#29 Tangente Hors-série : Léonhard Euler, Un génie des Lumières

154 Pages·2007·104.21 MB·french

by  Hervé Lehning

Un génie des

Bibliothèque
Tcin e
Tangente Hors-série n° 29
leonhard Euler
un génie des lumières
Sous la direction d'Hervé Lehning
•
POLE
© Éditions POLE -Paris 2007
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Euler
Sommaire
l •X•t-}1 i ;I
=t Euler dans son époque
Leonhard Euler est l'un des plus grands mathémati
ciens de tous les temps. Sa renommée s'étendait dans
toute l'Europe. Homme des Lumières, il correspondit
avec la plupart des scientifiques de son époque et sa
façon de poser et de résoudre les problèmes marqua le
style de son temps.
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Euler et la musique
Euler physicien
Euler, « blogueur » infatigable
Les lettres à une princesse d'Allemagne
Un nouveau style
Sur les pas d'Euler à Saint-Pétersbourg
Le mathématicien dévot et le libre penseur
l •X•t-}1 i ;I
=t le mathématicien éclectique
Euler a posé et résolu une multitude de problèmes, et
c'était aussi un grand découvreur de mathématiques.
Ses travaux touchent l'analyse, l'arithmétique, la com
binatoire, l'algèbre, la géométrie ... Doté d'une grande
intuition, il ne s'embarrassait pas toujours de vérifica
tions rigoureuses : un calcul donnant des résultats
conformes à l'expérience était considéré comme légiti
me!
Leonhard Euler,père de la
combinatoire contemporaine
Un cercle de mathématiciens
La formule d'Euler
Géométrie du triangle : un joyau eulérien
Euler et la règle des signes
Equation normale d'une droite
Développements eulériens
Les angles d'Euler
La constante d'Euler
Hors série n°
La méthode d'Euler
Les nombres de Mersenne
Les briques d'Euler
Le problème des quatre carrés
L'indicatrice d'Euler et la cryptographie
La notion de fonction chez Euler
le précurseur
DOSSIER
Le génie d'Euler a notamment consisté à prolonger des
concepts mathématiques existants (il étendit par
exemple l'exponentielle aux nombres complexes) ou à
proposer de nouvelles méthodes de calcul ou de résolu
tion de problèmes connus. Ses travaux furent parfois
l'amorce de théories développées bien après lui.
La formule magique des polyèdres
Comment Euler calculait t(2)
Probabilité arithmétique et t(2)
L'extension de l'exponentielle
Les équations différentielles linéaires
Euler et la fonction gamma
Le calcul des variations
Euler et les séries de Goldbach
La formule d'Euler-MacLaurin
Les nombres chez Euler
Fermat par Euler : intuition ou chance ?
Les erreurs d'Euler
les jeux et les problèmes
a
l •X•t-ii i ,1 de Leonhard Euler
Dans l'élaboration de son œuvre titanesque, la grand
Euler n'a jamais négligé l'aspect ludique des mathéma
tiques. Jeux, énigmes, problèmes amusants sont à l'origi
ne de certaines de ses théories. Découvrons les problèmes
ludiques les plus célèbres d'Euler : celui des ponts de
Konigsberg, qui inaugure la théorie des graphes, celui de
la marche du cavalier sur l'échiquier, celui des rencontres,
lié à la combinatoire, ou encore celui des 36 officiers. ..
La fibre ludique du grand Euler
Hasards, rencontres ou coïncidences
Le parcours du cavalier sur l'échiquier
En bref
Bibliographie
Jeux et Problèmes
Solutions
Tangente Hors-série n°29. Euler
par Alain Zalmanski EN BREF
mais qu'est-ce qui
a écha é a Euler? (11
Le nom d'Euler est partout !
Formule, théorème, conjecture, constante, fonction,
relation, droite, cercle, ... une foule d'objets mathéma
tiques sont, légitimement ou non, associés à ce grand
mathématicien.
E,,
1
5
Les nombres d'Euler sont une suite de nombres entiers 61
1385
positifs définis par le dé,eloppement en série de 50521
2702765
Ta~lor suirnnt : 199360981
19391512145
= '-X, E x" 10 370234704118878%27357454215
COS X ,,-;'11 11 Il ! I12l 1556149533448817643359537018367950255
13 408707250929312389236 I
Les nombres d'Euler de rangs impairs sont nuls. Les
14 l 25225%4 l 403629865468285
15 44154389324902310455368282 I
premiers nombn•s d0Euler de rangs pairs sont I. I. 5. 16 l 775 l 939 l 57953928943666478%65
17 80723299235887898062 l 68247 453281
61. 1385. 50521... 18 4 l 22206033951770212234707%7 l 259045
19 234895805270431082520 l 782857619894774 I
20 14851150718114980017877156781405826684425
21 1036462273351%12119397957304745185976310201
