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#29 Tangente Hors-série : Léonhard Euler, Un génie des Lumières PDF

154 Pages·2007·104.21 MB·french
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Preview #29 Tangente Hors-série : Léonhard Euler, Un génie des Lumières

Un génie des Bibliothèque Tcin e Tangente Hors-série n° 29 leonhard Euler un génie des lumières Sous la direction d'Hervé Lehning • POLE © Éditions POLE -Paris 2007 Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielJe, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf.: Loi du 11 mars 1957. I.S.B.N. 978284840666 I.S.S.N. 0987-0806 Commission paritaire 1006 K 80883 Euler Sommaire l •X•t-}1 i ;I =t Euler dans son époque Leonhard Euler est l'un des plus grands mathémati ciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit avec la plupart des scientifiques de son époque et sa façon de poser et de résoudre les problèmes marqua le style de son temps. Leonhard Euler (1707 - 1783) Euler et la musique Euler physicien Euler, « blogueur » infatigable Les lettres à une princesse d'Allemagne Un nouveau style Sur les pas d'Euler à Saint-Pétersbourg Le mathématicien dévot et le libre penseur l •X•t-}1 i ;I =t le mathématicien éclectique Euler a posé et résolu une multitude de problèmes, et c'était aussi un grand découvreur de mathématiques. Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la com binatoire, l'algèbre, la géométrie ... Doté d'une grande intuition, il ne s'embarrassait pas toujours de vérifica tions rigoureuses : un calcul donnant des résultats conformes à l'expérience était considéré comme légiti me! Leonhard Euler,père de la combinatoire contemporaine Un cercle de mathématiciens La formule d'Euler Géométrie du triangle : un joyau eulérien Euler et la règle des signes Equation normale d'une droite Développements eulériens Les angles d'Euler La constante d'Euler Hors série n° La méthode d'Euler Les nombres de Mersenne Les briques d'Euler Le problème des quatre carrés L'indicatrice d'Euler et la cryptographie La notion de fonction chez Euler le précurseur DOSSIER Le génie d'Euler a notamment consisté à prolonger des concepts mathématiques existants (il étendit par exemple l'exponentielle aux nombres complexes) ou à proposer de nouvelles méthodes de calcul ou de résolu tion de problèmes connus. Ses travaux furent parfois l'amorce de théories développées bien après lui. La formule magique des polyèdres Comment Euler calculait t(2) Probabilité arithmétique et t(2) L'extension de l'exponentielle Les équations différentielles linéaires Euler et la fonction gamma Le calcul des variations Euler et les séries de Goldbach La formule d'Euler-MacLaurin Les nombres chez Euler Fermat par Euler : intuition ou chance ? Les erreurs d'Euler les jeux et les problèmes a l •X•t-ii i ,1 de Leonhard Euler Dans l'élaboration de son œuvre titanesque, la grand Euler n'a jamais négligé l'aspect ludique des mathéma tiques. Jeux, énigmes, problèmes amusants sont à l'origi ne de certaines de ses théories. Découvrons les problèmes ludiques les plus célèbres d'Euler : celui des ponts de Konigsberg, qui inaugure la théorie des graphes, celui de la marche du cavalier sur l'échiquier, celui des rencontres, lié à la combinatoire, ou encore celui des 36 officiers. .. La fibre ludique du grand Euler Hasards, rencontres ou coïncidences Le parcours du cavalier sur l'échiquier En bref Bibliographie Jeux et Problèmes Solutions Tangente Hors-série n°29. Euler par Alain Zalmanski EN BREF mais qu'est-ce qui a écha é a Euler? (11 Le nom d'Euler est partout ! Formule, théorème, conjecture, constante, fonction, relation, droite, cercle, ... une