Геометрия. 9 класс: решения задач

158 Pages·2.36 MB·Russian

by  Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151 я.721
Г 36
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И.
Геометрия. 9 класс. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 160 с. —
15ВЫ 5-9221-0574-4.
Настоящее издание является третьей частью учебно-методического посо­
бия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7-9» Л. С. Атанася-
на, В.Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной (М.: Про­
свещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения
задач, относящихся к 9 классу.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
13ВЫ 5-9221-0574-4 С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Метод координат................................................................................ 5
§ 1. Координаты вектора..................................................................................... 5
§2. Простейшие задачи в координатах............................................................ 11
Применение метода координат к решению задач..................................... 19
§3. Уравнения окружности и прямой............................................................... 22
Использование уравнений окружности и прямой при решении задач 30
Дополнительные задачи................................................................................... 35
Применение метода координат к решению задач..................................... 44
Задачи повышенной трудности....................................................................... 49
Глава 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов...................................................... 61
§ 1. Синус, косинус и тангенс угла................................................................. 61
§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника................. 66
§3. Скалярное произведение векторов............................................................ 78
Применение скалярного произведения векторов к решению задач... 85
Дополнительные задачи................................................................................... 85
Задачи повышенной трудности....................................................................... 97
Глава 3. Длина окружности и площадь круга........................................ 107
§1. Правильные многоугольники.................................................................... 107
§2. Длина окружности и площадь круга...................................................... 115
Дополнительные задачи................................................................................... 126
Задачи повышенной трудности....................................................................... 135
4 Оглавление
Глава 4. Движения.............................................................................................. 141
§1. Понятие движения........................................................................................ 141
§2. Параллельный перенос и поворот............................................................ 145
Дополнительные задачи................................................................................... 147
Задачи повышенной трудности....................................................................... 152
Г лава 1
МЕТОД КООРДИНАТ
§ 1. Координаты вектора
911. Найдите такое число к, чтобы выполнялось равенство ~п = кт, если
известно, что: а) векторы т и ~п противоположно направлены и \т\ = 0,5 см,
|~п | = 2 см; б) векторы га и п сонаправлены и \т\ = 12 см, \~п\ = 24 дм;
в) векторы т и ~п противоположно направлены и \т\ = 400 мм, |~п \ = 4 дм;
г) векторы т иг? сонаправлены и \т\ = л/2 см, | ~п\ = л/50 см.
Решение. Пусть га / 0. Тогда если ~п Ц га, то "п = кт при
I I ^ ^ ^ ^ I I
к = а если п Ц га, то п = кт при к = — Исходя из это-
|га| |га|
\ 7 1^1 2 л 1 1^1 240 ОА
го, получаем: а) к = — ^ = —4; б) к = ДД = —- = 20;
^ |ш| 0,5 |ш| 12
в) ь = _М1 = = — 1 ■ Г'» А- = -И- = — = 5
\т\ 400 ’ \т\ /2
Ответ, а) -4; б) 20; в) -1; г) 5.
912. Диагонали параллелограмма АВСБ пересекаются в точке О, М —
середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число к, чтобы
выполнялось равенство: а) АС = кАО\ б) ВО = кВВ\ в) ОС = кСА; г) АВ =
= ЫЮ; д) ВС? = /сЛЛ; е) АМ = /сСД; ж) МС = кАМ; з) АС =к СМ\
и) АВ = АвД; к) ДО = кВБ.
Решение, а) Так как |Ж7| = 2\АО\
и АС Ц АО (рис. 1), то АС = 2АО, т. е.
к = 2. Аналогично получаем: б) ВО =
= ±ШЗ, т. е. к = 1; в) ОС = — СХ т. е.
/г = -±; г) АВ = СЮ, т. е. /г = 1; д) ВС =
= -Ш , т. е. к = -\- е) АМ= -\с 1 , Рис. 1
4
6 Гл. 1. Метод координат
т. е. к = -±; ж) МС = ЗАМ, т. е. к = 3; з) АС = -\сМ , т. е.
т: О
к = — и) так как векторы АВ и БС не коллинеарны, то не суще-
ствует такого числа к, для которого АВ = кВС\ к) так как векторы
АО и ВБ не коллинеарны, то не существует числа к, такого, что
АО = кВГ).
Ответ, а) 2; б) в) Д ; г) 1; д) -1; е) Д ; ж) 3; з)
и) решения нет; к) решения нет.