Cercle d'Euler : cercle qui, dans un triangle, passe par chacun 22 79475794225975927036080405100880706195 l 9273805
23 66675375 l 6685544977435028474773748197524107684661
des milieux des trois côtés du triangle, par le pied de chacune 24 6096278645568542 l 5869 l 685742876843153976539044435 J8 5
25 6053285248188621896314383785 l 11649088103498225146815121
des trois hauteurs du triangle, par le milieu de chacun
A
des trois segments reliant l'orthocentre à un som Droite d'Euler: dans un triangle, droite pas
met du triangle. Le centre du cercle d'Euler est sant par 1 'orthocentre, le centre du
situé au milieu du segment formé par l'or cercle circ:onscrit, le centre de gra
thocentre et le centre du cercle circons- vité et le centre du cercle d'Euler
crit. œ œ t.rianJle.
Relation d'Euler
Soit un polyèdre
B de genre 0,
de ffaces,
Pseudo-premier d'Euler de base a:
a arêtes,
se dit d'un nombre impair composé n, lorsque a et n
ssommets
sont premiers entre eux, et a (n - l)/2 • :±: 1 (n)
On peut
démontrer
Constante d'Euler-Mascheroni : limite de la
qu'on a toujours :
différence entre la somme partielle
f+s- a=2
de la série harmonique et le logarithme naturel
. 1 1 1 1 Cette relation trouve des contre-exemples pour
y= lim (1 + - + - + - + ... + - - ln(n))
des polyèdres non convexes.
11-+x 2 3 4 11
Euler détennina les 16 premières décimales de cette constante :
À SUIVRE QQ. 29 et 91
y= 0,5772156649015328 ...
Hors-série n° 29. Euler Tangente
par M. Criton & H. Lenning
les langues d'Euler
Les œuvres d'Euler ont été écrites en trois langues: l'alle
mand, la latin et le français.
La langue maternelle d'Euler était l'allemand, mais il est
né à Bâle (Basel en allemand), ville de Suisse située près
d'une région francophone (aujourd'hui Dreilandereck en
allemand, ou district des trois frontières en français). Il a
donc appris le français très tôt.
Si Euler a utilisé le latin, c'est que cette langue était
alors encore la « langue savante», c'est-à-dire la langue
universelle qu'utilisaient les scientifiques européens
pour communiquer entre eux. C'est donc en latin que la plus grande partie de l'œuvre
d'Euler a été écrite et publiée.
Si le latin était la langue des savants de l'époque, le français était la langue «mondaine»,
c'est-à-dire la langue qu'il était de bon ton d'utiliser dans les cours royales européennes.
C'était le cas à la cour de l'impératrice Catherine Il de Russie (qui avait été élevée par une
nourrice française) où Euler vécut de 1727 à 17 41, puis de 1766 à sa mort. Il en était de
même à Berlin, à la cour de Frédéric le Grand, roi de Prusse, auprès de qui Euler séjourna
de 1741 à 1766. C'est ainsi qu'il écrivit les Lettres à une Princesse d'Allemagne en français,
ces lettres étant en fait des
leçons particulières données
160, Co mmo dC ct1•a m hU J.U lim o dI' FU 01...A:.I•O D1•$ t b+x .:'! : t c-10
à la princesse Sophie
Fadorcs invcniri omnefque afJignari poaimt. Tranfmutatur enim
Friederika Charlotte von
, + b-+r-x ) i + ( +C- --r-X )j ,
Brandenbourg-Schwedt, cou m banc formam ( 1 1 qua: comparata
sine de Frédéric de Prusse, i + ::/, +
alors âgée de 15 à 17 ans. cum forma - Fadorcm· habcbit 11~-2a .,ef."''. . ,,. "-.Z.,
Vers la fin de sa vie, le latin Extrait d'/ntroductio in ana/ysin infinitorum
devenait de moins en moins
utilisé comme langue savante.
Par ailleurs, Euler, devenu
Endlich ist die Abscisse des Punktes S, der durch die gleich
aveugle, est contraint de dicter zeitige Aenderung von t und u ans P entsteht,
ses textes à son fils ou à un
EW die (~~) +dt (!~)
valet. C'est pourquoi un certain = a: +
nombre de ses textes seront
alors écrits en allemand.
Extrait de Drei Abhandungen über Kartenprojection
Euler pratiquait aussi le russe
qu'il a eu le loisir d'apprendre
pendant les 33 ans passés à Il S11rnil même possible que l'espace C r,lt t.oul enlier dans l'cs
Saint-Petersbourg. Il y_ace A, comme ffi.q. 88}; ou loul enlier hors de l'espace A, comme
\fi'). 89}, quoi,1uïl soil loul enlier hors de B.
connaissait également suffi
samment l'anglais pour tra
duire en allemand par
exemple un ouvrage de
Flf. 88. .., ,. 911.
Rabbins sur l'artillerie.
Extrait de Lettres à une princesse d'Allemagne
Tangente Hors-série n°29. Euler