foule d'objets mathéma tiques sont, légitimement ou non, associés à ce grand mathématicien. E,, 1 5 Les nombres d'Euler sont une suite de nombres entiers 61 1385 positifs définis par le dé,eloppement en série de 50521 2702765 Ta~lor suirnnt : 199360981 19391512145 = '-X, E x" 10 370234704118878%27357454215 COS X ,,-;'11 11 Il ! I12l 1556149533448817643359537018367950255 13 408707250929312389236 I Les nombres d'Euler de rangs impairs sont nuls. Les 14 l 25225%4 l 403629865468285 15 44154389324902310455368282 I premiers nombn•s d0Euler de rangs pairs sont I. I. 5. 16 l 775 l 939 l 57953928943666478%65 17 80723299235887898062 l 68247 453281 61. 1385. 50521... 18 4 l 22206033951770212234707%7 l 259045 19 234895805270431082520 l 782857619894774 I 20 14851150718114980017877156781405826684425 21 1036462273351%12119397957304745185976310201 Cercle d'Euler : cercle qui, dans un triangle, passe par chacun 22 79475794225975927036080405100880706195 l 9273805 23 66675375 l 6685544977435028474773748197524107684661 des milieux des trois côtés du triangle, par le pied de chacune 24 6096278645568542 l 5869 l 685742876843153976539044435 J8 5 25 6053285248188621896314383785 l 11649088103498225146815121 des trois hauteurs du triangle, par le milieu de chacun A des trois segments reliant l'orthocentre à un som Droite d'Euler: dans un triangle, droite pas met du triangle. Le centre du cercle d'Euler est sant par 1 'orthocentre, le centre du situé au milieu du segment formé par l'or cercle circ:onscrit, le centre de gra thocentre et le centre du cercle circons- vité et le centre du cercle d'Euler crit. œ œ t.rianJle. Relation d'Euler Soit un polyèdre B de genre 0, de ffaces, Pseudo-premier d'Euler de base a: a arêtes, se dit d'un nombre impair composé n, lorsque a et n ssommets sont premiers entre eux, et a (n - l)/2 • :±: 1 (n) On peut démontrer Constante d'Euler-Mascheroni : limite de la qu'on a toujours : différence entre la somme partielle f+s- a=2 de la série harmonique et le logarithme naturel . 1 1 1 1 Cette relation trouve des contre-exemples pour y= lim (1 + - + - + - + ... + - - ln(n)) des polyèdres non convexes. 11-+x 2 3 4 11 Euler détennina les 16 premières décimales de cette constante : À SUIVRE QQ. 29 et 91 y= 0,5772156649015328 ... Hors-série n° 29. Euler Tangente par M. Criton & H. Lenning les langues d'Euler Les œuvres d'Euler ont été écrites en trois langues: l'alle mand, la latin et le français. La langue maternelle d'Euler était l'allemand, mais il est né à Bâle (Basel en allemand), ville de Suisse située près d'une région francophone (aujourd'hui Dreilandereck en allemand, ou district des trois frontières en français). Il a donc appris le français très tôt. Si Euler a utilisé le latin, c'est que cette langue était alors encore la « langue savante», c'est-à-dire la langue universelle qu'utilisaient les scientifiques européens pour communiquer entre eux. C'est donc en latin que la plus grande partie de l'œuvre d'Euler a été écrite et publiée. Si le latin était la langue des savants de l'époque, le français était la langue «mondaine», c'est-à-dire la langue qu'il était de bon ton d'utiliser dans les cours royales européennes. C'était le cas à la cour de l'impératrice Catherine Il de Russie (qui avait été élevée par une nourrice française) où Euler vécut de 1727 à 17 41, puis de 1766 à sa mort. Il en était de même à Berlin, à la cour de Frédéric le Grand, roi de Prusse, auprès de qui Euler séjourna de 1741 à 1766. C'est ainsi qu'il écrivit les Lettres à une Princesse d'Allemagne en français, ces lettres étant en fait des leçons particulières données 160, Co mmo dC ct1•a m hU J.U lim o dI' FU 01...A:.I•O D1•$ t b+x .:'! : t c-10 à la princesse Sophie Fadorcs invcniri omnefque afJignari poaimt. Tranfmutatur enim Friederika Charlotte von , + b-+r-x ) i + ( +C- --r-X )j , Brandenbourg-Schwedt, cou m banc formam ( 1 1 qua: comparata sine de Frédéric de Prusse, i + ::/, + alors âgée de 15 à 17 ans. cum forma - Fadorcm· habcbit 11~-2a .,ef."''