Table Of Content

Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» С.А. Козлова, А.Г. Рубин, В.А. Гусев Геометрия 7–9 классы Москва 2015 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я721 К59 Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» Совет координаторов предметных линий Образовательной системы «Школа 2100» – лауреат премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках На учебник получены положительные заключения по результатам научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/818), педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000364) и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 171) Руководитель издательской программы – чл.-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев Козлова, С.А. К59 Геометрия. 7–9 кл. : учеб. для организаций, осуществля- ющих образовательную деятельность / С.А. Козлова, А.Г. Ру- бин, В.А. Гусев. – М. : Баласс, 2015. – 320 с. (Образователь- ная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-918-5 Учебник «Геометрия» для 7–9 классов соответствует Федеральному го- сударственному образовательному стандарту основного общего образова- ния. Является продолжением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников развивающей Образовательной системы «Школа 2100». Может использоваться как учебное пособие. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я721 Данный учеб н и к в ц е л о м и н и к а к а я е г о ч а ст ь не могут быть скопированы без разрешения владельца авторских прав © Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А., 2013 ISBN 978-5-85939-918-5 © ООО «Баласс», 2013 КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Дорогие ребята! Вы начинаете учиться в 7-м классе. Все предыдущие шесть лет вашего обучения в школе, начиная с 1-го класса, вы изучали математику. В 7-м классе вы продолжите изучение этой замечательной и очень важной нау- ки, но теперь у вас будет два разных математических учебных предмета: алгебра и геометрия. С их отдельными фрагментами вы уже знакомы и знаете, что геометрия изучает геометрические фигуры и их свойства, а ал- гебра – буквенные выражения, уравнения, неравенства. Теперь вы займё- тесь всеми этими вопросами более полно и обстоятельно. А так как учебных математических предметов будет два, то обучение математике, начиная с седьмого класса, будет проходить по отдельным учебникам – алгебры и геометрии, на отдельных уроках, а ваша работа по каждому из этих предметов будет оцениваться отдельными отметками. Перед вами учебник геометрии для 7–9 классов Образовательной систе- мы «Школа 2100». Так же, как и другие учебники этой системы, он по- может вам в развитии умений (действий), которые необходимы в жизни. Напоминаем, что эти умения, или действия (они называются универ- сальными), развиваются через специальные задания, обозначенные в учеб- нике кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет со- ответствует определённой группе умений: о рганизовывать свои действия: ставить цель, планировать работу, действовать по плану, оценивать результат; работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и использовать её; общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать; так обозначены задания, где нужно применить разные группы умений, мы называем их жизненными задачами и проектами. Зачем мы будем учиться? Изучая геометрию, вы научитесь работать с разнообразными геометри- ческими фигурами, узнаете многие их свойства и признаки, сможете узна- вать их среди окружающих вас предметов, вычислять характеризующие их величины: длины, углы, площади, объёмы и др., строить многие из 3 них с помощью циркуля и линейки, а также моделировать с их помощью некоторые реальные ситуации. Это поможет вам стать увереннее в себе, добиться успехов при решении возникающих в жизни задач, так как при этом очень часто придётся иметь дело с геометрическими фигурами. Задания на развитие предметных умений в учебнике обозначены се- рым цветом. Как мы будем учиться? Для успешного изучения геометрии и овладения универсальными уме- ниями на уроках открытия нового знания используется проблемный диа- лог (образовательная технология). Приведённый в учебнике теоретический материал обозначен так: Открываем новые знания Основной теоретический материал, который необходимо знать каждо- му ученику, выделен слева на полях книги сплошной оранжевой чертой. Именно этот материал составляет основу курса. Дополнительный теоретический материал (не выделенный оранжевой чертой на полях) предназначен для более глубокого изучения геометрии, её практического применения в науке и технике. Этот материал способ- ствует вашему математическому развитию. Кроме этого, в учебнике есть целые параграфы, адресованные только желающим, – на их изучение учебное время программой курса геометрии не отводится. Номера таких параграфов отмечены звёздочкой, и в их на- чале помещено изображение совы. Приводимые исторические сведения помогут вам понять, как зарожда- лась и развивалась геометрия, какие события сопутствовали некоторым открытиям в геометрии. