Table Of Content

Л. А. Латоцін, Б. Д. Чабатарэўскі а т е в Вучэбны дапаможнік для 9 класа ўстаноў агульнай сярэдняй асдукацыі з беларускай мовай навучання а я Дапушчана Міністэрстваам адукацыі Рэспублікі Беларусь н д 4-е выданне, выпраўленае і дапоўненае о р а Н Мінск «Народная асвета» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.3) ББК 22.1я721 Л27 Рэцэнзент доктар педагагічных навук, прафесар кафедры матэматычнай кібернетыкі Беларускага дзяржаўнага ўніверсітэта А. І. Мельнікаў а т е в с а я а н д о р а Н ISBN 978-985-03-2196-1 © Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д., 2005 © Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д., 2014, са змяненнямі © Афармленне. УП «Народная асве- та», 2014 Правообладатель Народная асвета Дарагія сябры! а Дзявяты клас з’яўляецца ў пэўным сэнсе этапнтым у вашым навучанні. Вас чакаюць экзамены, пасля якіх е вы бу дзеце выбіраць свой далейшы шлях. Гэты вучэбны дапаможнік забяспечваев вывучэнне матэматыкі ў адпаведнасці з праграмай навучання. Падвядзенню вынікаў таго, што вывсучалася раней, дапаўненню і абагульненню вашых ведаў прысвечаны а апошні раздзел вучэбнага дапаможніка, а таксам а да- ведачны матэ рыял. Матэрыял апошняга раздзела дае ўяўленне пра тое, як уладкавана школьная матэма- я тыка. Значная ўвага пры гэтым надаецца выніковаму паўтарэнню. а Гэты вучэбны дапаможнік арганізаваны гэтаксама, як і ў папярэдніх класанх. Кожны параграф пачынаец- ца з абмеркавання таго пытання, што абазначана ў на- зве параграфа. Сэнсдавыя блокі ў кожным параграфе абазначаны літарамі А, Б, В, Г, Д. Найбольш важнае о вылучана спецыяльнымі шрыфтамі. Новыя паняцці вылучаны паўтлустым шрыфтам. Правілы і сцвер- р джанні вылучаны паўтлустым курсівам, а паняцці і факты, на якія варта звярнуць увагу, але неабавязко- а ва запамінаць, — курсівам. МаНтэрыял, не прызначаны для абавязковага кант- ролю, вылучаны з двух бакоў (cid:83). Пасля тлумачальнага тэксту ідуць кантрольныя пы- танні, пазначаныя знакам ?. Яны прызначаны для пра- веркі таго, як вы засвоілі змест тлумачальнага тэксту. Калі на тое ці іншае пытанне вы не змаглі адказаць, трэ- ба вярнуцца да тлумачальнага тэксту і з яго дапамогай паспрабаваць адказаць на гэтае пытанне зноў. Практыкаванні, што ідуць пасля кантрольных пы- танняў, раздзелены на тры групы. Практыкаванні першай групы прысвечаны тым пы- танням, якія абмяркоўваліся ў тлумачальным тэксце. 3 Правообладатель Народная асвета Яны маюць у асноўным трэніровачны характар, хаця сярод іх могуць сустрэцца і больш складаныя. Другую групу пасля раздзяляльнай гарызанталь- най рысы складаюць разнастайныя практыкаванні на паў та рэнне. Пры іх выкананні вам трэба будзе прымя- няць веды, набытыя раней, у тым ліку і ў папярэдніх класах. Задачы трэцяй групы, якія ідуць пасля трох раз- а дзяляльных зорачак, з’яўляюцца ў чымсьці нестан- дартнымі. Яны патрабуюць творчых падыходаў, сама- т стойнасці ў разважаннях. Разам з тым для іх рашэння ў вас дастаткова ведаў. е Тыя практыкаванні, нумары якіх набраны паўтлу- в стым курсівам, прызначаны для паглыблення набы- тых вамі ведаў. с Жадаем вам поспехаў! а Аўтары я а н д о р а Н Правообладатель Народная асвета 1. Функцыя а А) Вы ўжо неаднаразова сустракаліся з залежнасцямі па- т між велічынямі. Прыклад 1. Плошча квадрата залежыць ад деаўжыні яго стараны. Кожнаму значэнню a даўжыні стараны квадрата ад- в павядае