5. Konforme Abbildungen

22 Pages·2013·0.2 MB·German

H.J. Oberle Komplexe Funktionen SoSe 2013
5. Konforme Abbildungen
Satz (5.1) (¨uber konforme Abbildungen)
a) Ist f : D → C eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet
D ⊂ C mit f(cid:48)(z) (cid:54)= 0, ∀ z ∈ D, so gelten die folgenden lokalen
Eigenschaften bei z ∈ D:
0
• Der Winkel zwischen zwei sich in z schneidenden Kurven
0
bleibt bei der Transformation w = f(z) erhalten. Ebenso
der Umlaufsinn.
(cid:48)
• |f (z )| ist die f¨ur alle von z ausgehenden Richtun-
0 0
gen gemeinsame L¨angenverzerrung. Insbesondere bleiben
L¨angenverh¨altnisse im Kleinen erhalten.
Abbildungen mit diesen beiden Eigenschaften heißen konforme
Abbildungen.
69
b) Ist w = f(z) eine konforme Abbildung und als Transfor-
mation R2 → R2 stetig differenzierbar, so ist f auch komplex
(cid:48)
differenzierbar und es gilt f (z) (cid:54)= 0.
1
Beweis: (nur zu a)) Sind c und c zwei C -Kurven in D
1 2
(cid:48)
mit c (0) = c (0) = z und c (0) (cid:54)= 0, so gilt f¨ur den Winkel
1 2 0 k
zwischen den Geschwindigkeitsvektoren von c und c
1 2
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
γ = <)(c (0), c (0)) = arg(c (0)) − arg(c (0)).
1 2 2 1
F¨ur die Bildkurven f ◦ c und f ◦ c gilt dann mit (4.8) d)
1 2
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
˜γ = <)(f (z ) c (0), f (z ) c (0))
0 2 0 1
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
= arg(f (z ) c (0)) − arg(f (z ) c (0))
0 2 0 1
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
= arg(f (z )) + arg(c (0)) − arg(f (z )) − arg(c (0))
0 2 0 1
= γ,
70
(cid:13) d (cid:13) (cid:12) (cid:12)
(cid:48) (cid:48) (cid:48) (cid:48)
(cid:13) (f ◦ c ) (0) (cid:13) = (cid:12)f (z ) c (0)(cid:12) = |f (z )| (cid:107) c (0) (cid:107)
1 0 1 0 1
(cid:13) (cid:13) (cid:12) (cid:12)
dt
Definition (5.2) Es sei w = f(z) eine bijektive und konforme
Transformation f : D → W zweier Gebiete D und W in C.
Zu einer vorgegebenen C2–Funktion Φ : D → R setzen wir
−1
Ψ := Φ ◦ f . Ψ heißt die konforme Transformation von Φ
mittels f.
Anwendung: Gesucht ist eine Potentialfunktion Φ (L¨osung von
∆Φ = 0) auf einem physikalischen Bereich D. Kennt man nun
eine konforme Transformation f des physikalischen Bereichs auf
einen Modellbereich W und eine Potentialfunktion Ψ auf W, so
ist durch Φ := Ψ ◦ f eine gesuchte Potentialfunktion gegeben.
71
f
−→
D ←− W
−1
f
 