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уров- нях сложности. Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все учащиеся. Они помогут вам определить, усвоены ли основные поня- тия и факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач. Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые х отят углубить свои знания. Они требуют более серьёзного усвоения учебного материала, для их решения, наряду с известными приёма- ми и идеями, может понадобиться выдвижение некоторой новой идеи. 4 Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, кото- рые хотят научиться решать более сложные, нестандартные задачи. Работа над ними может потребовать значительных усилий, изобрета- тельности и настойчивости. При этом ни на одном из уровней выполнение всех заданий, предло- женных в учебнике, не является обязательным! Ученики под руковод- ством педагога выбирают задания в соответствии со своими возможностя- ми и потребностями. Среди заданий необходимого уровня мы дополнительно выделяем сле- дующие две группы заданий и отмечаем их особыми знаками: Этим знаком обозначается группа задач и вопросов, которые учат де- лать выводы, т.е. получать следствия из условия задачи. С помощью этих заданий вы можете проверить, усвоен ли вами основной теоре- тический материал. Уметь справляться с такими заданиями должен каждый ученик. Этим знаком отмечены задания для самоконтроля, в них нужно не только получить следствие из условия задачи, но и выяснить причи- ну появления этого следствия. Примерно к половине всех заданий в конце учебника приводятся ответы. Ориентироваться в учебнике вам помогут условные обозначения Вопросы, которые помогают понять тему, сделать вывод. Обратите особое внимание! Это нужно запомнить. Дополнительные сведения. Работа в группе (паре). Задания с использованием информационных технологий. Самостоятельная исследовательская работа. Жизненные задачи и проекты Помимо обычных учебных заданий разного уровня сложности, в учеб- ник включены жизненные задачи и проекты. Ими можно заниматься в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Что такое жизненная задача? Жизненная задача – это модель реальной ситуации, для разрешения ко- торой необходим набор математических знаний, к этому моменту вам уже 5 в основном известных. При этом жизненная задача отличается от привыч- ных всем школьных учебных задач. Это отличие прежде всего заключа- ется в том, что для её решения вам может понадобиться дополнительная информация, которую придётся добывать самим, причём какая именно ин- формация нужна, вы должны решать сами и самостоятельно искать ис- точники этой информации. В случае затруднений вы можете обратиться к старшим товарищам, учителю или другим взрослым. В условии жизненной задачи также могут содержаться избыточные дан- ные. Ведь в жизни чаще всего так и бывает: когда пытаешься разобраться в ситуации и анализируешь, что тебе о ней известно, то далеко не вся эта информация пригодится, значительная её часть, как постепенно выясняет- ся в ходе анализа, не имеет отношения к делу. Кроме того, для решения жизненной задачи будут необходимы знания не только из области мате- матики, но и других изучаемых вами областей (как это и происходит в реальной жизни). Таким образом, систематическое решение жизненных задач даст вам возможность не только углубиться в математику, увидеть взаимосвязь математики и других областей знаний, но и совершенство- ваться в умении самостоятельно работать с информацией. Жизненные задачи, как принято в учебниках Образовательной системы «Школа 2100», оформлены следующим образом: СИТУАЦИЯ. Условия, в которых возникла проблема. ВАША РОЛЬ. Человек, в роли которого вы должны себя представить, решая проблему. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Более подробная характеристика ситуации. ЗАДАНИЕ. Что нужно сделать или что нужно получить в итоге. Что такое проект? Это любое самостоятельное дело, которое предполагает: 1) оригинальный замысел (цель); 2) выполнение работы за определённый отрезок времени; 3) конкретный результат, представленный в итоге (мероприятие, реше- ние проблемы, результат самостоятельных исследований и др.). Проектная деятельность помогает научиться работать в команде, рас- пределять роли таким образом, чтобы наиболее эффективно использовать сильные стороны каждого, участвовать в мозговых штурмах и других формах коллективной интеллектуальной деятельности, представлять ре- зультаты своего труда в форме доклада, презентации, инсценировки и т.