адзінае значэнне S яго плошчы (рыс. 1), што коратка выражаецца формулай с S = a2. а я а н д о Рыс. 1 р Прыклад 2. Маса меднага прутка залежыць ад яго аб’ ёму. Кожнаму значэнню аб’ёму V прутка адпавядае адзінае зна- а чэнне яго масы m (рыс. 2), што выражаецца формулай Н m = 8,96V. Рыс. 2 5 Правообладатель Народная асвета Прыклад 3. Кожнаму значэнню зменнай c адпавядае адзінае значэнне u выразу 2c – 3. Напрыклад, калі c = 4, то u = 2 (cid:10) 4 – 3 = 5; калі c = –5, то u = 2 (cid:10) (–5) – 3 = –13; калі c = –4,7, то u = 2 (cid:10) (–4,7) – 3 = –12,4. Залежнасць зменнай u ад зменнай c запісваецца формулай u = 2c – 3. а Залежнасць адной зменнай y ад другой x, прты якой кож- наму значэнню зменнай x з пэўнага мноства D адпавядае адзі- е нае значэнне зменнай y, называецца функцыянальнай залеж- насцю або функцыяй зменнай x. в Калі зменная y з’яўляецца функцыяй зменнай x, то змен- ную x называюць незалежнай зменснай або аргументам, а зменную y — залежнай зменнай. а Мноства тых значэнняў, якія можа прымаць аргумент функцыі, называецца абсягам вызначэння функцыі, а мно- я ства тых значэнняў, якія можа набываць залежная змен- ная, — абсягам значэнняў функцыі. а Напрыклад, плошча S квадрата з’яўляецца функцыяй даўжыні a яго старанын. Абсягам вызначэння гэтай функцыі з’яў ляецца мноства дадатных рэчаісных лікаў. Маса m меднагда прутка з’яўляецца функцыяй яго аб’- ё му V. Абсяг вызначэння гэтай функцыі — таксама мноства о дадатных рэчаісных лікаў. Зменнаяр u з прыкладу 3 з’яўляецца функцыяй зменнай c. Яе абсяг вызначэння — мноства ўсіх рэчаісных лікаў. Б) Фаункцыі могуць задавацца рознымі спосабамі. Часта гэта робяць з дапамогай формулы. Мы ўжо ўказвалі на функ- Н цыянальныя залежнасці, зададзеныя формуламі: S = a2, m = 8,96V, u = 2c – 3. Формула дае магчымасць для любога значэння аргумен- та з абсягу вызначэння знайсці адпаведнае значэнне фун к- цыі. Прыклад 4. Знойдзем значэнні функцыі S = a2 для значэнняў аргумента a, роўных 7 і 32: калі a = 7, то S = 72 = 49; калі a = 32, то S = 322 = 1024. 6 Правообладатель Народная асвета Вынікі падобных вылічэнняў зручна афармляць табліцай. Складзём табліцу значэнняў функцыі S = a2 для значэнняў аргумента a з прамежку [0; 2] з крокам 0,2. a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 S 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 а Формульнае заданне функцыі дазваляе знаходзіць значэн- ні аргумента, якім адпавядае дадзенае значэнне фунткцыі. Прыклад 5. Функцыя зададзена формулай r = 2b2 – b – 10. е Знойдзем, пры якім значэнні аргумента b функцыя r прымае значэнне, роўнае 5. Для гэтага ў формулу r =в 2b2 – b – 10 за- мест r падставім лік 5. Атрымаем ураўненне са зменнай b: с 5 = 2b2 – b – 10. а Рэшым яго: 1± 1+120 b = ; 4 я b = −21 аабо b = 3. 2 Значыць, r = 5 пры b = −н21 і пры b = 3. 2 Калі функцыя зададдзена формулай і пры гэтым не ўка- заны абсяг яе вызначэння, то лічаць, што гэты абсяг ёсць о мноства ўсіх значэнняў аргумента, пры якіх выраз з правай часткі формулы рмае значэнне. Напрыклад, абсяг вызначэння функцыі y = 7 — гэта мноства ўсіх рэчаісных лікаў, акра- аt−4 мя ліку 4. Н Прыклад 6. Знойдзем абсяг вызначэння функцыі: а) y = t+3; б) z = 3x+12 − x . 1−x а) Паколькі выраз A мае значэнні пры неадмоўных зна- чэннях A, то для знаходжання абсягу вызначэння трэба ра- шыць няроўнасць t + 3 (cid:44) 0. Яе рашэнні можна запісаць ня- роўнасцю −3 (cid:45) t. Значыць, абсягам вызначэння функцыі y = t+3 з’яўляецца прамежак [−3; +(cid:88)). 