Table Of Content

Ш. А. АЛИМОВ, А. Р. ХАЛМУХАМЕДОВ, М. А. МИРЗАХМЕДОВ А Л Г Е Б Р А УЧЕБНИК ДЛЯ 9 КЛАССОВ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛ Утвержден Министерством народного образования Республики Узбекистан ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ ТВОРЧЕСКИЙ ДОМ "О'ОГШУСШ" ТАШКЕНТ — 2006 Условны е обозначения А] — начало и окончание решения задачи О | — начало и окончание обоснования математического утверждения — знак, отделяющий обязательные задачи от дополнительных — более сложные задачи — текст, который важно знать и полезно запомнить — выделение основного материала Проверьте — самостоятельная работа для проверки знаний по основному себя! материалу — тестовые задания Учебник издан за счет бюджетных средств для ОБОРОТНОГО ФОНДА УЧЕБНИКОВ (ОФУ). 4306020502 - 57 V----------------- бл. - заказ — 2006 353(04) - 2006 ИПТД ,,0‘чИиусЫ“, перевод 18ВИ 5НЙН5-04565-3 с узбекского, 2006 ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ 7-8 КЛАССОВ В курсе алгебры 7-8-х классов вы познакомились с алгебраичес кими выражениями, одночленами и многочленами, разложением многочленов на множители, алгебраическими дробями, неравенства ми, линейной функцией и ее графиком, системами двух линейных уравнений с двумя неизвестными, приближенными вычислениями, квадратными корнями. Для закрепления пройденного материала вам предлагается ре шить следующие примеры и задачи. 1. Упростить: 1) (5а - 2Ь) - (ЗЬ - 5а); 3) 9а - (За + 5Ь) - 4Ь; 2) 8а - (За - 2Ь) - 5Ь; 4) (7а - 2Ь) - (За -I- 4Ь). 2. Решить уравнение: 1) 4х - 6 = 12 - х; 3) 2 (з - -|) = 5 + х ; 5х-3 3-4х _ 2х + 1 2 3 Т~" 3. Разложить на множители: 1) 4а(х + у)~ 5Ъ(х + у); 3) х(а - 2) + у(2 - а) + 5(2 - а); 2) За(х - у) - 4(у - х); 4) с(р - д) + а(р - д) + с1(д - р). 4. Упростить выражение: 1) (2а -I- Ь)2 - (За - Ь)2; 3) 5(2 - а)2 + 4(а - 5)2; 2) (а + Ь)2 - (а - Ь)2; 4) (За - у)2 + (а- 3 у)2. &У~Х _ о 4 5. Решить систему уравнений х+13у _ ^ . 2 6. Решить неравенство: 1) ^ Г - х - 2-% ’> 2) 3(2х - 1) + 3(х - 1) > 5(х + 2) + 2(2х - 3). /С л з 7. Решить систему неравенств: - 1,5л: > 0,2л: -1,5, Г2х + 5 < О, 1) 3) [Эх -18 > О; аг+3 _ х+& ~Г х-5 ^ Зх+1 2х -1 < 7х + 6, 2) ~ ~ 2 1 4) Зх +1 > 4х - 3, х+2 . х+3 11л; - 9 < 14л; + 2. ~ 3 ~ ~ ~ ’ 8. Решить неравенство: 1) |3 — л;| < —; 2)|1-х|>1; 3)|Зх + 4|>1; 4)|5-4х|<3. 9. Решить уравнение: 1) |х + 3| = |х - 3|; 3) |х + 6| = |х +10]; 2) |1 - х| = |х + 2|; 4) |х + 5| = |х - 7|. 10. Вычислить: + 1) 3) л/ГГ+З л/ГГ-2 ’ З+л/13 2-л/13 ’ 1 1 Зл/5 2) -Зл/7- 4) + = + л/7-1 л/7 +3 З-л/5 2—л/б 4 11. Решить уравнение: 1) Зх2 - Ъх + 4 = 0; 2) х2 - Зх - 4 = 0; 4) Зх(х - 2) -1 = л; — ^(х + 8) . & 12. Решить систему уравнений: 2х2-у2 =46, 1л;2 - у + 2 = О, 1) 3) |ху = 10; |х2 + у2 - 4 = 0; \ху = 5, [л/х-Ту =1» 2) 4) [л;2 + у2 = 26; [х - у = 5. 13. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. Найти эти числа. Глава I КВАДРАТИЧНАЯ ф у н к ц и я ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ В 8-м классе вы познакомились с линейной функцией у = кх + Ъ и ее графиком. В различных областях науки и техники часто встречаются функ ции, которые называют квадратичными. Приведем примеры. 