай функ цыі немагчыма назваць ні найбольшага, ні найменшага значэння. (cid:83) 6 Правообладатель Народная асвета Мноства значэнняў функц ыі часта абазначаюць літарай Е. Так, у прыкладзе 3 можна запісаць: Е = (−(cid:88); −1) (cid:21) (−1; +(cid:88)). 1. Сфармулюйце азначэнне функ цыі. 2. Назавіце незалежную і залежную зменныя для кожнай з функ цый у прыкладах 1—3. 3. Назавіце абсяг вызначэння і мноства значэнняў для кож- най з функ цый у прыкладах 1, 2. 4. Назавіце якія-небудзь пары адпаведных значэнняў аргу- а мента і функ цыі ў кожным з прыкладаў 1—3. 5. Што называецца мноствам значэнняў функ цыі?т 6. Што называецца найменшым значэннем функ цыі? 7. Што называецца найбольшым значэннем фуенк цыі? в Практыкаванні 1.1°. Ці можа значэннем функ цыі у = х3 − с7 быць лік: 1) −27; 2) 34; 3) 132; 4) −64? а x+4 1.2°. Дадзена функ цыя y = з абсягам вызначэння D = x−4 = (−(cid:88); 4). Знайдзіце (калі маягчыма) значэнні функ цыі у пры х, роўным: а 1) −3; −2; 0; 2; 1; 3; 4; 5 5 2) −4; −1; −1; 3; 2; 3н,9; 4. 2 4 1.3°. Знайдзіце значэндне функ цыі у = (х − 2)х з абсягам вы- значэння D = N пры: о 1) х = 4; 2) х = 3. 1.4°. Знайдзіце рзначэнне функ цыі у = х(5 − х) з абсягам вы- значэння D = Z пры: а 1) х = −5; 2) х = −1. 1.5°. ДадНзена функ цыя у = −2х + 3 з абсягам вызначэння D = R. Знайдзіце мноства значэнняў функ цыі і параў- найце значэнні гэтай функ цыі пры: 1) х = 5 і х = 4; 2) х = −3 і х = 1; 3) x = −1 і x = 1; 4) x = −3 і x = 3. 2 2 4 4 1.6. Дадзена функ цыя у = 4х − 1 з абсягам вызначэння D = = [−10; 10]. Знайдзіце мноства значэнняў функ цыі і па- раўнайце значэнні гэтай функ цыі пры: 1) х = −4 і х = −7; 2) х = 5 і х = 6; 3) х = −6 і х = 9; 4) х = −6 і х = −5. 7 Правообладатель Народная асвета 1.7. Дадзена функ цыя у = х2 з абсягам вызначэння D = = [−5; 5]. Знайдзіце (калі магчыма) значэнні функ цыі пры х, роўным: 1) −3; 2) 4; 3) 2; 4) −6; 5) 7; 6) −5. 1.8. Дадзена функ цыя y = 1 з абсягам вызначэння D = x+1 = (−1; +(cid:88)). Параўнайце значэнні функ цыі пры х, роў- а ным: 1) −1 і 1; 2) −1 і 1; 3) 1 і 3; т4) 1 і 4. 4 4 3 3 3 4 е 1.9°. Пры якім значэнні х роўныя значэнні функ цый, зада- дзеных формуламі: в 1) у = 0,7х + 14 і у = 0,2х − 1; с 2) у = −0,5x + 2,5 і у = −4,2x − 0,7; 3) у = 1,6 − 0,8х і у = 2,4х + 1,2а; 4) у = 5,5 + 1,3х і у = 3,6 − 1,7х? 1.10°. Пры якіх значэннях аргяумента (калі яны ёсць) значэн- ні функ цыі у = 2х2 супадаюць са значэннямі функ цыі: а 1) у = 25; 2) у = 1020; 3) у = −16; 4) у = −2870; н5) у = 0; 6) у = 2460? 1.11. Для функ цыі у = х2 вызначыце, пры якіх значэннях х д значэнні функ цыі: 1) меншыоя за 9; 2) большыя за 4; 3) большыя за 0; 4) меншыя за 16. р 1.12°. Ці можа функ цыя у = х2 мець значэнне: а 1) у = 63,7; 2) у = 29,1; 3) у = −5,2; 4) у = −8; 5) у = 0; 6) у = −0,0001? Н 1.13. Пры якіх значэннях а квадратычная функ цыя у = (а + 3)х2 мае: 1) найбольшае значэнне; 2) найменшае значэнне? 1.14°. Знайдзіце значэнне х, пры якім роўныя значэнні функ- цый: 1) у = −3х + 4 і у = 5х − 12; 2) у = 4х − 7 і у = −2х + 5; 3) у = 3x2 − 5х + 6 і у = −4х + 5 + 3x2; 4) у = 2 − 4х − 3x2 і у = 2х − 3x2 − 5. 