3D-Spannungsanalyse von linear elastisch homogenen Körpern: Analytische Lösungsmethoden für kontinuumsmechanische Probleme

69 Pages·2017·2.97 MB·German

by  Manfred Hahn

Manfred Hahn · Rafael D. Jarzabek
3D-Spannungsanalyse
von linear elastisch
homogenen Körpern
Analytische Lösungsmethoden für
kontinuumsmechanische Probleme
essentials
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Manfred Hahn Rafael D. Jarzabek
(cid:129)
3D-Spannungsanalyse
von linear elastisch
homogenen Körpern
Analytische Lösungsmethoden für
kontinuumsmechanische Probleme
ManfredHahn Rafael D.Jarzabek
Institut für Institut für Statik undDynamikder
Maschinenbau, Festkörpermechanik Luft-undRaumfahrtkonstruktionen
Technische UniversitätDresden UniversitätStuttgart
Dresden,Deutschland Stuttgart, Deutschland
ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716 (electronic)
essentials
ISBN978-3-658-17273-2 ISBN978-3-658-17274-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-17274-9
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Was Sie in diesem essential finden können
(cid:129) GeschichtlicheEntwicklungvonSpannungsfunktionennachMAXWELL,MORERA
undanderen
(cid:129) Verschiebungsansatz nach PAGANO für räumliche Probleme
(cid:129) DiskussionverschiedenerSpannungsfunktionenmachMAXWELLfür3D-Probleme
(cid:129) Spannungsanalyse dicker Platten mittels einer Spannungsfunktion und
Verschiebungsfunktionen
(cid:129) Analytische Lösungen zur Verifikation von numerischen Modellen
(cid:129) Nachweis überdieÄquivalenz vonVerschiebungsfunktionen undSpannungs-
funktionen
V
Vorwort
Seit der Einführung und Etablierung numerischer Methoden haben analytische
Lösungen in der Kontinuumsmechanik an Bedeutung verloren. Jedoch sind die
analytischenMethodenundLösungenzurErgebnisevaluierungundParameterstu-
die von numerischen Ergebnissen von essentieller Bedeutung.
ImletztenJahrhundertwurdenverschiedeneLösungsmöglichkeitenzurBestim-
mungvonSpannungeninlinearelastischenKörpernvorgeschlagen.Dabeiwurden
Lösungsmethoden für den 2D-Raum intensiv diskutiert. Wegen der Komplexität
räumlicherProblemewurden 3D-Ansätzelediglich kurzangerissen,davieleThe-
orien und Ansätze zu keinen Ergebnissen geführt haben. Deshalb werden in die-
ser Veröffentlichung die existierenden 3D-Lösungsverfahren dargelegt und weiter
entwickelt, sodass die vorgestellten analytischen Methoden und deren Ergebnisse
zurVerifikationundValidierungvonnumerischenMethodenherangezogenwerden
können.
Dresden, Deutschland Manfred Hahn
Technische Universität Dresden
Stuttgart, Deutschland Rafael D. Jarzabek
Universität Stuttgart
April 2017
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Fundamentale Gesetzmäßigkeiten der
linear elastischen Kontinuumsmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Spannungs-, Dehnungs- und Verschiebungsfunktionen. . . . . . . . 13
4 Analytische Lösungen im 3D-Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IX
1
Einführung
Dieses essential gibt dem Leser die Möglichkeit, die vorgestellten analytischen
Lösungen von linear elastischen Körpern im 3D-Raum nachzuvollziehen und ei-
genezuentwickeln.DieseanalytischenLösungensindwichtig,dasiezurVerifi-
kation,ValidierungundParameterstudievonneuenundbestehendennumerischen
Lösungsmethodendienenkönnen.FürdenFall,dasskeineanalytischenLösungen
fürräumlicheProblemevorliegen,istmanaufteureundlangwierigeExperimente
angewiesen.AlsBasisfürdieEntwicklungvonräumlichenanalytischenLösungen
dienenverschiedenestateoftheart-Ansätze,welchehieraufgeführtunderläutert
werden.
ZurSpannungsberechnungwerdenheutzutagenumerischeMethodenbzw.Com-
puterprogrammeherangezogen.DabeiwirddennumerischenLösungenmeistblind
vertraut,wasnichtimmergutist.AlsIngenieursolltemandieGrenzenbzw.Schwä-
chendernumerischenVerfahrenkennen.Abb.1.1zeigtanhandeinerGegenüber-
stellungderanalytischenunddernumerischenLösung,dassfüreinigeSpannungen
numerischeFehlerentstehenkönnen.WoherdieseFehlerkommenundwiediese
beseitigtwerdenkönnen,istdemProgrammiereroderdemAnwenderdesnumeri-
schenProgrammsüberlassen.WichtigistjedochdieRealisierungbzw.Wahrneh-
mung,dassnumerischeFehlerentstehen.
VorErfindungundEinsatzdesComputerslagderFokusaufdenanalytischen
Methoden.TrotzallerAnstrengungensindnursehrwenigeräumlicheanalytische
LösungeninderKontinuumsmechanikbekannt,hingegenabervieleim2D-Raum.
DiegeringeAnzahlanalytischerLösungenim3D-Raumistdarinbegründet,dass
imstationärenFallder3D-Kontinuumsmechanik15Gleichungenvorliegen,dieal-
leerfülltwerdenmüssen.DabeiwirdbereitsdieSymmetriedesSpannungstensors
vorausgesetzt.OhnedieSymmetriedesSpannungstensorswären18Gleichungen
und 18 Unbekannte vorhanden. Von den 15 Gleichungen stammen drei aus dem
Gleichgewicht, sechs aus den kinematischen Beziehungen und sechs weitere aus
©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 1
M.HahnundR.D.Jarzabek,3D-Spannungsanalysevonlinearelastisch
homogenenKörpern,essentials,DOI10.1007/978-3-658-17274-9_1
2 1 Einführung
Abb.1.1 VergleichderanalytischundnumerischberechnetenSpannungen.ZurGenerierung
derErgebnissewurdefürdieAbmaßea = 22,5mm,b = 15mm,h = 4,5mm,fürdie
bisinusförmigeLastaufderOberseiteq0 = 10MPa,fürdasElastizitätsmodulE =75MPa
undfürdieQuerkontraktionν = 0,25verwendet.AufdieBerechnungsmethodenderana-
lytischenKontinuumsmechanikwirdinAbschn.4.4.1eingegangen.DienumerischeLösung
wurdemittelsquaderförmigenfinitenElementenerzeugt,wobeiinx-Richtung60Elemente,
iny-Richtung40Elementeundinz-Richtung12Elementeverwendetwurden.AlsVerschie-
bungsansatzdienteeinlinearerAnsatz.EinVergleichderanalytischundnumerischberechne-
tenSpannungenzeigt,dassdieLängsspannungeninx-undy-Richtunggutübereinstimmen.
DieLängsspannunginz-RichtungunddieSchubspannungτyz zeigenjedochvoralleman
denPlattenober-und-unterseitenFehlerauf.