Table Of Content

Л. А. Латоцін Б. Д. Чабатарэўскі а т е в Вучэбны дапаможнік для 7 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі с з беларускай мовай навучання а я Дапушчана Міністэрствам адукацыі а Рэспублікі Беларусь н д 4-е выданне, выпраўленае і дапоўненае о р а Н МІНСК «НАРОДНАЯ АСВЕТА» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.3) ББК 22.1я721 Л27 Рэцэнзент а доктар фізіка-матэматычных навук, прафесар, галоўны навуковы супра- цоўнік дзяржаўнай навуковай установы «Інстытут матэтматыкі» Нацыя- нальнай акадэміі навук Беларусі В. І. Бернік е в с а я Латоцін, Л. А. а Л27 Матэматыка : вучэб. дапам. для 7-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі зн беларус. мовай навучання / Л. А. Ла- тоцін, Б. Д. Чабатарэўскі. — 4-е выд., выпраўлен. і да- поўн. — Мінсдк : Нар. асвета, 2014. — 367 с. : іл. ІSBN 978-985-03-2150-3. о Папярэдняе выданне выйшла ў 2009 годзе. р а Н УДК 51(075.3=161.3) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-03-2150-3 © Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д., 2004 © Латоцін Л. А., Чабатарэўскі Б. Д., 2014, са змяненнямі © Афармленне. УП «Народная асвета», 2014 Правообладатель Народная асвета Дарагія сябры! Матэматыка, якую вы будзеце вывучаць у VII кла се, адрозніваецца ад матэматыкі V і VI кла- саў. Раней асноўная ўвага была скіраваная на па- шырэнне «свету лікаў». У V класе вы завяршылі вывучэнне натуральных лікаў і пачалі вывучаць а звычайныя дробы і дзеянні над імі. Вам сталі вя- домыя ўсе дадатныя рацыянальныя лікі. Вытвучэн- не матэматыкі ў VI класе пачалося са знаёмства з е дзесятковымі дробамі, якімі можна выяўляць ра- в цыянальныя лікі. Дзесятковыя дробы найбольш зручныя ў практычных вылічэннясх, асабліва за- раз, калі ёсць магчымасць карыстацца калькулята- а рам. У VI класе з’явіліся новыя лікі — адмоўныя, якія разам з вывучанымі раней лікамі склалі мно- я ства ўсіх рацыянальных лікаў. У VII класе вы не будзеце знаёміцца з новыамі лікамі, гэта вас чакае ў VIII класе. н Вывучэнне лікаў і дзеянняў над імі складае змест арыфметыкі. У VIIд класе замест канкрэтных лікаў вы будзеце разглядаць зменныя. З лікаў і зменных о утвараюцца выразы і формулы. Вывучэнне выразаў і дзеянняў нард імі складае асноўны змест алгебры, якая разам з арыфметыкай і геаметрыяй належыць а да старэйшых галін матэматыкі. Вылучэнне алгеб- ры ў асоНбны раздзел звязана з дзейнасцю матэматы- ка і астранома IX стагоддзя Абу Абдалы Мухамеда бен Мусы аль-Маджусі аль-Харэзмі і вучонага энцы- клапедыста X—XI стагоддзяў Абу Рэйхана Мухаме- да ібн Ахмеда аль-Беруні. Далейшае развіццё алгеб- ры звязана з дзейнасцю матэматыка XVI стагоддзя Франсуа Віета і філосафа і матэматыка XVII ста- годдзя Рэнэ Дэкарта. Асноўная праблема алгебры XVI—XVIII стагоддзяў — рашэнне ўраўненняў роз- 3 Правообладатель Народная асвета ных відаў. Вы навучыцеся рашаць найбольш про- стыя — лінейныя — ураўненні. Адзначым, што Віет ведаў агульныя прыёмы рашэння ўраўненняў другой, трэцяй і чацвёртай ступеняў. Кожны раздзел вучэбнага дапаможніка разбі- ты на асобныя параграфы, у якіх літарамі А), Б) а і г. д. выдзелены сэнсавыя блокі. Як і ў папярэдніх класах, кожны параграф пачынаецца з атбмеркаван- ня пытання, якое вызначана яго назвай. Найбольш е важнае ў параграфе выдзелена спецыяльнымі шры- в