Table Of Content

Аркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович, Михаил Якир ЗАДАЧНИК К ШКОЛЬНОМУ КУРСУ А ® 5 ПРЕСС Аркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович, Михаил Якир ЗАДАЧНИК к ШКОЛЬНОМУ КУРСУ «Магистр-3» Москва «АСТ-ПРЕСС» 1998 УДК 51 ББК 22 М 52 Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. М 52 Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. — М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-8, 1998. - 656 с. 18ВИ 5-7805-0212-9 18ВК 966-557-035-8 Задачник, составленный в форме конспекта опытного учителя, содержит более 4000 задач с большим числом примеров, их решени ями и разбором. На разнообразном материале авторам удалось сис тематизировать по методам решений все типы задач по тригономет рии, взяв за основу принцип от простого к сложному. Адресован учащимся 8—11-х классов, абитуриентам, преподава телям математики. МШ 2 Ш Ш УДК 51 8Ш9(03)-98 ББК 22 © А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир, 1997 I5БN 5-7805-0212-9 © «АСТ-ПРЕСС», 1998 I5ВN 966-557-011-0 © «Магистр-8», 1998 От авторов Это не сборник задач, хотя в книге их более 4000. Несмотря на большое число решенных при меров, это и не решебник, наличие которого у ученика так раздражает учителя. Скорее всего, это добротный конспект, написанный учителем не толь ко для «служебного пользования», но и дидакти ческий материал, который удобно положить на пар ту каждому ученику. Известно, что задача может служить не только целью, но и средством обучения. Учиться решать задачи с помощью ключевых (опорных, базис ных) — идея древняя. Именно по схеме «ключевая задача + упражнения» построено предлагаемое по собие. Этой книгой авторы продолжают серию «Учимся решать задачи по...». Кратко остановимся на содержании каждой главы. Материал главы I адресован прежде всего новичкам, потому что ее значительную часть со ставляет «азбука» тригонометрии. Правда, и опыт ный читатель сможет найти свои задачи в пунктах «тождества с дополнительными условиями», «дока зательства неравенств», «суммирования» и т.д. з Глава II посвящена периодическим функци ям — одному из наиболее трудных и тонких по нятий школьной математики. В главе III авторы помимо традиционных задач на функции рассмат ривают общие вопросы, связанные с понятием об ратимости. Обширнейший материал главы IV преследует цель сформировать основы графической культуры, способствует активизации умений и навыков в по строении графических образов, связанных с триго нометрическими функциями. Тригонометрическим уравнениям, неравенствам и их системам посвящены главы V и VI. Не секрет, что задачи с параметрами вызывают у учащихся, по меньшей мере, робость. Мы наде емся, что преодолеть ее поможет глава VII. Одному оригинальному, возможно экзотическому, приему посвящена глава VIII. Авторы выражают искреннюю благодарность всем своим ученикам, участвовавшим в апробации рукописи этой книги. Г лава I Преобразования тригонометрических выражений §1. Азбука тригонометрии Советуем читателю эту таблицу знать наизусть. а оио 3л 0ла = -^0г 45° =т4 60” =| 90° = \180°= ж«0-.^ 360°= 2л 1 1 УТ уТ 81П а 0 2 VI" 2 2 1 0 -1 0 1 VI" 1 С08а 1 2 <2 2 2 0 -1 0 1 1 \Т \%а 0 1 — 0 — 0 УТ" 3 1 VI" с \%а — <ъ 1 уТ з 0 — 0 — Пример 1.1. Найти значение выражения соз-д + 2 81П 2 + д д + 4 созл - 6 зшя. Решение. С08 + 2 31П тг + 4" 1Я2 ?■ + 4 СОЗ Л - С*Е т + о 2 о 3 4 + 6 31ПЛ = | + 2 • 1 + | • (73)2 + 4 • (-1) -1 + 6 -0 = = ^ + 2 + 1 —4 — 1 = — 1,5. Ответ: -1,5. 5 Преобразования тригонометрических выражений___________ Упражнения 1.2. Найти значение выражения: а) 2 соз 0° + 3 зт 90° + 418 180°; б) 5 зт 270° - 2 соз 0° + 3 с!е 90°; в) зт л + сох л + л; г) соз 90° - соз 180° + зт 270° + 18 360°; д) 218 0° + 8 соз 270е - 6 зШ 90°; е) 18 45° • зт 60° • с\% 30°; . _ ■ 2 ^ I 2 ^ ■ • 2 ^ . 2 ^ . 