. . ,,. "-.Z., Vers la fin de sa vie, le latin Extrait d'/ntroductio in ana/ysin infinitorum devenait de moins en moins utilisé comme langue savante. Par ailleurs, Euler, devenu Endlich ist die Abscisse des Punktes S, der durch die gleich aveugle, est contraint de dicter zeitige Aenderung von t und u ans P entsteht, ses textes à son fils ou à un EW die (~~) +dt (!~) valet. C'est pourquoi un certain = a: + nombre de ses textes seront alors écrits en allemand. Extrait de Drei Abhandungen über Kartenprojection Euler pratiquait aussi le russe qu'il a eu le loisir d'apprendre pendant les 33 ans passés à Il S11rnil même possible que l'espace C r,lt t.oul enlier dans l'cs Saint-Petersbourg. Il y_ace A, comme ffi.q. 88}; ou loul enlier hors de l'espace A, comme \fi'). 89}, quoi,1uïl soil loul enlier hors de B. connaissait également suffi samment l'anglais pour tra duire en allemand par exemple un ouvrage de Flf. 88. .., ,. 911. Rabbins sur l'artillerie. Extrait de Lettres à une princesse d'Allemagne Tangente Hors-série n°29. Euler PORTRAIT par Alain Zalmanski Leonhard Euler (1707-1783) Il est le plus illustre mathématicien du XVIII e siècle. Ses contributions touchent l'analyse, la géométrie, l'arithmétique, le calcul des probabilités et s'étendent même au delà des mathématiques. I I a donné son nom à un cercle, une gination créatrice exceptionnelle des • • droite, une constante, un dia dons prodigieux de calculateur. gramme, une formule, une méthode, une fonction, une relation, un mathématicien euro éen indicateur, une conjecture, un critère, une équation et ... une identité. Si on Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard ajoute mathématicien suisse en 5 lettres, Euler était le füs aîné d'un pasteur, Paul tout lycéen ou cruciverbiste aura Euler (1670-1745), lui-même élève et Euler a eu reconnu un des plus illustres mathémati ami des Bernoulli, grande famille de une grande ciens de tous les temps. Il s'agit bien sûr physiciens et mathématiciens. C'est influence sur de Leonhard Euler qui a allié à une ima- Paul Euler en personne qui initia son fils l 'alge'brisation Euler célébré de En Suisse, 2007, année du tricentenaire de la naissance d'Euler, est 1' occasion l 'arithmétiijue, de revenir sur l'œuvre du mathématicien et pédagogue, mais aussi de réfléchir donné sa à l'enseignement des mathématiques aujourd'hui, lors d'événements et mani festations consultables sur le site : www.euler-2007.ch forme En France, le cycle Un texte, un mathématicien organisé par la Société actuelle au Mathématique de France, la Bibliothèque nationale de France, en partenariat calcul avec Tangente et France Culture, a proposé le 14 mars une conférence de infinitésimal, Xavier Viennot intitulée D'une lettre oubliée d'Euler à la combinatoire et à la physique contemporaine (voir l'article de Xavier Viennot, Leonhard Euler, placé au père de la combinatoire contemporaine, page 38). Euler sera également premier plan célébré sur le stand helvétique et dans les diverses animations du Salon de la la notion Culture et des Jeux Mathématiques, qui se tiendra Place Saint-Sulpice (Paris 6e) du 31 mai au 2juin (www.cijm.org). de fonction ... Tcingent:e Hors-série n° 29. Euler

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