Table Of Content

МГУ-ШКОЛЕ В. ф. Бутузов С. Б. Кадомцев В. В. Прасолов Геометрия Учебник для общеобразовательных учреждений Допущено Министерством образования и науки Российссой Федерации Под редакцией Садовничего Москва «Просвещение» УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Б93 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/14 от 29.10.10) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-80 от 27.09.10) Бутузов В. Ф. Б93 Геометрия. класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / 8 В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов; под ред. В. А. Садовни- чего. — М. : Просвещение, 2011. — 175 с. : ил. — (МГУ — школе). — 15ВЫ 978-5-09-019635-2. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151Я72 15ВМ 978-5-09-019635-2 © Издательство «Просвещение», 2011 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011 Все права защищены Дорогие восьмиклассники! Мы продолжим изучение свойств Введение геометрических фигур на плоскости, познакомимся с новыми фигурами и их свойствами, введём новые понятия. При этом мы будем опирать ся на то, что вы узнали из учебника геометрии 7 класса. Напомним утверждения, доказанные в этом учебнике. В первой гла ве рассматривались простейшие геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи, углы. В этой главе мы доказали следующие утверждения: сумма смежных углов равна 180°; вертикальные углы равны; из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпенди куляр к этой прямой, и притом только один; две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются. Вторая глава была посвящена изучению треугольников. При рас смотрении равнобедренных треугольников были доказаны три теоремы: углы при основании равнобедренного треугольника равны (теорема об углах равнобедренного треугольника); если два угла треугольника равны, то этот треугольник рав нобедренный (признак равнобедренного треугольника); высота равнобедренного треугольника, проведённая к осно ванию, является медианой и биссектрисой (теорема о высоте равнобедренного треугольника). с Затем мы рассмотрели три призна ка равенства треугольников (напом ним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложе нием): если две стороны и угол между ними одного треугольника со ответственно равны двум сто ронам и углу между ними дру Если АВ =Л1В1, АС =А1С1 гого треугольника, то такие и АА = АА1г то ААВС = АА1В1С1 треугольники равны (первый признак, рис. ); Рис. 1 1 1* В 'А С С1 1 Если АВ=А1В1, АА = ААх и Если АВ =АХВХ, ВС = ВХСХ и АВ = АВХ, то ААВС = ААХВХСХ СА = С1А1г то аавс = аахв хсх Рис. 2 Рис 3 если сторона и два прилежащих к ней угла одного треуголь ника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (второй признак, рис. ); 2 если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак, рис. 3). При изучении прямоугольных треугольников мы использовали свойства прямоугольника. Напомним, что прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые. Нами была доказана теорема: противоположные стороны прямоугольника равны. Из этой теоремы были выведены следствия: если один из углов треугольника прямой, то сумма двух дру гих углов этого треугольника равна 90°; если в четырёхугольнике три угла прямые, то этот четырёх угольник является прямоугольником. С помощью первого следствия показано, что треугольники делятся на три вида: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные (рис. 4). Были установлены свойства прямоугольных треугольников: медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипо тенузе, равна половине гипотенузы; гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета; Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный треугольник треугольник треугольник Рис. 4 катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы; если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Также были рассмотрены признаки равенства прямоугольных тре угольников: по двум катетам; по катету и прилежащему к нему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по катету и противолежащему углу; по гипотенузе и катету. С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников были доказаны следующие теоремы: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равно удалена от концов этого отрезка; каждая точка, равноуда лённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендику- « Если а — серединным \а Если АМ = МВ, М I перпендикуляр М 1 то М лежит ? \ на серединном / \ перпендикуляре \ к отрезку АВ / А О В Рис. 5 Если АМ — биссектриса, Если МН 1АЯи МК 1 АК МН^АН и МК _1_ АК, то МН = МК и НМ = МК, то АМ — биссектриса Рис. б Рис. 7 ляре к этому отрезку (теорема о серединном перпендикуляре к отрезку и обратная ей. рис. 5); каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон; каждая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссек трисе (теорема о биссектрисе угла, рис б, и обратная ей. рис. 7). Напомним ещё три теоремы этой главы: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника); в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол; сумма углов треугольника равна 180°. Из теоремы о сумме углов треугольника было выведено следствие: внешний угол треугольника равен сумме двух углов тре угольника, не смежных с этим внешним углом. Третья глава была посвящена изучению свойств окружности. На помним, что окружностью называется геометрическая фигура, состоя щая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Мы изучили взаимное расположение прямой и окружности и получили следующие результаты (рис. ): 8 если расстояние от центра окружности до прямой меньше ра диуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки если расстояние от центра окружности до прямой равно ра диусу окружности, то прямая и окружность имеют только Рис. 8 одну общую точку (в этом случае прямая называется каса тельной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности); если расстояние от центра окружности до прямой больше ра диуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. Были доказаны теорема о свойстве касательной и обратная ей: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове дённому в точку касания; если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна к радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной. Напомним, что отрезками касательных, проведёнными из точки А, мы называем отрезки АВ и АС, где В и С — точки касания (рис. 9). Они обладают следующим свойством: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходя щей через эту точку и центр окружности. В этой же главе мы ввели понятие градусной меры дуги окружности и до казали две теоремы: угол между касательной и хордой измеряется половиной заключён ной внутри этого угла дуги (тео рема об угле между касательной и хордой); Рис 9 вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (теорема о вписанном угле) Из теоремы о вписанном угле мы вывели три следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой; если диаметром окружности является гипотенуза прямоуголь ного треугольника, то вершина прямого угла треугольника лежит на этой окружности. Также в третьей главе мы познакомились с новым типом задач — задачами на построение с помощью циркуля и линейки без делений. Мы научились строить с помощью этих двух инструментов: треуголь ник по трём сторонам; угол, равный данному; биссектрису данного угла; серединный перпендикуляр к данному отрезку; середину отрезка; прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к дан ной прямой; прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету; каса тельную к данной окружности, проходящую через данную точку. Всё, что мы изучали в 7 классе, понадобится нам для дальнейшего изучения свойств геометрических фигур и применения этих свойств на практике. глава 4 Параллельность Представим себе две прямые на плоскости. Они могут пересекаться, в частности, под прямым углом, но могут и не пересекаться. Непересекающиеся прямые называются параллельными. Параллельные прямые (а точнее, отрезки параллельных прямых) мы видим на каждом шагу — два противоположных края прямоугольного стола, строчки текста, две рельсы, нотный стан и т. д. Параллельные прямые используются, например, в архитектуре и технике, столярном деле и кройке, физике и черчении. В геометрии параллельные прямые играют не меньшую роль, чем перпендикулярные. В этой главе мы будем изучать свойства параллельных прямых и в связи с этим обсудим очень важный вопрос — об аксиомах геометрии.