Механика жидкости и газа. В 4 ч. Ч. 3

56 Pages·01.056 MB·Russian

by  Качанов, И. В.

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра гидравлики
У

Т

Н
И.В. Качанов
В.В. Кулебякин
Б
В.К. Недбальский

й

и
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
р
Курс лекций
о

В 4 частях
т

и Ч а с т ь 3

з

о

п

е

Р

М и н с к
Б Н Т У
2 0 1 2

1
УДК 532.5 – 533.6
ББК 30.123я7
К 30

У
Издается с 2010 года
Т

Рецензенты: Н
доктор физико-математических наук С.П. Фисенко,
доктор физико-математических наук В.А. Бабенко
Б

Качанов, И.В.
й
К 30 Механика жидкости и газа: курс лекций: в 4 ч. / И.В. Качанов,
В.В. Кулебякин, В.К. Недбальский. – Минск: БНТУ, 2012. – Ч. 3. – 56 с.
и

ISBN 978-985-525-769-2 (Ч. 3).
р

о
Издание содержит изложение основных разделов механики
жидкости и газа в объеме курса лекций, предусмотренных учебным
т
планом для строительных специальностей БНТУ. Может быть ис-
пользовано в самостоятельной работе студентов, для подготовки к
и
экзаменам и зачетам, при проведении лабораторных работ и практи-
ческих занятий, окажет большую помощь студентам других специ-
з
альностей, изучающих гидравлику.
Частьо 2 настоящего издания вышла в 2011 г. в БНТУ.

п УДК 532.5 – 533.6
ББК 30.123я7
е

Р

ISBN 978-985-525-769-2 (Ч. 3)  Качанов И.В.,
ISBN 978-985-525-261-1 Кулебякин В.В.,
Недбальский В.К., 2012

 БНТУ, 2012
2
1. ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Одномерными называются потоки, в которых основные пара-
метры течения (скорости, давление и др.) зависят лишь от одной У
геометрической координаты, направление которой совпадает с
направлением вектора скорости. Примером такого течения являТется
рассматривавшееся ранее движение жидкости в элементарной труб-
ке тока, ввиду малости поперечного сечения которой скНорость и
давление в нем постоянны. Использование модели одномерных те-
чений позволяет достаточно просто решать многие важные практи-
Б
ческие задачи.
Раздел прикладной гидромеханики, применяющий эту модель

течения, называют гидравликой.
й
Для решения широкого круга инженерных задач плодотворной
оказалась так называемая струйная моидель потока. Согласно этой
модели поток представляется состоящим из бесконечного множе-
ства элементарных жидких струек.р При рассмотрении потока попе-
речные сечения в нем выбираются так, чтобы пересекающие их ли-
о
нии тока в каждой точке сечения были направлены по нормали.
В этом случае сечение потока называется живым. Вообще говоря,
т
живое сечение представляет собой изогнутую поверхность, но если
линии тока в элементиарных жидких струйках, составляющих его,
параллельны, то живое сечение будет плоским.
з
Ранее было показано, что объемный расход элементарной струй-
ки жидкости моожет быть определен как

п dQ=udS,
е
где u – скорость (постоянная) в поперечном сечении элементарной
Ржидкой струйки;
dS – площадь ее сечения.
В соответствии со струйной моделью расход потока можно
определить как

Q=∫∫u(r)dS. (1.1)
S
3
Рассмотрим движение вяз-
кой жидкости в трубе круглого
поперечного сечения. Для ре-
ального течения вязкой жидко-
сти распределение скоростей в У
поперечном сечении трубопро-
вода (эпюра скоростей) буТдет
v неравномерным, в частности,

может иметь вид, покНазанный
на рис. 1.1.
Рис. 1.1
Соответственно запись u(r) в формуле (1.1) ознБачает, что мест-
( )
ные скорости в сечении трубы изменяются по радиусу, а u r