913. Векторы ~а и Ъ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) ~а + 3 Ъ
и ~а ; б) 6 — 2"^ и "а*? Ответ обоснуйте.
Решение, а) Так как векторы Ь и 3 6 коллинеарны, а векторы
а и Ь коллинеарны по условию, то векторы а и 3 Ь коллинеарны.
Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, им коллинеарный,
поэтому векторы ~а + 3 Ь и ~а коллинеарны.
б) Так как векторы ~а и Ъ коллинеарны, то векторы Ъ — 2~а и ~а
коллинеарны. Это доказывается так же, как в п. а).
Ответ, а) Да; б) да.
914. Докажите, что если векторы ~а и Ъ не коллинеарны, то: а) векторы
~а + Ъ и ~а — 6 не коллинеарны; б) векторы 2~а — Ъ и ~а + Ъ не коллине­
арны; в) векторы ~а + 6 и"а> + 36не коллинеарны.
Решение, а) Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то а +
+ Ь ^ 0 . Допустим, что векторы ~а + Ь и ~а — Ь коллинеарны.
Тогда, согласно лемме о коллинеарных векторах, существует такое
число к, что ~а — Ь = к(~а + 6 ). Отсюда получаем: (1 — к)~а =
= (1 + к) Ь . При любом к хотя бы одно из чисел (1 — к) и (1 + к)
не равно нулю. Пусть, например, 1 + к ф 0. Тогда, умножив на число
1 —> I — к > —> >
получим Ь = ----- а . Отсюда следует, что векторы Ь и а
1 + /с 1 + /с
коллинеарны, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше
предположение неверно и, значит, векторы ~а + Ъ и ~а — 6 не колли­
неарны.
б), в) Доказательство проводится так же, как в п. а).
§ 1. Координаты вектора 7
915. Точка М лежит на диагонали АС па- В С
раллелограмма АВСВ, причем АМ : МС = 4:1.
Разложите вектор АМ по векторам 7? = АВ
и 6 = АВ.
Решение. Так как АМ : МС = 4:1, ^
4
то АМ = =АС (рис. 2), а поскольку
5 Рис. 2
АМ ТТ АС, АМ = \аС. Но АС = АВ +
ТО О
+ АВ (по правилу параллелограмма), поэтому АМ = \{АВ + АВ),
О
т. е. АМ = ^7? + \ъ .
О о
► 4 4 ^
Ответ. АМ = - а + - 6 .
О о
916. Векторы 7? и 6 не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетво­
ряющие равенству: а) 3 7? — х 6 = у "о” + 6 ; б) 47? — ж 7? + 56 + у 6 = 0;
в) х~а + 36 — у Ъ = 0 ; г) 7? + 6 — ЗуТ? + х 6 = 0 .
Решение, а) Коэффициенты разложения данного вектора по двум
данным неколлинеарным векторам 7? и 6 определяются единственным
образом, поэтому из равенства 37? — х 6 = уТ? + 6 следует, что у = 3,
—ж = 1, т. е. ж = — 1.
б) Запишем данное равенство в виде
(4 - х)~а + (5 + у) 6 = 0 =0-7? + 0 • 6 .
Отсюда следует, что 4 — ж = 0, 5 + у = 0, т. е. х = 4,у = —5.
Аналогично получаем: в) ж = 0, у = 3;
У1
г) ж = - 1, у = <?{1; е{2; Д}
Ответ, а) —1 и 3; б) 4 и —5; в) 0 и 3;
7 ‘
У л « м ^
г) -1 и 1 . о X
Ъ{ 2; - 1}
917. Начертите прямоугольную систему ко­
ординат Оху и координатные векторы г и у .
Постройте векторы с началом в точке О, задан­ о1со'
ные координатами 7?{3;0}, 6 (2; — 1}, 7?{0;—3},
Рис. 3
+ 1; 1}, ~е {2; л/2 }.
Решение. См. рисунок 3.
8 Гл. 1. Метод координат
918. Разложите векторы ~а , Ъ,~с, (1, ~е и /, изображенные на рисун­
ке 4 (рис. 276, а, б, в учебника), по координатным векторам г и у и найдите
их координаты.
Решение.
