Table Of Content

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. Кочаев 2D-наноакустика Ульяновск УлГТУ 2014 УДК 534-16+534.212 ББК 22.37 К 87 Рецензенты: д-р техн. наук, директор Ульяновского филиала Института радио- техники и электроники им. В. А. Котельникова РАН В. А. Сергеев; канд. техн. наук, доцент кафедры физики Ульяновского государст- венного педагогического университета им. И. Н. Ульянова В. П. Бондина Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой физики Ульяновского государст- венного технического университета Р. А. Браже УДК 534-16+534.212 Кочаев, А. И. 2D-наноакустика / А. И. Кочаев; под науч. ред. Р. А. Браже. – Ульяновск : УлГТУ, 2014. – 76 с. Изложены основы акустики графеновых и графеноподобных материалов – двумерных наноразмерных материалов. Представлены атомные модели углеродных и кремниевых 2D-супракристаллов. Сочетанием методов ab initio и сильной связи рассчитаны упругие постоянные таких материалов. С использованием оригинальных ме- тодов были найдены характерные скорости распространения чисто продольных, чисто поперечных и изгибных упругих волн в графене и супракристаллах. Исследованы способы возбуждения упругих волн в наноразмерных пьезоэлектрических материалах. Монография предназначена для исследователей, аспирантов и студентов, специализирующихся в области акустики наноразмер- ных материалов. © Кочаев А. И., 2014 ISBN 978-5-9795-1337-9 © Оформление. УлГТУ, 2014 ОГЛАВЛЕНИЕ Список основных обозначений ......................................................................... 4 Предисловие ......................................................................................................... 7 Введение ................................................................................................................ 9 Глава 1. Графеноподобные 2D-супракристаллические материалы и их физические свойства ............................................................ 13 1.1. Строение и симметрия ................................................................................ 13 1.2. Термодинамическая устойчивость ............................................................ 15 1.3. Упругие характеристики ............................................................................ 18 1.4. Теплопроводность ....................................................................................... 32 1.5. Электропроводность ................................................................................... 38 Глава 2. Распространение упругих волн в 2D-супракристаллах .............. 42 2.1. Чисто продольные и чисто поперечные упругие волны в 2D-супракристаллах ................................................................................. 42 2.2. Изгибные упругие волны в 2D-супракристаллах .................................... 47 Глава 3. Возможности практического использования упругих волн в 2D-супракристаллах .............................................................................. 54 3.1. Способы возбуждения и приема упругих волн ........................................ 54 3.2. Пьезоэлектрические преобразователи на основе периодически перфорированных графеноподобных структур ........................................................................................................ 56 Заключение ........................................................................................................... 70 Библиографический список .............................................................................. 71 3 СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 4mm, 6mm – класс симметрии; a – характерный радиус-вектор сферической системы координат; a – боровский радиус; 0 a – направляющие косинусы подвижной системы координат относитель- i но кристаллофизической; с …с – компоненты тензора модулей упругости; 11 66 с – тензор модулей упругости; iklm c – «ужесточенный» тензор модулей упругости; iklm [c ] – матрица эффективных модулей упругости; 11 I – сила тока; D – диаметр нанотрубки; D – двумерный модуль изгиба; 2 d – длина ребра супраячейки; E – двумерный модуль Юнга; 2 E – энергия образования связи; BF E – энергия, приходящаяся на один атом; atom E – энергия, приходящаяся на одну связь; bond E – ширина запрещенной зоны; g E – энергия металлической