1) Площадь квадрата у со стороной х вычисляется по формуле У = х2. 2) Если тело брошено вверх со скоростью V, то расстояние 8 от него до поверхности земли в момент времени I определяется форму ем2 * лои 8 = -=-^~ + VI+ 80, где 8о — расстояние от тела до поверхности зем ли в момент времени 1 = 0. В этих примерах рассмотрены функции вида у = ах2 + Ъх + с. В первом примере а = 1, Ь = с = 0, а переменными являются х и у. Во втором примере а = Ь = V, с = 80, а переменные обозначены 2 буквами * и 8. О Определение. Функция у = ах2 + Ъх + с, где а, Ъ и с за данные действительные числа, а * О, х — действительная пе ременная, называется квадратичной функцией. Например, квадратичными являются функции: у = х2, у = -2х2> у = х2 - х, у = х2 — 5х + 6, у - -Зд:2 + * . 5 Задача 1. Найти значение функции у (л;) = х2 - 5х + 6 при х = -2, х — О, х = 3. А у (-2) = (-2)2 - 5 • (-2) + 6 = 20; у (0) = О2 - 5 • 0 + 6 = 6; у (3) = З2 - 5 • 3 + 6 = 0. А Задача 2. При каких значениях х квадратичная функция у = х2 + 4х - 5 принимает значение, равное: 1) 7; 2) -9; 3) -8; 4) О? Д 1) По условию х2 + 4х - 5 = 7. Решая это уравнение, получаем: х2 + 4х -12 = О, х12 = -2 ± л/4 + 12 = -2 ± 4, хг = 2, х2 = -6. Итак, у (2) = 7 и у (-6) = 7. 2) По условию х2 + 4х — 5 = -9, откуда хг + 4х + 4 = 0, (х + 2)2 = 0, х = -2. 3) По условию х2 + 4х - 5 = -8, откуда х2 + 4х + 3 = 0. Решая это уравнение, находим хг = -3, х2 = —1. 4) По условию х2 + 4х - 5 = 0, откуда хг = 1, х2 = -5. А В последнем случае были найдены значения х, при которых функ ция у = х2 + 4х - 5 принимает значение, равное 0, т. е. у (1) = 0 и у (-5) = 0. Такие значения х называют нулями квадратичной функ ции. Задача 3. Найти нули функции у = х2 - Зх. А Решая уравнение х2 — Зх = 0, находим хх = 0, х2 = 3. А У п р а ж н е н и я 1. (Устно.) Является ли квадратичной функция: 1) у = 2х2 + х + 3; 3) у = 5х + 1; 5) у = 4х2; 2) у = Зх2 - 1; 4) у = х3 + 7х - 1; 6) у = -Зх2 + 2х? 2. Найти действительные значения х, при которых квадратич ная функция у = х2- х - 3 принимает значение, равное: 1 Ч 1) -1; 2) -3; 3 ) ~ ; 4)-5. 6 3. При каких действительных значениях х квадратичная функ ция у = -4х2 + Зх - 1 принимает значение, равное: 1) -2; 2) -8; 3) -0,5; 4) -1? 4. Определить, какие из чисел —2; 0; 1; л/3 являются нулями квадратичной функции: 1) у = х2 + 2х; 3) у = х2 - 3; 2) у = х2 + х; 4) у = 5х2 4 x 1 . 5. Найти нули квадратичной функции: 1) у = х2 - х; 6) у = 2х2 - 7х + 9; 2) I/ = х2 + 3; 7) у = 8х2 + 8х + 2; 3) у = 12х2 - 17х +6; 8 ) у = \х 2 1 4) г/ = -6х2 + 7х - 2; 9) у = 2х2 + х - 1; 5) у = Зх2 — 5х + 8; 10) у - Зх2 + 5х - 2. 6. Найти коэффициенты р и у квадратичной функции у = х2 + + рх + у, если известны нули хг и х2 этой функции: 1) хг = 2, х2 = 3; 3) хх = -1, х2 = -2; 2) х1 = -4, х2 = 1; 4) хх = 5, х2 = -3. 