фтамі. Новыя паняцці вылучаюцца тлустым шры- фтам. Правілы, сцверджанні выслучаны тлустым курсівам, а паняцці і факты, на якія трэба звяр- а нуць увагу, але неабавязковыя для запамінання, — курсівам. Матэрыял, абазначаны трохвугольніка- я мі (cid:83), не прызначаны для абавязковага кантролю. Пасля тлумачальнаага тэксту ідуць кантрольныя пытанні, пазначаныня знакам . Яны прызначаны для праверкі таго, як вы разабраліся ў змесце тлу- д мачальнага тэксту. Калі на тое ці іншае пытанне вы не змаглі адоказаць, трэба вярнуцца да тлумачаль- нага тэксту і з яго дапамогай паспрабаваць адка - р заць на гэтае пытанне зноў. а Практыкаванні, што ідуць пасля кантрольных пытНанняў, раздзелены на тры групы. Практыкаванні першай групы прысвечаны тым пытанням, што абмяркоўваліся ў тлумачальным тэксце. Яны пераважна трэніровачнага характару, хоць могуць быць і больш складанымі. Другую групу пасля раздзяляльнай рысы скла- даюць самыя разнастайныя заданні. Пры іх выка- нанні вам давядзецца прымяняць веды, набытыя раней. 4 Правообладатель Народная асвета Задачы трэцяй групы, змешчаныя пасля раздзя- ляльных зорачак, патрабуюць нестандартных разва- жанняў. Аднак для іх рашэння дастаткова набытых вамі ведаў. Калі ў фармулёўцы выкарыстаны паняцці кош- ту, цаны, то іх трэба разглядаць як умоўныя і ад- носіцца да іх, як да матэматычных велічынь. а У канцы вучэбнага дапаможніка прыведзены т адказы на тыя практыкаванні, пры выкананні якіх вы можаце зведваць пэўныя цяжкасці. Геэта ў пэў- най ступені дапаможа пракантралявавць правіль- насць вашага рашэння. с Жадаем поспехаў! а Аўтары я а н д о р а Н Правообладатель Народная асвета а 1. Геаметрычныя фігурыт А) Вакол нас знаходзяцца розныя ецелы. Яны ма- юць разнастайныя ўласцівасці. Будаўніка цікавіць, в якія матэрыялы выкарыстаны пры будаўніцтве дома, архітэктара — яго аздаблсенне, пакупніка — кошт дома. А геометра цікаваіць форма прадмета і яго памеры. Цагліна, пачак з-пад аўсяных шмат- коў маюць форму прамавугольнага паралелепіпе- я да; мяч, клубок нітак, мыльная бурбалка — форму шара; саломінка, аловаак — форму цыліндра. Калі ўвага звяртаецца толькі на форму прадмета і яго н памеры, то гавораць пра геаметрычнае цела. Зразу- мела, што ў прыдродзе мы не сустракаем цел без ко- леру, масы. Таму гавораць, што паняцце цела ёсць о матэматычная абстракцыя, пэўная ідэалізацыя. р Кожнае геаметрычнае цела мае тры вымярэн- ні, якія ўмоўна называюць даўжынёй, шырынёй, а вышынёй. Таму прастору, у якой мы жывём, на- Н зываюць трохмернай. Лёгка ўказаць вымярэнні ў прамавугольнага паралелепіпеда (рыс. 1). А якія вымярэнні, напрыклад, у лыжкі? Пад імі часта ра- зумеюць вымярэнні найменшага з прамавугольных паралелепіпедаў, у які цалкам умяшчаецца такое цела (рыс. 2). Кожнае геаметрычнае цела мае паверхню, якая ёсць абалонка, мяжа цела. Па паверхні цела мы вы- значаем яго форму і колер. Паверхню можна ўявіць 6 Правообладатель Народная асвета Рыс. 1 Рыс. 2 а сабе ў выглядзе вельмі тонкай плеўкі, таўтшчыню якой можна не браць пад увагу. У жыцці некато- е рыя прадметы мы лічым паверхнямі. Напрыклад, в карыстаючыся словазлучэннямі «прасціна 1 м 40 см на 2 м 10 см», «фатаграфія 9 см на с12 см», мы пад- крэсліваем, што трэцяе вымярэнне ў гэтых выпад- а ках не істотнае. Паверхняй геаметрычнага цела, што на рысун - я ку 3, прастора дзеліцца на дзве часткі — унутра- ную і знешнюю. Каб патраапіць з любога ўнутранага пункта A ў знешні B, давядзецца перасекчы паверх- н ню цела. Некаторыя павердхні маюць спецыяльныя назвы. Паверхня шара называецца сферай (рыс. 4). Важнай о паверхняй з’яўляецца плоскасць, якая бясконцая ва ўсіх кірунках.