4. Algebraische Strukturen

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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:Verkn¨upfung
4. Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe, K¨orper
Die bekannten Zahlenmengen besitzen Struktur-Eigenschaften, die wir in
abstrakter Form ausdru¨cken k¨onnen.
4.1 Definition: Verknu¨pfung
Eine Verkn¨upfung auf (oder in) einer Menge M ist eine Vorschrift, die je zwei
Elementen a und b aus M (unter Beachtung der Reihenfolge) ein weiteres
Element c von M zuordnet, also eine Abbildung
:M M M, (a,b) (a,b).
∗ × → 7→∗
Anstatt (a,b) schreiben wir meistens a b.
∗ ∗
Notation: Als Symbol fu¨r eine Verknu¨pfung verwendet man auch die u¨blichen
Rechensymbole ‘+’, ‘’ (bei Zahlenmengen), oder , , .
· ◦ ⊕ ⊙
Bei der Multiplikations-Schreibweisea b l¨asst man den Punkt oft weg.
·
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:Gruppe
4.A Gruppen
4.3 Definition: Gruppe
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknu¨pfung auf G,
·
geschrieben (G, ), so dass folgende drei Axiome gelten:
·
(G1) Die Verknu¨pfung ist assoziativ: Fu¨r alle a,b,c G gilt
∈
a (b c)=(a b) c.
· · · ·
(G2) Es gibt ein Element e G mit der Eigenschaft
∈
e a=a fu¨r alle a G.
· ∈
e heißt neutrales Element der Gruppe G.
(G3) Zu jedem Element a G gibt es ein a′ G, so dass
∈ ∈
a′ a=e.
·
a′ heißt inverses Element zu a.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Satz
Die Gruppenaxiome lassen weitere Schlu¨sse zu, z.B. die Eindeutigkeit von
neutralem Element e und Inversem a′ zu a G.
∈
4.5 Satz
Es sei (G, ) eine Gruppe.
·
a) Das neutrale Element e G ist eindeutig bestimmt und es gilt
∈
e a=a e =a fu¨r alle a G. (1)
· · ∈
b) Das inverse Element a′ zu a G ist eindeutig bestimmt und es gilt
∈
a′ a=a a′ =e. (2)
· ·
Notation:
Bei der Verknu¨pfung ‘+’: Das neutrale Element wird mit 0 bezeichnet, und
das inverse Element von a wird mit ( a) bezeichnet und das Negative von a
−
genannt. Anstatt a+( b) schreibt man kurz a b.
− −
Bei der Verknu¨pfung ‘’: Das neutrale Element wird oft mit 1 bezeichnet, und
·
das inverse Element von a wird mit a−1 bezeichnet.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Satz:WeitereRechenregeln
4.6 Satz: WeitereRechenregeln
Es sei (G, ) eine Gruppe.
·
a) Fu¨r a,b G gilt
∈
(a−1)−1 =a, (ab)−1 =b−1a−1.
b) Es gelten die folgenden Ku¨rzungsregeln:
ax =ay x =y, xa=ya x =y.
⇒ ⇒
Bemerkung:
Man vergleiche die Rechenregel zu (ab)−1 mit Satz 2.25.
Bei einer Gruppe (G,+) bedeuten diese Regeln
( a)=a, (a+b)=( b)+( a),
− − − − −
a+x =a+y = x =y, x +a=y +a= x =y.
⇒ ⇒
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition
4.7 Definition
Eine Gruppe (G, ), in der auch das Kommutativgesetz
·
a b =b a fu¨r alle a,b G
· · ∈
gilt, heißt abelsch a (oder kommutativ).
anachNielsHenrikAbel,1802–1829, norwegischer Mathematiker
Beispiele:
a) DieGruppen (Z,+),(Q,+)und(R,+)(mitder¨ublichenAddition) sindabelsch.
b) WirsetzenQ∗=Q\{0}undR∗=R\{0}.DieGruppen(Q∗,·)und(R∗,·)(mitder
u¨blichen Multiplikation)sindabelsch.
c) DiesymmetrischeGruppeSn istfu¨rjedesn≥3nichtabelsch.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:Untergruppe
4.8 Definition: Untergruppe
Es sei (G, ) eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge H G heißt Untergruppe,
· ⊆
wenn mit a,b H auch ab H sowie a−1 H gilt.