Φ   Ψ
(cid:121) (cid:121)
R R
Φ(z): gesuchte Potentialfunktion, D: physikalischer Bereich,
W: Modellbereich, Ψ(w): bekannte Potentialfunktion
Definition (5.3) Zu einer C1-Funktion Φ : D → R heißt
∂Φ ∂Φ
grad Φ(z) := + i
∂x ∂y
der komplexe Gradient von Φ.
72
Satz (5.4) Unter den obigen Voraussetzungen an Φ, Ψ und f
und entsprechenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen gelten
a) grad Φ(z) = grad Ψ(w) · f(cid:48)(z), w = f(z)
(cid:48) 2
b) ∆Φ(z) = ∆Ψ(w) · |f (z)|
Beweis: zu a): Aus Φ(x, y) = Ψ(u(x, y), v(x, y)) folgt
Φ = Ψ u + Ψ v , Φ = Ψ u + Ψ v ,
x u x v x y u y v y
⇒ grad Φ = (Ψ u + Ψ v ) + i (Ψ u + Ψ v )
u x v x u y v y
= Ψ (u + iu ) + Ψ (v + iv )
u x y v x y
= Ψ (u − iv ) + i Ψ (u − iv )
u x x v x x
= grad Ψ(w) · f(cid:48)(z).
73
zu b): Nochmalige Differentiation liefert
2 2
Φ = Ψ u + 2 Ψ u v + Ψ v + Ψ u + Ψ v
xx uu x uv x x v v x u xx v xx
2 2
Φ = Ψ u + 2 Ψ u v + Ψ v + Ψ u + Ψ v
y y uu y uv y y v v y u y y v y y
⇒
2 2 2 2
∆Φ = Ψ [u + u ] + 2 Ψu v[u v + u v ] + Ψ [v + v ]
uu x y x x y y v v x y
+ Ψ ∆u + Ψ ∆v.
u v
Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gel-
2 2 2 2 (cid:48) 2
ten nun u + u = v + v = |f (z)| , u v + u v = 0, sowie
x y x y x x y y
∆u = ∆v = 0.
(cid:48) 2
Damit folgt aus der obigen Gleichung ∆Φ = ∆Ψ |f (z)| .
74
Anwendung I: RWA f¨ur die 2-dim. Laplace-Gleichung
Zu l¨osen sei das Dirichlet-Randwertproblem
∆Φ = 0, z ∈ D, Φ(z) = Φ (z), z ∈ ∂D, (5.5)
0
f¨ur ein beschr¨anktes, einfach zusammenh¨angendes Gebiet D ⊂ C.
Wir nehmen an, dass sich D (einschließlich Rand) bijektiv und
stetig auf K (0) abbilden l¨asst verm¨oge einer Transformation
1
−1
f : D → K (0), die auf D selbst konform ist. Mit Ψ := Φ ◦ f
1
geht das physikalische Problem dann ¨uber in das Modellproblem
∆Ψ(w) = 0, |w| < 1, Ψ(w) = Ψ (w), |w| = 1. (5.6)
0
Mit der Fourierschen Methode l¨asst sich die L¨osung des Modell-
problems explizit angeben (vgl. Vorlesung Diff.gln. II).
In komplexer Schreibweise (Polarkoordinaten) gilt
75
∞
iϕ (cid:88) |k| ik ϕ
Ψ(r e ) = γ r e , (5.7)
k
k=−∞
wobei die γ die (komplexen) Fourier-Koeffizienten der transfor-
k
iϕ −1 iϕ
mierten Randfunktion Ψ (e ) := Φ (f (e )) sind.
0 0
Die R¨ucktransformation ergibt
∞
(cid:88) |k| ik arg (f(z))
Φ(z) = Ψ(f(z)) = γ |f(z)| e . (5.8)
k
k=−∞
Anwendung II: Ebene Potentialstro¨mung
Wir betrachten eine station¨are, wirbel- und quellenfreie, ebene
Umstr¨omung eines Zylinders (mit z-Achse als Symmetrieachse
und Querschnitt K ⊂ C). Bezeichnet u : R2 \ K → R2 das
Geschwindigkeitsfeld der Str¨omung, so gelten
76
∂u ∂u
2 1
(a) rot u(x, y) = − = 0,
∂x ∂y
(5.9)
∂u ∂u
1 2
(b) div u(x, y) = + = 0.
∂x ∂y
Wir k¨onnen annehmen, dass D := R2 \ K ein einfach zusam-
menh¨angendes Gebiet im R2 ist. Dann folgt aus (5.9) die Exi-
stenz zweier Potentiale, n¨amlich
(a) U : D → R, ∇U = −u(x, y), Geschwindigkeitspotential,
(b) V : D → R, ∇V = (u , −u )T, Stromfunktion. (5.10)
2 1
Die Stromlinien sind die L¨osungen des Differentialgleichungssy-
(cid:48) (cid:48)
stems x = u , y = u . Damit sind die Stromlinien gegeben
1 2
durch
V (x, y) = const. (5.11)
77
d
(cid:48) (cid:48)
Denn: V (x(t), y(t)) = V x + V y = u u − u u = 0.
x y 2 1 1 2
dt
Die Stromlinien sind also die H¨ohenlinien der Stromfunktion V .
Definition (5.12) Die komplexe Funktion Φ := U + i V heißt
das komplexe Str¨omungspotential.
Φ ist eine auf D holomorphe Funktion, da die Cauchy- Riemann-
schen Differentialgleichungen erf¨ullt sind
U − V = −u − (−u ) = 0, U + V = −u + u = 0.
x y 1 1 y x 2 2
Man kann das Geschwindigkeitsfeld u der Str¨omung auch
folgendermaßen aus dem komplexen Str¨omungspotential zur¨uck
erhalten:
u = u + i u = − Φ(cid:48)(z), (5.13)
1 2
(cid:48)
denn: Φ (z) = U + i V = −u + i u .
x x 1 2
78