7 Правообладатель Народная асвета б) Улічым, што падкарэнны выраз 3x + 12 павінен быць не- Рыс. 3 адмоўным, а падкарэнны выраз 1 − x — дадатным, бо ён стаіць не толькі пад коранем, але і ў назоўніку дробу. Гэта азначае, што для знаходжання абсягу вызначэння трэба рашыць сі- ⎧3x+12(cid:44)0, стэму няроўнасцей ⎨ Паколькі x (cid:44) –4 і x (cid:43) 1, то ⎩1−x(cid:42)0. а абсягам вызначэння з’яўляецца прамежак [–4; 1) (рыс. 3). т В) Функцыя можа задавацца табліцай. е Прыклад 7. У наступнай табліцы ўказаны сярэднямесяч- ныя тэмпературы паветра ў сталіцы нашвай краіны горадзе Мінску. с n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII а t, −6,9 −6,4 −2,2 5,3 12,6 16,0 17,8 16,2 11,6 5,6 0,0 −4,5 °C я Тут аргументам з’яўляецца парадкавы нумар месяца, а значэннем функцыі —а тэмпература паветра ў градусах Цэльсія. Напрыклад, з гэтай табліцы мы даведваемся, што н ў красавіку сярэднямесячная тэмпература паветра складае 5,3 °C. д Функцыянальная залежнасць можа выяўляцца графікам. На рысункуо 4 паказаны графік руху цела, кінутага пад вуг- лом у 60° да гарызонту з пачатковай скорасцю 20 м/с. р З дапамогай графіка функцыі можна па значэнні аргумен- та знайсці адпаведнае значэнне функцыі. Па графіку, што на а рысунку 5, вызначаем, што, напрыклад, праз 2 с ад пачатку рухуН цела знаходзілася на вышыні 15 м, а праз 3 с — на вы- шыні 7,8 м. Можна таксама рашыць і адваротную задачу, а менавіта: па дадзеным значэнні a функцыі знайсці тыя значэнні ар- гумента, пры якіх функцыя прымае гэтае значэнне a. На- прыклад, па графіку, што на рысунку 6, знаходзім, што на вышыні 10 м цела знаходзілася праз 0,7 с і праз 2,8 с ад па- чатку руху. Ёсць прылады, што вырысоўваюць графікі залежнасцей паміж велічынямі. Гэта барографы — прылады для фік- савання залежнасці атмасфернага ціску ад часу, тэрмогра- 8 Правообладатель Народная асвета а т е в с а я а н д Рыс. 4 о Рыс. 5 Рыс. 6 р фы — прылады для фіксавання залежнасці тэмпературы ад часу, кардыаёграфы — прылады для графічнай рэгістрацыі дзейнасці сэрца і інш. На рысунку 7 схематычна паказаны тэрмографН. Яго барабан раўнамерна верціцца. Да паперы, што наматана на барабан, датыкаецца самапісец, які ў залежнасці ад тэмпературы паднімаецца і апускаецца і вырысоўвае на па- перы пэўную лінію. Г) Па формульным выяў- ленні функцыі можна скласці табліцу яе значэнняў для адпа- ведных значэнняў аргумента. Складзеная табліца дапаможа атрымаць графічнае выяўленне функцыі. Рыс. 7 9 Правообладатель Народная асвета Прыклад 8. Функцыя зададзена формулай p = 10 . Скла- t2+1 дзём табліцу значэнняў гэтай функцыі. t −5 −4 −3 −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3 4 5 p 0,38 0,59 1 2 5 8 10 8 5 2 1 0,59 0,38 Напрыклад, калі t = –5, то p = 10 = 10 = 10 ≈ 0,38. (−5)2+1 25+1 а26 Знойдзеныя пары значэнняў зменных t і p выявім на каар- т дынатнай плоскасці (рыс. 8). Калі аргументу t даваць іншыя значэнні і адзначаць на каардынатнай плоскасці адпаведныя е пункты, то ўсе гэтыя пункты дадуць уяўленне пра пэўную в лінію. Гэтая лінія з’яўляецца графікам функцыі p = 10 t2+1 (рыс. 9). с Графікам функцыі называецца мноства ўсіх пунктаў ка- а ардынатнай плоскасці, абсцысы якіх роўныя значэнням ар- гумента, а ардынаты — адпаве дным значэнням функцыі. я а н д о р а Н Рыс. 8 10 Правообладатель Народная асвета