а) ~а = 2 г + 3 у , ~а {2; 3};
б) Ь = -2 г + 3 у , Ь {-2; 3}; = 2 г , "^{2; 0};
в) д = -3 г - 4 у , д {-3; -4}; "е” = 2 г - 2 у , "^{2; -2};
7 = -4 ? -Б Д ?{-4;-5}.
Ответ, аД2;3}, V {-2;3}, "с{2;0}, У{-3;-4}, Д{2;-2},
/{-4; -5}.
919. Выпишите координаты векторов ~а = 2 г + 3 у , Ъ = — ^ г — 2у ,
~с = 8 г , б = г — , ~е = — 2 у , / = — г .
Решение. ~а{2;3}, 6{-^;-2}, {8;0}, й{1;—1}, "ё>{0;-2},
Ответ. {2; 3}, {-Р-2}, {8; 0}, {1; —1}, {0;-2}, { —1; 0}.
920. Запишите разложение по координатным векторам г и у вектора:
а) ~х {—3; ^}; б) ~у {-2; -3}; в) ^{-1;0}; г) г?{0;3}; д) ^{0; 1}.
У{
а
/
/
/
7 '!/
о I X
а б в
Рис. 4
§ 1. Координаты вектора 9
Решение, а) 7с = — 3 г + ^ у ; б) ^у = —2 г — 3 у ; в) 7? = — г ;
о
г) Д = з7 ; д) Ж = У .
О т в е т. а) —3 г + ^ у ; б) — 2 г — 3 у ; в) — г ; г) 3 у ; д) у .
921. Найдите числа ж и у, удовлетворяющие условию: а) ж г + уу =
= 5 г — 2 у ; б) — 3 г + у у = х г + 7 ; ; в) ж г + у 3 = —4 г ; г) ж г +у у =
= "о.
Решение, а) Коэффициенты разложения данного вектора по ко­
ординатным векторам г и у определяются единственным образом,
поэтому из равенства х г +у з = 5 г —2 у следует, что ж = 5, у = —2.
Аналогично получаем: б) ж = —3, у = 7; в) ж = —4, у = 0; г) ж = 0,
У = о.
Ответ, а) 5 и —2; б) —3 и 7; в) —4 и 0; г) 0 и 0.
922. Найдите координаты вектора 7? + Ъ , если: а) 7?{3;2}, 6 {2; 5};
б) 7?{3; —4}, ~Ь{ 1; 5}; в) “а {-4;-2}, V (5; 3}; г) “а {2; 7}, ~Ь {-3;-7}.
Решение. При сложении двух векторов их соответствующие ко­
ординаты складываются, поэтому для координат вектора ~а + Ъ полу­
чаются следующие значения: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {— 1; 0}.
Ответ, а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {— 1;0}.
923. Найдите координаты вектора ~а - Ъ , если: а) 7?{5;3}, Ъ{2; 1};
б) ~а {3; 2}, V (3; 2}; в) ~а{3;6}, V {4; —3}; г) “а {-5;-6}, V {2; —4}.
Решение. Каждая координата разности двух векторов равна раз­
ности соответствующих координат этих векторов. Поэтому для ко­
ординат вектора ~а — Ь получаются следующие значения: а) {3; 2};
б) {6; 0}; в) {—1; 9}; г) {-7;-2}.
Ответ, а) {3; 2}; б) {6;0}; в) {— 1;9}; г) {-7;-2}.
924. Найдите координаты векторов 27?, 37?, -7?, -37?, если ~а{3; 2}.
Решение. При умножении вектора на число каждая координа­
та вектора умножается на это число, поэтому для искомых коорди­
нат векторов получаются следующие значения: 27?{6; 4}; 37?{9;6};
-~а{-3;-2}; —37? {—9; —6}.
Ответ. {6;4}, {9;6}, {-3;-2}, {-9;-6}.
10 Гл. 1. Метод координат
925. Даны векторы ~а{2; 4}, 6 {—2; 0}, 7?{0;0}, с?{-2;-3}, 7?{2;-3},
/{0;5}. Найдите координаты векторов, противоположных данным.
Решение. Так как — ~р = то для координат векто­
ров, противоположных данным, получаются следующие значения:
—7?{—2; —4}, -~Ь{2;0}, -~с{0;0}, -~?{2;3}, -Т >{-2;3}, —/"{0; —5}.
Ответ. {-2;-4}, {2;0}, {0;0}, {2;3}, {-2;3}, {0;-5}.
