Table Of Content

шептав ГЕОМЕТРИЯ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1 ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ 2. ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕГАЮЩИМ К НЕЙ УГЛАМ 3. ПО ТРЕМ СТОРОНАМ ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ а е||Ь, если: = ^ 2 ( ^ 3 = ^4) и пи ^1 + ^4 = 180 ( / 2 + ^3 = 180°) СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА. КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ уг.т21» функции 0° 30“ 45- 60е 90° 180 е 1 • у з 811) 0 1 0 Т V2' 2 д/3" 1 1 СОВ 1 0 — 1 2 л/2 1 0 1 л/3” — 0 \3~ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ А .В .П О Г О Р Е Л О З ГЕОМЕТРИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 6--10 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР МОСКВА „ПРОСВЕЩЕНИЕ11 1982 ББК 22.151я72 П43 4306020400—4°Я инф. письмо 103 (03) — 82 @ Издательство «Просвещение», 1982 6 класс ПЛАНИМЕТРИЯ § 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Геометрия — это наука о свойствах геометрических фи гур. Слово «геометрия» — греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с при менением геометрии для измерений на местности. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1). Геометрические фигуры бывают весьма разнообразна т. Часть любой геометрической фигуры является геометриче ской фигурой. Объединение нескольких геометрических фи гур есть снова геометрическая фигура. На риегяке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фи гура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе со ставленной из точек. Геометрия, которая изучается в школе, называется евкли довой, по имени древнегреческого ученого Евклида (1Т1 век до н. э.), создавшего замечательное руководство по матема тике под наз занием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Плани метрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигу-. ры на плоскос-’и. Рис. 1 Рис. 2 3 ТОЧКА И ПРЯМАЯ Основными геометрическими фигурами на плоскости яв ляются точка и прямая. На чертеж точки и прямые нано сятся остро отточенным карандашом. Для построения прямых пользуются линейкой. Точки принято обозначать прописны ми латинскими буквами: А, В, С, П, ... . Прямые обознача ются строчными латинскими буквами: а, Ь, с, й, ... . На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ъ и точ ки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой с или что пря мая а проходит через точки А и С. Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на пря мой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ь. Прямые а и Ъ пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых а и 6. На рисунке 5 вы видите, как с по мощью линейки строится прямая, про ходящая через две заданные точки А и В. О с н о в н ы м и с в о й с т в а м и Рис. 3 принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следую щие два свойства: 11. Какова бы ни была прямая, су ществуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежа щие ей. 12. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например , прямую а на рисунке 4 можно обо значить АС, а прямую Ь можно обозна- Рис. 5 чить ВС. 4 Могут ли д 1е различные прямые иметь более одной точки пересечения? Не могут. Если бы они имели две точки пересе чения, то через зги точки проходили Зы две различные пря мые. А это невозможно, так как через две точки проходит только одна прямая. Таким образом, получается следующее свойство: 1.1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пе ресекаются только в одной точке. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точ ки А, В, С на этой прямой. Точка В лежи*' между точками А и С, она оазделяетп точки А и С. Можно также сказать, что то тки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точ кой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих меж ду двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда гозорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отре зок с концами в точках А и В. На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. У Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной ли нией. Точка X прямой лежит между точками А и В. Поэтому она принадле жит отрезку АВ. Точка X не лежит меж ду точками А и В. Поэтому она не при надлежит отрезку АВ. Посмотрите на рисунок 8. Прямая а разбивает плоскость на две полу плоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы ка кого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересека- 5 етгя с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным по луплоскостям, то отрезок пересекается с прямой. На рисун ке 8 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не Пересе «аегся с прямой а. Точки С и I) принадлежат разным полуплоскостям. Поэтому отрезок СВ пересекает прямую а. О с н о в н ы м и с в о й с т в а м и расположения точек на прямой и на плоскости мы будем называть следующее свойства: П]. Из трех точек на прямой одна и только одна гежит между двумя другими. Нг- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. З а д а ч а (9). Даны прямая и три точки А, В, С, не ле жащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересе-сает ее. Пересекает ли пря мую отрезок ВС? 05т ясните ответ. Р е ш е н и е . Прямая разбивает плоскость на две полу плоскости. Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полу плоскости, что и точна А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости. Таким обра зом, точки В и С лежат в разных полуплоскостях. А это зна чит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую. Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащтгх по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной течкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же примой с общей начальной точкой называются дополнительными. На рисунке 9 гы видите прямую а и точку А на ней. Точка А разбивает прямую а на две полупрямые. Одна из них выде лена жирной линией, а другая — тонкой. Полупрямые обозначаются строч ными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точка ми: начальной и еще какой-нибудь течкой, принадлежащей полупрямой. Рис. 8 При этом начальная точка ставится на 6 первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жир ной линией на рисунке 9, можно обозначить АВ. З а д а ч а (13). На отрезке АВ взята то^ка С. Среди полу прямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полу прямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ. Р е ш е н и е . Данные полупрямые имеют начальной точ кой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полу прямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие. Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые С А и СВ). Точка С разделяет точки А и В. По этому точки Л и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые С А и СВ дополнительные. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ Для измерения отрезков применяются различные изме рительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 10 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. О с н о в н ы м и с в о й с т в а м и измерения отрезков мы будем называть следующие свойства: Ш(. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точ ками А и В. З а д а ч а (16). Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точ Рис. 10 7