связи; met E – энергия связи на пару атомов; pair E – энергия отталкивания; per e – элементарный заряд; e – тензор пьезоэлектрических модулей; lik G – универсальный квант теплопроводности; 0 G – коэффициент теплопроводности; ph – приведенная постоянная Планка; 4 k – волновой вектор; k – постоянная Больцмана; В К – коэффициент электромеханической связи; L – чисто продольная волна, кривизна изгиба; L – длина нанотрубки; 0 l – межатомное расстояние, средняя длина пробега фононов; m – плоскость симметрии, масса свободного электрона, фононная мода; N – число Авогадро; A n – число ближайших соседей атома; 2 Р – вероятность; Р – вектор электрической поляризованности; i R – радиус инерции оболочки относительно оси, перпендикулярной плос- кости изгиба; r – радиус-вектор; S – интеграл перекрытия электронных орбиталей; s – удельная поверхность; 2 s – тензор упругих податливостей; ijkl sp – тип гибридизации; T – чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х ʹ; 2 2 T – чисто поперечная упругая волна, поляризованная вдоль х ʹ; 3 3 t – время; U – групповая скорость изгибной волны, напряжение; u – вектор смещения частиц (поляризации волны); u′, v′ – внутренние смещения; V – матричный элемент оператора энергии металлизации; 1 V – матричный элемент оператора ковалентной энергии; 2 V – матричный элемент оператора полярной энергии; 3 v – фазовая скорость волны; 5 W – энергия центрального межатомного взаимодействия; C W – энергия нецентрального межатомного взаимодействия; NC w – плотность энергии упругой волны; Z – характеристический акустический импеданс; 0 (X, Y, Z) – кристаллографическая система координат; (x , x , x ) – кристаллофизическая система координат; 1 2 3 (x ′, x ′, x ′) – произвольная подвижная ортогональная система координат; 1 2 3 α – константа центрального межатомного взаимодействия; α – степень ковалентности; с β – константа нецентрального межатомного взаимодействия; δ – расстояние между слоями в графене; δ(kw) – безразмерное активное сопротивление; γ – тензор деформаций; lm ∆ – оператор Лапласа; ε – тензор диэлектрических проницаемостей; rs  – угол поворота каждой из входящих в σ-связь орбиталей; η – коэффициент, зависящий от типа гибридизации; 2 λ – коэффициент, который выражается через матричные элементы опера- тора ковалентной энергии между соответствующими атомными волновы- ми функциями s- и p-состояний; μ – молярная масса; Ψ – волновая функция; σ – тип связи, коэффициент Пуассона; σ – тензор механических напряжений; ik ρ – плотность; ρ – двумерная плотность; 2 φ – характерный угол сферической системы координат; ω – циклическая частота волны. 6 ПРЕДИСЛОВИЕ Достоинством любых математических моделей распространения чи- стых мод упругих волн является простота их применимости к различным кристаллическим средам. Совсем недавно под таковыми понимались ис- ключительно трехмерные (3D) природные и синтетические моно- и поли- кристаллы. Выбором подходящих материалов и рабочих срезов достигает- ся максимальная эффективность их использования в устройствах акусто- электроники и акустооптики. Одним из способов расширить существую- щие возможности работы этих приборов и обозначить принципы работы других можно, осуществляя поиск новых, искусственно созданных струк- тур и материалов. Больших успехов на этом пути удалось достичь в результате синтези- рования двумерного (2D) наноаллотропа углерода – графена и других по- хожих планарных структур. Признанием научной общественностью цен- ности этого открытия является присуждение Нобелевской премии по фи- зике 2010 г. его создателям К. С. Новоселову и А. К. Гейму. Поиск новых структур, обладающих уникальными характеристиками, продолжает оста- ваться актуальным. Стоит отметить, что наибольших успехов в исследовании характери- стик наноразмерных материалов удалось достичь в изучении именно их электрических свойств, в то время как механические, упругие и акустиче- ские характеристики только начинают изучаться. Тем не менее, имеется информация о чрезвычайно большой механической жесткости, обнару- женной у графена. Поэтому вызывает большой интерес исследование упругих и акустических свойств не только графена, но и других графено- подобных структур, которые могут найти применение в наноакустоэлек- тронике и наноакустооптике. 