2 ^ ж) 2 зт — + соз — + зт2 — + 182 — - с!е —; 6 3 4 3 6 0,3 - 81П ~г - СОЗ2^ + 4 \%~т V 0 ^ 4 з) ------------------ я------------------; 2 зт — + 1 о ■ 2 ^ ж 2 ^ 1,5 - зт2-^ + Зсоз2-г \ о 4. “ . я * 2зт з |7Г ЛГ 31П — - соз тг + — ч 2 4 к )-------------- л— ; , ТС , ЗТТ 2 зт — - зт — О 2 л) У(2 зт 45° - I)2 - >((1 - 2соз45°)2; м) У(с1ё 30° + 2)2 + У(<8 60° - 2)2; н) 2 зт 2а + 3 соз (180°— За) + с!8 (75°— а) при а = 45°; о) 2 зт (За + 15°) + 3 с!8 (90° - 2а) - 18 (4а - 15°) + + 2 соз 2а при а = 15°. 1.3. Найти значение выражения зт (а + 45°) + 2 зт (а - 45°) + 4 соз 2а + 2 соз (а + 135°) при а) а = 45°; б) а = 135°. 1.4. Найти значение выражения зт а - соз 2а - соз За + зт 2а л при а) а — 30 ; б) а - 6 Преобразования тригонометрических выражений 1.5. Найти значение выражения зт (а + /3) зт (а - /3) при а) а = 45% /? = 15% б) а = у, /3 = ^. 1.6. Найти значение выражения: Ж ж а) (зта + зт/3)2 — (зта - зт/З)2 при а = /3 = —; б) 2 соз (а — 3/3) + 3 с1§ (/3 + 10е) - 18 (а - 75°) + + зт 03 — 5°) при а = 135°, /3 = 35°; в) 18 (2а - /3) + соз а с!8 (6а + 6/3) при а = 20°, /3 = - 5°. 1.7. Верно ли неравенство: а) зт 30° + соз 45° > 1; б) зт % + зт % > 1? 4 3 * ♦ * Свойство 1. Областью значений синуса и косинуса яв ляется промежуток [-1; 1], областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел. Пример 1.8. Возможно ли равенство: 7 8 а) соз а = ^ ; а) 18 а = 8 ; б) соз а = —; г) соз а = а - а — 1? 7 Решение, а) Да, так как -1 < — < 1. О б) Нет, так как — > 1. в) Да, так как тангенс может быть равен любому дей ствительному числу. г) Да, если — 1 ^ а2 — а — 1^1. Найдем, при каких зна чениях а выполняется это неравенство; [а2 - а — 1^1, Га2- а - 2^0, [а2- а - 1 ^-1 , |а2-а ^ 0 , Г(а+1)(а-2)*5 0, Г-1 « л ^ О, |а(а-1 )* 0 , {[2;?; Ответ; да, если -1 « а ^ 0 или 1 € а < 2, Преобразования тригонометрических выражений Упражнения 1.9. Возможно ли равенство: 4 , ^3“ а) соз а = —; и) соз а = -рр ^ . уТ . 1 б) зта = — ; к) соз а = — 3 ’ зт 18° т — п . утГ кгЪ -у.Г Г лл/) лзшт 1аЛ —= . • в) соз а = т + п где т > 0 и п> О; г) зт а = — >П7Г; м) соз а = где а > 1; д) соз а = - уТ; н) «т а = е) соз а = УТ- 2; о) соз а = у; ж) зт а = \^2~— 1; л) зт а = а + —, где а* О? а з) соз а = \^28~— У10 1.10. При каких значениях а (а и Ь) возможно равенство: а) соз х = а2 + 1; г) соз х = 2а — а2 — 2; 2 ~ . а + 1 б) зт х = а - 1; 3) 18 х а - Г ч в . а + 6 „ в) соз х = ё) зт х = г, где а*о1 а - г а — Ь Пример 1.11. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения Л соза(2- 81Па) а) 1 -4 соз а; б) ------21------------. соз а Решение, а) Так как — 1 < соз а ^ 1, то - 4 =5-4 соз а 5 4, — 3 ^ 1 — 4 СОЗ а < 5. 8 Преобразования тригонометрических выражений Следовательно, наименьшее значение равно -3 и достигается при соз а = 1, наибольшее значение равно 5 и достигается при соз а — — 1. Ответ: 5; -3. _ соз а (2 - зт а) б) ------------ = 2 - зт а. Наименьшее значение вы- соз а ражения 2 -з т а , равное 1, достигается при зта = 1, но соз а (2 - зт а) при этом соз а = 0 и выражение соз а Не 0ПРеде" лено. Следовательно, наименьшего значения не существует. Аналогично наибольшее значение выражение 2 - зт а достигает при зта = -1, но при этом также соз а = 0. Сле довательно, и наибольшего значения нет. Ответ: не существуют. Пример 1.12. Найти область значений выражения 1 ^ 1 а) -— ; б) 2 - соз 2х’ 3 зт х — 2* Решение, а) Имеем -1 ^ соз 2х ^ 1, -1 ^ - соз 2х ^ 1, 1^2 — соз 2х $ 3, 1 Э= ^ 2 - соз 2х 3 Ответ: 1 б) Имеем -1 ^ зт х ^ 1, — 3 ^ 3 зт х ^ 3, - 5 ^ Ззтх - 2 ^ 1. Далее воспользуемся тем фактом, что если числа а и Ь оба положительные или оба отрицательные, то из неравенства „ , 1 1 а < о следует, что — > При 0< 3 зт дс - 2 ^ 1 получаем, что ^ 1, 3 81П X 2 причем равенство достигается при зтдс = 1. При - 5 ^ 3 5111 х - 2 < 0 получаем, что 1 < _ I 3 зтх - 2 5’ 9