8 Правообладатель Народная асвета 1.15. Дадзена функ цыя y = 6+ 1x з абсягам вызначэння 3 D = R. Вядома, што у прымае значэнні: 0; 3; −6; −9. Знайдзіце адпаведныя значэнні аргумента х. Запішы- це мноства значэнняў функ цыі. 1.16. Дадзена функ цыя у з абсягам вызначэння D = R. Пры якім значэнні х значэнне функ цыі у роўна р, калі: 1) у = 2х − 4, р = 6; 2) у = −3х + 4, р = 4; а 3) y = (2x −5)1, р = 12; 4) у = 1(7 − 6x), р = −4? 3 4 т Знайдзіце мноства значэнняў функ цыі. е 1.17°. Сума двух лікаў роўна 82. Адзін з іх роўны х. Як зале- жыць значэнне другога ліку у ад першавга? Ці з’яўляец- ца гэта залежнасць функц ыяй? Калі з’яўляецца, то запі- шыце абсяг вызначэння функц ыі і мнсоства яе значэнняў. 1.18°. Рознасць двух лікаў роўна 20.а Аднімаемае роўна х. Як залежыць памяншаемае у ад аднімаемага? Ці з’яў- ляецца гэта залежнасць фун к цыяй? Калі з’яўляецца, то запішыце абсяг вызначэяння функ цыі і мноства яе значэнняў. а 1.19°. Плотам даўжынёй 80 м агароджана прамавугольная пляцоўка. Шырынян пляцоўкі роўна х. Як залежыць даўжыня пляцоўкі у ад шырыні? Ці з’яўляецца гэта залежнасць функд цыяй? Калі з’яўляецца, то запішыце абсяг вызначэння гэтай функ цыі і мноства яе значэн- няў, ведаючыо, што х — натуральны лік. 1.20. Адна старана прамавугольніка роўна х см, а другая — р на 2 см меншая. 1) Знаайдзіце перыметр у прамавугольніка. 2) Дакажыце, што у з’яўляецца функ цыяй ад х. Н 3) Запішыце абсяг вызначэння D функ цыі у. 4) Знайдзіце значэнні у, якія адпавядаюць значэнню х, роўнаму 5 см; 10 см; 14 см; 16 см. 5) Знайдзіце мноства значэнняў функ цыі у. 1.21. Старана квадрата роўна х см. 1) Знайдзіце плошчу у гэтага квадрата. 2) Дакажыце, што у з’яўляецца функ цыяй ад х. 3) Запішыце абсяг вызначэння D функ цыі у. 4) Знайдзіце значэнні у, якія адпавядаюць значэнню х, роўнаму 11 см; 15 см; 17 см; 21 см. 5) Знайдзіце мноства значэнняў функ цыі у. 9 Правообладатель Народная асвета Запішыце ўсе тыя значэнні зменнай х, пры якіх выраз мае сэнс (г. зн. натуральны абсяг вызначэння выразу) (1.22—1.23). 4x−7 1.22. 1) 2х + 1; 2) 3х − 2; 3) ; 3x−6 5x−1 4 −6 4) ; 5) ; 6) ; 4x+16 x(x+2) (x−3)x 9x−4 2x+7 7) ; 8) . (2x−1)(x−8) (5x−6)(2x−10) а 1.23. 1) 3x−4; 2) 2x+5; 3) т4−0,5x; 4) 0,1−8x; 5) (x−6)2; 6) (9+x)2; е 7) x2+7; 8) (x−1)2+12; 9) x −4. в 1.24. Пры якім значэнні аргумента значэнне функ цыі 3−x с y= роўна: x+5 а2 1) 2; 2) 0; 3) 0,5; 4) ? 3 1.25°. Пры якіх значэннях х з начэнні дадзенай функ цыі: я 1) дадатныя; 2) адмоўныя? а) у = −1,5х + 3; б) у = 3,5х − 7; а 1 в) y = −6+ x; г) у = −2х + 9,6; 3 н 1 1 д) y = − x−4; е) y = x+2. 2 4 1.26°. Запішыце тадкія значэнні k, пры якіх функ цыя у = (k − 4)х2: о 1) з’яўляецца квадратычнай і мае найбольшае значэнне; 2) з’яўляецца квадратычнай і не мае найбольшага зна- р чэння; 3) ане з’яўляецца квадратычнай. 1.27. Функц ыя y = 1x2 вызначана на мностве: Н 3 1) [0; +(cid:88)); 2) (−(cid:88); 0]; 3) N; 4) Z; 5) [−4; 3]; 6) [−2; 4]. Запішыце для яе мноства значэнняў, а таксама най- меншае і найбольшае значэнні. 1.28*. Пры якіх значэннях р не з’яўляецца квадратычнай функ цыя: 1) у = (3р2 − 5р + 8)х2 + 4х − 1; 2) у = (−2р2 + 3р − 1)х2 − 6х + 5; 3) у = (−5р2 − 4р − 1)х2 + 7х + 3; 4) у = (4р2 − 7р + 3)х2 − 5х − 2? 10 Правообладатель Народная асвета