PORTRAIT par Alain Zalmanski
Leonhard Euler
(1707-1783)
Il est le plus illustre mathématicien du XVIII e siècle.
Ses contributions touchent l'analyse, la géométrie,
l'arithmétique, le calcul des probabilités et s'étendent
même au delà des mathématiques.
I I a donné son nom à un cercle, une gination créatrice exceptionnelle des
• •
droite, une constante, un dia dons prodigieux de calculateur.
gramme, une formule, une
méthode, une fonction, une relation, un mathématicien euro éen
indicateur, une conjecture, un critère,
une équation et ... une identité. Si on Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard
ajoute mathématicien suisse en 5 lettres, Euler était le füs aîné d'un pasteur, Paul
tout lycéen ou cruciverbiste aura Euler (1670-1745), lui-même élève et
Euler a eu
reconnu un des plus illustres mathémati ami des Bernoulli, grande famille de
une grande ciens de tous les temps. Il s'agit bien sûr physiciens et mathématiciens. C'est
influence sur de Leonhard Euler qui a allié à une ima- Paul Euler en personne qui initia son fils
l 'alge'brisation
Euler célébré
de
En Suisse, 2007, année du tricentenaire de la naissance d'Euler, est 1' occasion
l 'arithmétiijue, de revenir sur l'œuvre du mathématicien et pédagogue, mais aussi de réfléchir
donné sa à l'enseignement des mathématiques aujourd'hui, lors d'événements et mani
festations consultables sur le site : www.euler-2007.ch
forme
En France, le cycle Un texte, un mathématicien organisé par la Société
actuelle au
Mathématique de France, la Bibliothèque nationale de France, en partenariat
calcul avec Tangente et France Culture, a proposé le 14 mars une conférence de
infinitésimal, Xavier Viennot intitulée D'une lettre oubliée d'Euler à la combinatoire et à la
physique contemporaine (voir l'article de Xavier Viennot, Leonhard Euler,
placé au
père de la combinatoire contemporaine, page 38). Euler sera également
premier plan célébré sur le stand helvétique et dans les diverses animations du Salon de la
la notion Culture et des Jeux Mathématiques, qui se tiendra Place Saint-Sulpice (Paris
6e) du 31 mai au 2juin (www.cijm.org).
de fonction ...
Tcingent:e Hors-série n° 29. Euler