д. Предполагается, что проекты будут выполняться в свободное от уроков время. Они не являются обязательными. Структура учебника Учебник разбит на разделы, разделы – на главы, а каждая глава – на параграфы. Каждый параграф обозначается двумя числами: число слева от точки – номер главы, а число справа от точки – номер параграфа в этой 6 главе. В каждой главе рассматривается своя тема, а в каждом параграфе – отдельные вопросы этой темы. В конце книги помещены приложения, которые помогут вам быстрее найти нужную информацию: указатель аксиом, указатель теорем, указа- тель определений и тематический указатель. Кроме перечисленных выше обозначений, вы встретите на страницах книги и другие знаки, смысл и предназначение которых сейчас будут объ- яснены. Некоторые утверждения в геометрии принимают без доказательства, их называют аксиомами. Аксиомы выделяются вот так: Аксиома n Буква n обозначает порядковый номер аксиомы в учебнике. Когда мы даём изучаемому в учебнике понятию точное определение, мы выделяем его вот так: Определение n Буква n обозначает порядковый номер определения в учебнике. Определения, которые должен знать каждый учащийся, выделены в ука- зателе определений жирным шрифтом. В тех случаях, когда мы формулируем и доказываем теорему, она вы- деляется вот так: Теорема n Бук ва n обо зна ча ет по ряд ко вый но мер те о ре мы в учеб ни ке. Каж дое до ка за тель ст во те о ре мы мы на чи на ем сло вом «До ка за тель ст во». Все шаги доказательства нумеруются и для каждого шага указывается, на какие из предыдущих шагов он опирается (или на какие из изученных ранее аксиом, теорем, определений, свойств). В конц е до ка зат ель ст ва ста- вится знак , ко то рый оз на ча ет, что дока за тель ст во про ве де но пол но стью. Обя за тель ные для изу че ния те о ре мы в ука за те ле те о рем вы де ле ны жир- ным шриф том. Работая по нашему учебнику, вы не только узнаете много нового, не только научитесь решать большое количество разнообразных геометри- ческих задач, но и приобретёте важнейшее умение – учиться самостоя- тельно: • ставить учебную цель; • планировать своё движение к цели и действовать по плану; • оценивать результаты своего труда. 7 РАЗДЕЛ 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Подобные представления об этих вещах весьма полезны, поскольку ничто не является для нас более наглядным, чем фигура, ибо её можно осязать и видеть. Рене Декарт (французский философ и математик, 1596–1650) Глава 1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Великая, божественная, точная, мудрая прямая – мудрейшая из линий. Евгений Иванович Замятин (русский писатель, 1884–1937) Открываем новые знания § 1.1 ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ В кур се ге о мет рии мы бу дем изу чать свой ст ва раз лич ных ге о ме т ри че- с ких фи гур, кот о рые в ге о ме т рии при ня то оп ре де лять, то есть рас кры- вать смысл опр ед ел я е мо го по ня тия. Тем не ме нее нач нём с рас смо т ре ния фи гур, ко то рые в ге о ме т рии не оп ре де ля ют ся, их на зы ва ют ос нов ны ми. К ним от но сят ся точ ка, пря мая, пло с кость, про ст ран ст во. Основным неопределяемым понятием является также расстояние от одной точки до другой. Все геометрические фигуры состоят из точек. Точки обо зна ча ют ся про пис ны ми (за глав ны ми) ла тин ски ми бук ва ми: A, B, C, D, K, M и т.д. Пусть нам да ны две точ ки А и В (рис. 1.1а). Пров ед ём че рез точ ки A и B пря мую (рис. 1.1б). У нас по яв ляе тс я ещё одн о важ ное по нят ие ге о- B B A A a) б) Рис. 1.1 9 ме т рии — пря мая, ко то рая так же со сто ит из то чек. Изо б ра зить пря мую цели ком невоз мож но, мы лишь ус лов но изо б ра жа ем её часть. Некоторые начальные утверждения в гео мет р ии принимают без док а- за тель ст ва. Их называют ак си омами. Сло во «ак си о ма» оз на ча ет ис ти ну, принятую в рассматриваемой теории без до ка зат ельства. Пер вой та кой аксиомой является ак си о ма пря мой. Аксиома 1. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Пря мые обо зна ча ют ся строч ны ми ла тин ски ми бук ва ми: а, b, с, d, т, п, р и т.д. или дву мя за глав ны ми бук ва ми, со от вет ст ву ю щи ми точ кам, ле- жащ им на ней. Нап рим ер, пря мую на рис. 1.1б мы обоз на ча ем AB. Точки, прямые, плоскости, а также все остальные геометрические фигуры находятся в пространстве. На рис. 1.2 изображены различные фигуры, расположенные в пространстве. Рис. 1.2 Часто фигуры располагаются на плоскости (рис. 1.3), их называют плоскими. E B F B C D A A D A C B C Рис. 1.3 Пло с ко сти обо зна ча ют ся строч ны ми гре че с ки ми бук вами: α, β, γ и т.д. На рис. 1.4 пло с ко сти обо зна че ны буква ми α и β. Изображают плоскости либо в виде параллелограмма (рис. 1.4а), либо в виде произвольной об- ласти (рис. 1.4б). 10