7 Более общими планарными структурами по сравнению с графеном или силиценом, с точки зрения их строения, являются 2D-супракристаллы, в узлах кристаллической решетки которых находятся не отдельные атомы или ионы, а их симметричные комплексы. Возможность их существования была обоснована посредством квантово-механических расчетов. Исследованию упругих и акустических свойств графеновых и графе- ноподобных материалов и посвящена эта книга. Она ориентирована на специалистов в области компьютерного моделирования конденсированных сред и физических явлений, а также аспирантов и студентов. При написании монографии мною использованы результаты совмест- ных исследований и публикаций со своим научным руководителем Р. А. Браже, за что я выражаю ему свою искреннюю признательность и благодарность. 8 ВВЕДЕНИЕ Упругие волны в кристаллах, благодаря малой по сравнению с элек- тромагнитными волнами скорости распространения, находят широкое применение в акустоэлектронике и акустооптике по двум причинам. Во-первых, упругие волны ультразвуковой частоты являются эффектив- ным средством исследования физических свойств кристаллов: молекуляр- ной структуры, неоднородностей и дефектов. Гиперзвуковые упругие вол- ны применяются при исследовании электронной структуры металлов, электрон-фононных взаимодействий, механизмов фазовых переходов и не- которых других физических явлений. Во-вторых, упругие волны нашли важное практическое применение в таких устройствах, как акустические линии задержки, электромеханические и пьезоэлектрические преобразова- тели, резонаторы, усилители и генераторы электромагнитных волн сверх- высокой частоты. Практический интерес представляют, главным образом, чисто про- дольные и чисто поперечные упругие волны, поскольку в таких направле- ниях их фазовая и групповая скорости совпадают по направлению. Про- блеме поиска чистых мод упругих волн в анизотропных средах уделялось внимание в работах Ф. Е. Боргниса, К. Браггера, З. Р. Чанга, В. Н. Любимова, К. Р. Пелэза, М. Дуарте и др. исследователей. Однако, из-за математических сложностей, данная задача до сих пор была решена для каждого класса симметрии кристаллов в отдельности, причем для наименее симметричных кристаллов моноклинной и триклин- ной симметрии лишь для отдельных кристаллографических направлений. Вклад пьезоэлектрического эффекта в увеличение эффективной жесткости кристалла также не всегда учитывался. Он, в свою очередь, зачастую обу- словливает изменение характеристик чистых мод. 9 Появление новых двумерных (2D) наноразмерных материалов и структур, в частности, супракристаллов, обнаружение у них интересных с точки зрения возможностей практического применения упругих свойств с новой остротой поставило актуальную задачу исследования процессов распространения продольных, поперечных и изгибных упругих волн в та- ких материалах и структурах. Таким образом, 2D-наноакустика является частью физической акустики применительно к случаю распространения упругих волн в твердых телах одноатомной толщины. Данная книга, со- стоящая из трех глав и заключения, посвящена этой проблематике. Во введении обосновывается актуальность тематики и раскрывается краткое содержание книги. В первой главе говорится о графеноподобных двумерных супракри- сталлах. Описываются их строение, атомные модели и симметрия. Приво- дятся результаты компьютерного моделирования геометрических и энерге- тических характеристик 2D-супракристаллов с использованием ab initio методов. Приведены расчетные значения длины связи, энергии, приходя- щейся на один атом и энергии, приходящейся на одну связь для 2D-супракристаллов, состоящих из атомов углерода, кремния, бора и азо- та, серы. Показано, что все рассмотренные 2D-супракристаллы могут су- ществовать при комнатной температуре, так как энергия их связей значи- тельно превышает тепловую энергию. В целом, наиболее устойчивыми яв- ляются 2D-супракристаллы, составленные из атомов серы, а наименее устойчивы кремниевые структуры. В случае одних и тех же атомов наибо- лее устойчивыми, как правило, являются структуры, содержащие тре- угольные ячейки вложения. Затем исследуются упругие характеристики углеродных и кремние- вых 2D-супракристаллов, в частности, рассчитываются компоненты тензо- ров модулей упругости, выраженные через константы центрального и не- 10