6.2 MODELOS VAR NO ESTACIONARIOS Prof. Antoni Espasa

18 Pages·2006·0.17 MB·Spanish

6.2
MODELOS VAR NO ESTACIONARIOS
Prof. Antoni Espasa
1
VAR
X = c + Φ x + ... + Φp x + a
, (1)
t 1 t−1 t-p t
en lo sucesivo para simplificar c = 0
2
También se puede escribir como:
Δx = Πx + Γ Δx + ... + Γ Δx + a
t t−1 1 t−1 p−1 t−p+1 t
(2)
en donde
Γ = - (Φ + …+ Φ ) i = 1, …, p-1
i i-1 p
Π = -(I - Φ … - Φ )
1 p
3
Ejemplo. p = 2
x = Φ x + Φ x + a (4)
t 1 t-1 2 t-2 t
Δx = Π x + Γ Δ x + a (5)
t t-1 1 t-1 t
Γ = -Φ
1 2
Π = -(I -Φ - Φ ).
1 2
4
Ejemplo:
⎛ x ⎞ ⎛φ φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ a ⎞
⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x φ φ x a (1a)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2t 22 21 2t−2 2t
⎛Δx ⎞ ⎛φ -1 φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛a ⎞
⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Δx φ φ −1 x a (2a)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2t 21 22 2t−2 2t
⎛ φ −1 φ ⎞
Π = ⎜ 11 12 ⎟
⎜ ⎟
φ φ −1
⎝ ⎠
21 22
5
CASOS POSIBLES EN EL EJEMPLO ANTERIOR
Caso (1) r(Π) = 2 ⇒ x es estacionario
t
Caso (2) r(Π) = 0 ⇒ Π = 0 ⇒ Δx es estacionario
t
x no es estacionario
t
Hay 2 raíces unitarias.
Caso (3) r(Π) = 1 ⇒ x : no es estacionario (sólo
t
hay una raíz unitaria).
6
ESTACIONARIEDAD : |I - Φ L| = - Π
1
Caso (1) |I - Φ L| = 0 : tiene todas las raíces fuera
1
del círculo unidad.
Se trata de un VAR sobre variables
estacionarias .
Caso (2) Si r (Π) = 0 hay dos raíces unitarias en
|I - Φ z| = 0.
1
Se trata de un VAR sobre variables en
diferencias .
7
En efecto, si r (Π) = 0 φ = 1 = φ
11 22
φ = φ = 0 [B]
12 21
⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟z = 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0 1 0 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1- z)2 = 0
1− z 0
= 0 z2 − 2z +1 = 0
0 1− z
2 ± 0 1
z = =
2 1
En este caso x y x en este ejemplo son dos
1t 2t
senderos aleatorios independientes.
8
Caso (3) Si en | I - Φ Z| =0 hay al menos una raíz
1
unitaria se cumple que | I - Φ | = 0
1
en consecuencia
(1-Φ ) (1 - Φ ) - Φ Φ = 0
11 22 21 22
ó
[A]
[( ) ]
1− Φ − Φ Φ
Φ = 22 12 21
11
1− Φ
22
Cuando hay una raíz se cumple [A] si además
hay dos raíces se cumple [B]
Se trata de un VAR con mecanismo de
corrección del equilibrio :VEqCM.
9
Caso (3) con exogeneidad
Siempre que
Φ = 1 y Φ = 0 se cumple [A]
22 21
Es decir
⎛ x ⎞ ⎛φ φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ a ⎞
⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x 0 1 x a
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2t 2t−1 2t
⎧ x =φ x +φ x + a
1t 11 1t−1 12 2t−1 1t
⎨
Δx = a
⎩
2t 2t
(9)
10