∈ ∈ ∈
Insbesondere enth¨alt H dann das neutrale Element von G, und (H, ) ist mit der
·
vorgegebenen Operation selbst eine Gruppe.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:Homomorphismus
Oft betrachten wir die “strukturerhaltenden” Abbildungen zwischen zwei Gruppen.
4.10 Definition: Homomorphismus
Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung φ:G H heißt
· ⊙ →
Homomorphismus,wenn fu¨r alle a,b G
∈
φ(a b)=φ(a) φ(b)
· ⊙
gilt. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:Ring
4.B Ringe und K¨orper
4.11 Definition: Ring
Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknu¨pfungen + und (genannt
·
Addition und Multiplikation),fu¨r die folgendes gilt:
(R1) (R,+) ist eine abelsche Gruppe.
(R2) Die Verknu¨pfung ist assoziativ.
·
(R3) Es gelten die Distributivgesetze
a (b+c)=a b+a c
· · · fu¨r alle a,b,c R.
(a+b) c =a c +b c ∈
· · · (cid:27)
FallsauchdieMultiplikationdasKommutativgesetz erfu¨llt,heißtR einkommutativerRing.
Einestrukturerhaltende Abbildung φ:R1→R2 zwischenRingen(R1,+,·)und(R2,⊕,⊙)
heißt(Ring-)Homomorphismus:
φ(a+b) = φ(a)⊕φ(b) fu¨rallea,b∈R1,
φ(a·b) = φ(a)⊙φ(b) fu¨rallea,b∈R1.
Istφzus¨atzlichbijektiv,soheißtφ(Ring-)Isomorphismus.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper Definition:K¨orper
Wenn man den Begriff eines Ringes benutzt, kann man die Definition eines
K¨orpers (vgl. Analysis I) sehr kurz hinschreiben:
Ein K¨orper K ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1=0, in dem jedes
6
Element von K∗ :=K 0 ein Inverses bezu¨glich der Multiplikation besitzt.
\{ }
Im Einzelnen bedeutet dies:
4.14 Definition: K¨orper
Ein K¨orper ist eine Menge K zusammen mit zwei Verknu¨pfungen + und
·
(genannt Addition und Multiplikation),fu¨r die folgendes gilt:
(K1) (K,+) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit 0 und das
Negative von a K mit ( a) bezeichnet.
∈ −
(K2) (K∗ =K 0 , ) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element wird mit
\{ } ·
1 und das Inverse von a K mit a−1 oder 1 bezeichnet.
∈ a
(K3) Es gelten die Distributivgesetze (R3) in 4.11.
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AlgebraischeStrukturen:Gruppen,Ringe,K¨orper DasRechnenmodulom
4.C Der Ring Z der Reste modulo m
m
Den Ring der “Restklassen modulo m” beschreiben wir hier in einer vereinfachten
Form, die auch Mittelstufen-Schu¨lern zug¨anglich ist. Im Abschnitt 5 geben wir
eine neue Formulierung an, die sich viel st¨arker auf das Konzept der Gruppen und
Ringe stu¨tzt.
4.16 Das Rechnen modulo m (siehe [F; Abschnitt 1.3])
Fu¨r ein m N mit m 2 fassen wir die Menge
∈ ≥
Z := 0,1,...,m 1 Z
m
{ − }⊆
als die Menge der Reste modulo m auf (siehe Satz 3.4). Addition und
Multiplikation (modulo m) sind definiert durch
x y :=(x +y)modm
m
⊕
x y :=(x y)modm
m
⊙ ·
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