926. Найдите координаты вектора 7?, если: а) 7? = 37? -36, "а {2; -5},
V {—5; 2}; б) V = 2“а - 3~Ь + 4“с , “а {4; 1}, ~Ь {1; 2}, “с {2; 7}; в) V =
= 37? — 26 — ^7?, 7?{—7; — 1}, 6 (—1; 7}, 7?{4; —6}; г) 7? = "а — 6 — 7?,
7? (7; —2}, V (2; 5}, “с {—3; 3}.
Решение, а) 7?{3 • 2 — 3(—5); 3(—5) — 3 • 2}, т. е. 7?{21;-21};
б) 7?{2 • 4 - 3 • 1 + 4-2; 2- 1 - 3 • 2 + 4 • 7}, т. е. 7?{13;24}.
Аналогично находим: в) 7?{—21;—14}; г) 7?{8;—10}.
Ответ, а) {21;-21}; б) {13; 24}; в) {-21;-14}; г) {8;-10}.
927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного
вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите
обратное утверждение.
Решение: 1) Пусть векторы ~а {х ь у\} и 6 {д^; У2} коллинеарны.
Если оба вектора нулевые, то их координаты равны нулю и мы считаем
такие координаты пропорциональными.
Пусть хотя бы один из векторов ненулевой, например, ~а ф 0 .
Докажем, что в этом случае координаты вектора 6 пропорциональны
координатам вектора ~а, т. е. существует такое число к, что
х2 = кх 1, У2 = ку\. (1)
Действительно, так как 7? и 6 коллинеарны и ~а ф 0 , то по лемме
о коллинеарных векторах существует такое число к, что 6 = к~а .
Отсюда следуют равенства (1).
2) Докажем обратное утверждение: если координаты одного вектора
пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы колли­
неарны. В самом деле, пусть координаты вектора 6 {тд;^} пропорцио­
нальны координатам вектора ~а{х\\ у\}, т. е. существует число к, такое,
что выполнены равенства (1). Но тогда 6 = к~а и, следовательно,
векторы ~а и 6 коллинеарны.
§ 2. Простейшие задачи в координатах 11
928. Даны векторы ~а{ 3; 7}, Ъ {-2; 1}, “<?{6;14}, е/{2;—1}, ~е{2;4}.
Укажите среди этих векторов пары коллинеарных векторов.
Решение. Координаты вектора ~а пропорциональны координатам
вектора ~с\ 3 = ^ • 6, 7 = ^ • 14, поэтому векторы ~а и ~с коллинеарны
(см. обратное утверждение в задаче 927).
Аналогично, координаты вектора Ь пропорциональны координатам
вектора А, поэтому векторы Ъ и А коллинеарны.
Других пар коллинеарных векторов нет, так как для любой другой
пары векторов не выполнено условие пропорциональности координат
одного вектора координатам другого вектора.
Ответ. ~а и ~с , Ь и й .
§ 2. Простейшие задачи в координатах
929. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на по­
ложительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО,
если: а) О А = 5, ОВ = 3; б) О А = а, ОВ = Ъ.
Решение, а) А(5;0), Б(0;3), 0(0; 0); б) А(а\ 0), В(0;Ь), 0(0;0).
Ответ, а) (5; 0), (0; 3), (0; 0); б) (а; 0), (0; Ь), (0;0).
930. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на поло­
жительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ,
если: а) О А = 6,5, ОВ = 3; б) О А = а, ОВ = Ъ.
Решение, а) 0(0; 0), А(6,5;0), 0(6,5; 3), В(0;3); б) 0(0; 0),
А(а\ 0), С (а; Ъ), В(0;Ь).
Ответ, а) (0; 0), (6,5;0), (6,5; 3), (0; 3); б) (0;0), (а;0), (а; 5), (0; Ь).
931. Начертите квадрат МИРС^ так, чтобы
вершина Р имела координаты (—3; 3), а диаго­
нали квадрата пересекались в начале коорди­
нат. Найдите координаты точек М, N и
Решение. Задача имеет два решения.
На рисунке 5 изображен квадрат ММРС^),
у которого М(3;-3), 77(3; 3), (^)(-3;—3).
Второе решение получается из первого, ес­
ли обозначения точек N и (3 поменять
местами. В этом случае М(3; —3), Т7(—3; —
-3), д(3;3).
Ответ. (3; —3), (3; 3), (-3;-3) или
(3; —3), (—3; —3), (3;3).