представляет собой закон изменения скоросйти, т. е. является мате-
матическим описанием эпюры скоростей. Следовательно, для того
чтобы вычислить расход по этой завиисимости, необходимо знать
уравнение эпюры скоростей, которое, вообще говоря, априори не-
р
известно. С чисто математических позиций интеграл в правой части
выражает объем эпюры скорости. Представим теперь, что при
о
неизменном расходе Q жидкость становится идеальной, т. е. теряет
вязкость. Это, очевидно, птриведет к перестройке эпюры скоростей,
причем, поскольку исчезнут силы вязкого трения, все частицы жид-
и
кости будут двигаться с некоторой одинаковой скоростью V. При
этом ввиду того, что расход остается неизменным, объем новой
з
эпюры скоростей равен объему старой. Таким образом, реализуется
о
условие u(r)=V =const и соответственно получаем
п
Q = ∫∫VdS =V∫∫ dS =VS = ∫∫u(r)dS;

е
S S S

Р
Q
V = .
S

Скорость V, введенная таким образом, носит название средне-
расходной либо средней скорости. Следовательно, формально
средняя скорость может быть определена как фиктивная скорость, с
которой должны были бы двигаться все частицы жидкости для того,
4
чтобы расход был равен своему истинному значению. Заменив ис-
тинные, неравномерно распределенные по сечению скорости сред-
ней скоростью V и приняв давление постоянным по живому сече-
нию, заменяем рассмотрение реального потока течением, в котором
все частицы жидкости имеют одну и ту же скорость. С физико-У
математической точки зрения использование понятия средней ско-
рости позволяет свести задачу о движении жидкости в трубах иТ ка-
налах к одномерной. Для такого течения решением упрощенной
одномерной задачи является получение удобной для техНнических
расчетов зависимости распределения давления по длине трубы.
Если поперечное сечение трубы или канала изменяется по длине,
Б
то поток является трехмерным, но в некоторых случаях приближен-
но может быть сведен к одномерной модели. Это возможно, если

кривизна линий тока и углы их расхождения малы. Потоки, удовле-
й
творяющие этим условиям, называют плавно изменяющимися (па-
раллельно струйными), живые сечения иих слабо искривлены и мо-
гут считаться плоскими. Выбирая продольную координату вдоль оси
потока, проходящей через центры ринерции живых сечений, плавно
изменяющийся поток можно рассматривать как одномерный.
о
Рассмотрим свойства плавно изменяющегося движения несжи-
маемой жидкости в трубах и каналах с точки зрения перехода к од-
т
номерной модели. Если поток считать установившимся, то все про-
изводные по времении, входящие в уравнения движения, равны ну-
лю. Если исходить из одномерной модели, то малы и могут быть
з
приняты равными нулю также поперечные компоненты скорости
u и u . Проименительно к этому случаю система дифференциаль-
y z
ных уравпнений Навье–Стокса принимает вид

е 1 ∂p ∂u
X − =u x ;
ρ ∂x x ∂x
Р

1 ∂p
Y − =0;
ρ ∂y

1 ∂p
Z − =0.
ρ ∂z
5
Последние два уравнения полностью совпадают с уравнениями
гидростатики, а это означает, что в пределах живого сечения дви-
жущейся жидкости давление распределено по гидростатическому
закону. В частности, если объемной силой является сила тяжести,
то для произвольной точки, находящейся в живом сечении, имеем У

Y = 0; Т

Z = – g cos α, Н

где α – угол между направлением вертикали и нормалью к вектору
Б
скорости.
Следовательно, в пределах живого сечения (для Х = const) гидро-

статический напор постоянен:
й

p и
z+ =const
ρg
р
p
(либо gz+ =const). о
ρ
Этот вывод приближентно справедлив для плавно изменяющихся
течений и позволяет распространить уравнение Бернулли на поток ко-
и
нечных размеров при введении в него средних по сечению величин.
з

о

п

е

Р

6
2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Одним из оказавшихся наиболее плодотворными путей решения
инженерных задач расчета распределения давления при течении У
жидкостей в трубах и каналах, явилось обобщение уравнения Бер-
нулли на установившийся поток вязкой жидкости. В основу эТтого
метода положена струйная модель – представление о потоке как о
совокупности элементарных струек, для каждой из которНых спра-
ведливо уравнение Бернулли.
Предположим, что движение установившееся и поток в рассмат-
Б
риваемом сечении плавно изменяющийся (или одномерный). Опре-
делим энергию, переносимую за секунду массой элементарной