р У жыцці мы сустракаемся з аб’ектамі, якія а лічым лініямі. Гэта нітка, дрот, дарога, дзяржаўная мяжа. ВНа ўсіх такіх аб’ектах адно вымярэнне знач- на пераважае два іншыя. Гэта мы падкрэсліваем, Рыс. 3 Рыс. 4 7 Правообладатель Народная асвета Рыс. 5 а т е в с а Рыс. 6 Рыс. 7 Рыс. 8 я калі гаворым «шлях ад Магілёва да Мінска скла- дае 199 км», «дзяржааўная мяжа Беларусі складае 3098 км». н Лінія ёсць мяжа паверхні, калі такая мяжа ёсць. Лінія ўтвараеццда пры перасячэнні дзвюх паверхняў (рыс. 5). Пры перасячэнні сферы з плоскасцю ўтва- о раецца акружнасць (рыс. 6). Акружнасць атрымлі- ваецца і прры перасячэнні дзвюх сфер (рыс. 7). Пры перасячэнні дзвюх плоскасцей утвараецца прамая а (рыс. 8). ІНншы раз нас не цікавіць ні даўжыня, ні шы- рыня, ні вышыня прадмета, а толькі яго месцараз- мяшчэнне. У гэтым выпадку цела разглядаецца як пункт. Пунктам з’яўляецца пракол іголкай ліста па- перы, горад на геаграфічнай карце, зорка ў небе. Пункт утвараецца пры перасячэнні дзвюх ліній (рыс. 9), лініі з паверхняй (рыс. 10). Пункт, лінія, паверхня — таксама ідэалізацыі. Лічыцца, што лінія, паверхня, цела складаюцца з 8 Правообладатель Народная асвета Рыс. 9 Рыс. 10 а пунктаў. Любое мноства пунктаў будзем называць геа - метрычнай фігурай. Геаметрычныя фігуры траздзя- ляюць на плоскія і прасторавыя. Фігура называецца е плоскай, калі ўсе яе пункты належаць адной плоска- в сці. У адваротным выпадку фігура называецца пра- сторавай. На рысунках 11, 12, 13 пасказаны плоскія фігуры, а на рысунках 14, 15, 16 — прасторавыя. а Б) Дзве геаметрычныя фігуры лічацца роўнымі, калі яны сумяшчаюцца пры н акладанні. Для аба- я значэння роўнасці фігур будзем выкарыстоўваць знак = . а н д о р Рыс. а11 Рыс. 12 Рыс. 13 Н Рыс. 14 Рыс. 15 Рыс. 16 9 Правообладатель Народная асвета Рыс. 19 Рыс. 17 Рыс. 18 а т Рыс. 20 Рыс. 21 е Кожны пункт прамой раздзяляве яе на дзве паў- прамыя. Кожную з гэтых паўпрамых разам з межа- с вым пунктам называюць праменем (рыс. 17). Праме- а ні на рысунку 17 маюць агульны пачатак — пункт А і су праць леглыя кірункі. Т акія прамені называюць я дадатковымі. Каб задаць прамень, дастаткова ўка- заць пачатак праменя і яшчэ які-небудзь яго пункт, а прычым першым указваецца пачатак. На рысун- н ку 18 паказаны тры прамені з пачаткам O — OP, OQ, OR. д На рысунку 19 пункт Q ляжыць паміж пунк- о тамі M і N дадатковых праменяў. Адрэзкам FG на- зываюць рфігуру, якая складаецца з пунктаў F і G і ўсіх тых пунктаў X, што ляжаць паміж F і G а (рыс. 20). Прамень і адрэзак — часткі прамой. КНожная прамая l плоскасці раздзяляе яе на дзве часткі — дзве паўплоскасці (рыс. 21). Паўплоскасць утвараюць усе пункты, што ля- жаць па адзін бок ад прамой l, і пункты самой пра- мой l. Прамую l лічаць мяжой паўплоскасці. Пунк- ты A і B ляжаць па адзін бок ад прамой l, калі ад- рэзак AB не перасякае прамую l. А калі адрэзак CD перасякае прамую l, то пункты C і D ляжаць па розныя бакі ад прамой l (рыс. 22). 10 Правообладатель Народная асвета