7. Найти значения х, при которых функции у = х2 + 2х — 3 и у = 2х + 1 принимают равные значения. I ФУНКЦИЯ у = X2 Рассмотрим функцию у = х2, т. е. квадратичную функцию у = = ах2 + Ъх + с при а = 1,Ь = с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений: X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у = х2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кри вой, получим график функции у = х2 (рис.1). О! Кривая, являющаяся графиком функции у = х2, называется I параболой. Рассмотрим свойства функции у — х2. 1) Значение функции у = х2 поло жительно при х * О и равно нулю при х = 0. Следовательно, парабола у = х2 про ходит через начало координат, а осталь ные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у = х2 касается оси абсцисс в точке (0; 0). 2) График функции у = х2 симмет ричен относительно оси ординат, так как (-х)2 = х2. Например, у (-3) = = у (3) = 9 (рис. 1). Таким образом, ось ординат является осью симмет рии параболы. Точку пересечения па раболы с ее осью симметрии называ ют вершиной параболы. Для парабо Рис. 1 лы у = х2 вершиной является начало координат. 3) При х2>0 большему значению х соответствует большее зна чение у. Например, у (3) > у (2). Говорят, что функция у = х2 являет ся возрастающей на промежутке х ^ 0 (рис. 1). При х < 0 большему значению х соответствует меньшее значение у. Например, у (-2) < у (-4). Говорят, что функция у — х2 является убывающей на промежутке х < 0 (рис. 1). Задача. Найти координаты точек пересечения параболы у = х2 и прямой у = х + 6. А Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений \У = х\ [у = х+ 6. Решая эту систему, получаем х2 = х + 6, т. е. х2 - х - 6 = 0, откуда х% = 3, х2 = -2. Подставляя значения х]их2в одно из уравне ний системы, находим у1 = 9,у2 = 4. Ответ: (3; 9), (-2; 4).^ 8 Парабола обладает многими интересны ми свойствами, которые широко используют ся в технике. Например, на оси симметрии параболы есть точка Р, которую называют фо кусом параболы (рис. 2). Если в этой точке находится источник све та, то все отраженные от параболы лучи идут параллельно. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, локаторов и дру гих приборов. Фокусом параболы у — х2 является точка У п р а ж н е н и я 8. На миллиметровой бумаге построить график функции у = х2. По графику приближенно найти: 1) значение у при х = 0,8; # = 1,5; # = 1,9; х= -2,3; х = -1,5; 2) значения х, если у = 2; у = 3; у = 4,6; у = 6,5. 9. Не строя графика функции у = х2, определить, какие из точек принадлежат ему: А (2; 6), В(-1;1), С( 12; 144), П(-3;-9). 10. (Устно.) Найти координаты точек, симметричных точкам А (3; 9), В (-5; 25), С (4; 15), П (Л ; 3) относительно оси орди нат. Принадлежат ли все эти точки графику функции у = х2? 11. (Устно.) Сравнить значения функции у=х2 при: 1) х = 2,5 и х = 3~; 3) х = -0,2 и х = —0,1; 3 2) х = 0,4 их = 0,3; 4) х = 4,1 и х = -5,2. 12. Найти координаты точек пересечения параболы у = х2 и пря мой: 1) у = 25; 3) у = -х; 5) у = 3 - 2х; 2) у — 5; 4) у = 2х; 6) у = 2х — 1. 9