струйки через ее сечение (т. е. удельную мощность струйки). Эта
й
величина может быть найдена как произведение полной удельной
p u2 и
энергии струйки (gz+ + ) на ее массовый расход (ρudS ).
ρ 2
р
В справедливости этого легко убедиться непосредственно. Действи-
тельно, размерность удельной оэнергии – Дж/кг, размерность массо-
вого расхода – кг/с, их произведение
т

иДж кг Дж
⋅ = =Вт.
кг с с
з

Таким оброазом, выражение для потока энергии в единицу време-
ни (мощности потока) через сечение элементарной струйки выгля-
п
дит как

е
 p u2 
Р dN =gz+ + ρudS.
 ρ 2 

Соответствующая величина мощности всего потока исходя из
струйной модели представляется выражением

7
 p u2 
N =∫∫gz+ + ρudS .
 ρ 2 
S

Учитывая, что жидкость несжимаема: У

 p ρ Т
N =ρ∫∫gz+ udS + ∫∫u3dS.
 ρ  2
S S Н

Поскольку поток жидкости плавно изменяющийся, то
Б

p
gz+ =const.
ρ й

и
Тогда, преобразуя выражение для потока энергии, получим

р
 p  p
ρgz+ ∫∫оudS =ρgz+ Q;
 ρ   ρ 
S
т
и p ρ
N =gz+ ρQ+ ∫∫u3dS.
з  ρ  2
S

о
В полученном соотношении второй член представляет собой по-
ток кинептической энергии, переносимой в единицу времени через
сечение S.
Реазделим обе части полученного уравнения на массовый расход
ρQ, т. е. отнесем это соотношение, как и уравнение Бернулли для
Р
струйки, к единице массы. Таким образом, имеем

N p 1
E = = gz+ + ∫∫u3dS.
ρQ ρ 2Q
S
8
Разделив и умножив третий член полученного выражения на
квадрат средней скорости V2, с учетом того, что Q =VS , придем к

соотношению

p V2 1 У
E = gz+ + ∫∫u3dS.
ρ 2 V3S
S Т

Пусть Н

1
∫∫u3dS =α, Б
V3S
S

тогда й

p αиV2
E = gz+ + . (2.1)
ρр 2

о
Величина α носит название коэффициента кинетической энер-
гии либо коэффициента Кориолиса.
т
Разделив обе части формулы (2.1) на ускорение свободного па-
и
дения g, выразим это соотношение в размерностях длины, т. е. в
форме напоров:
з

о E p αV2
= H = z+ + .
g ρg 2g
п

е Рассмотрим движение пото-
2
ка вязкой жидкости в канале от
Р 1
сечения 1–1 к сечению 2–2
(рис. 2.1). Обозначим удельную
энергию потока в сечении 1–1
2 через Е , а в 2–2 – Е .
1 2
Так как жидкость вязкая, то
1 процесс ее перемещения сопро-
вождается диссипацией, т. е.
Рис. 2.1
9
некоторая часть механической энергии необратимо расходуется на
преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, по-
этому Е < Е . Баланс энергии для выбранных сечений может быть
2 1
записан в виде
У
E = E +∆e,
1 2
Т
где ∆e – потери энергии на трение.
Н
Подставляя значения Е и Е , получаем
1 2

Б
p αV2 p α V2
gz + 1 + 1 1 = gz + 2 + 2 2 +∆e.
1 ρ 2 2 ρ 2
й

Это и есть энергетическая форма уравнения Бернулли для потока
и
вязкой жидкости.
В практических приложениях чаще используют геометрическую
р
форму уравнения Бернулли, выраженную в напорах:
о
p αV2 p α V2
z + 1 + 1т1 = z + 2 + 2 2 +∆h,
1 ρg 2g 2 ρg 2g
и

∆e з
где =∆h – потери напора.
g о
Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при рас-
п
четах систем гидравлического привода обычно используют уравне-
ние Беернулли в форме давлений:

Р ραV2 ρα V2
ρgz + p + 1 1 =ρgz + p + 2 2 +∆p,
1 1 2 2 2 2

где ∆p – потери давления.
Обычно при этом член ρgz оказывается пренебрежимо малым
по сравнению с остальными, тогда уравнение принимает вид
10