Вычислительная механика сплошных сред. 2012

125 Pages·13.345 MB·Russian

by  коллектив авторов

IISSSSNN 1999-6691
2012
Апрель -
июнь
COMPUTATIONAL
CONTINUUM
MECHANICS
Том 5
№ 2
Пермь
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД

COMPUTATIONAL
CONTINUUM MECHANICS

Том 5 № 2 Апрель — июнь 2012

Пермь
2012
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Журнал основан в марте 2008 года.
Выходит 4 раза в год
ISSN 1999-6691

Журнал публикует статьи, содержащие новые результаты в области механики сплошных сред.
Тематика журнала включает теоретические и численные методы решения задач механики деформируемого
твердого тела и механики жидкостей, эффективные приложения этих методов к исследованиям природных
и техногенных явлений, технологических процессов, поведения машин, конструкций и сооружений.
В журнале также публикуются работы, связанные с теоретическими и прикладными аспектами численных
методов (сходимостью, устойчивостью, оценкой погрешности и т.п.), построением конечномерных
аналогов сплошной среды и дискретизацией областей, применением современных
высокопроизводительных компьютеров и развитием параллельных вычислений, сравнительным анализом
возможностей различных пакетов прикладных программ.
Одной из главных целей журнала является содействие разработке новых вычислительных технологий
механики сплошных сред и их внедрению в практику повседневных научных исследований.
Журнал предназначен для научных и научно-технических работников, преподавателей, аспирантов и
студентов.

Главный редактор Заместитель главного редактора
В.П. Матвеенко, академик РАН Н.А. Труфанов, профессор
Редакционная коллегия
Бабешко В.А., академик РАН Липанов А.М., академик РАН Стружанов В.В., профессор
Баженов В.Г., профессор Любимова Т.П., профессор Трусов П.В., профессор
Буренин А.А., член-корр. РАН Манжиров А.В., профессор Фомин В.М., академик РАН
Вахрушев А.В., профессор Морозов Н.Ф., академик РАН Фрик П.Г., профессор
Гольдштейн Р.В., член-корр. РАН Наймарк О.Б., профессор Цаплина Г.С. (отв. секретарь)
Горячева И.Г., академик РАН Победря Б.Е., профессор Шардаков И.Н., профессор
Ерофеев В.И., профессор Райхер Ю.Л., профессор
Индейцев Д.А., член-корр. РАН Роговой А.А., профессор
Кукуджанов В.Н., профессор Cтепанов Р.А., ст. научн. сотр.

Краткое руководство для авторов
Журнал «Вычислительная механика сплошных сред» На печатном экземпляре должны стоять подписи
публикует результаты оригинальных исследований, всех соавторов.
соответствующих научному профилю журнала, К рукописи необходимо приложить:
которые нигде ранее не опубликованы и не переданы - письмо-направление организации, где
в другие журналы выполнялась работа;
Рукопись представляется в редакцию в виде - экспертное заключение о возможности
электронного и печатного вариантов, выполненных опубликования результатов в открытой печати;
в соответствии с требованиями (см. сайт журнала). - договор о передаче авторских прав.
Каждый из вариантов включает: Плата за опубликование не взимается.
- коды УДК;
- название статьи, фамилии авторов, названия Адрес редакции:
организаций, где выполнена работа; Редакция журнала
- резюме на русском и английском языках с «Вычислительная механика сплошных сред», ИМСС
ключевыми словами; УрО РАН, ул. Академика Королёва, д. 1,
- текст статьи; Пермь, 614013, Россия
- список цитирования:
- комплект иллюстраций; Тел.: [phone]
- комплект таблиц; E-mail: [email protected]
- сведения об авторах с указанием автора http://www.icmm.ru/journal
для переписки

Информация о подписке
Журнал выходит раз в квартал. Индекс в каталоге «Издания органов научно-технической информации» ОАО
«Агентство Роспечать» —59899. Цена годовой подписки 1200 руб. (300 руб. за номер). Подписаться на журнал можно
с любого номера как по каталогу, так и в редакции.
 Институт механики сплошных сред УрО РАН
Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 2

СОДЕРЖАНИЕ
Эволюционная модель плоского пластического течения материала c учетом сил инерции ......................... 127
Б.Д. Аннин, В.В. Остапенко, А.А. Чесноков (Новосибирск)
Коротковолновая динамика тонких пластин ...................................................................................................... 134
М.А. Ильгамов (Уфа)
Алгоритмы построения и перестроения неструктурированных четырехугольных сеток
в многосвязных областях ..................................................................................................................................... 144
А.С. Караваев, С.П. Копысов, А.Б. Пономарёв (Ижевск)
Численная модель процесса осаждения твердой фазы в двухтемпературной
флюидонасыщенной вязкой среде ...................................................................................................................... 151
В.В. Пак (Владивосток)
Математические методы в теории чистого изгиба прямоугольных балок
из разупрочняющегося материала с симметричной диаграммой растяжения–сжатия .................................. 158
В.В. Стружанов, Е.А. Бахарева (Екатеринбург)
Применение метода мультипольного разложения для расчета напряженного состояния
в бесконечной упругой плоскости, содержащей несколько круговых отверстий .......................................... 168
В.В. Мокряков (Москва)
Механическое поведение и упругая реакция неоднородно набухшего цилиндрического
образца полимерного геля с аксиально-симметричным распределением растворителя ............................... 178
Н.К. Салихова, Е.Я. Денисюк (Пермь)
Численное исследование некоторых нестационарных режимов естественной конвекции
во вращающемся сферическом слое ................................................................................................................... 184
А.В. Гореликов, А.В. Ряховский, А.С. Фокин (Сургут)
Влияние вращения на каскадные процессы в спиральной турбулентности .................................................... 193
А.В. Шестаков, Р.А. Степанов, П.Г. Фрик (Пермь)
Численное моделирование турбулентного диффузионного пламени на основе метода
крупных вихрей..................................................................................................................................................... 199
А.А. Шумихин, А.И. Карпов (Ижевск)
Численные исследования процесса вентиляции и теплового состояния шумотеплозащитных
кожухов газотурбинных установок с использованием параллельных вычислений ....................................... 208
П.В. Трусов, Д.А. Чарнцев (Пермь)
Численный анализ процесса развития трещин при неравномерных осадках сооружения ............................ 217
М.Л. Бартоломей (Пермь)
Влияние эффективной проницаемости среды на устойчивость двухслойной системы
«однородная жидкость – пористая среда» в поле вибраций высокой частоты ............................................... 225
Е.А. Колчанова, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова (Пермь)
Конечно-элементные алгоритмы расчёта собственных колебаний трёхмерных оболочек ........................... 233
С.В. Лекомцев (Пермь)
Поздравляем юбиляров (75 лет Б.Е. Победре) ................................................................................................... 244
Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 2. – C. 127-133 127
DOI: 10.7242/1999-6691/2012.5.2.15
УДК 539.374

ЭВОЛЮЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА
C УЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ

Б.Д. Аннин, В.В. Остапенко, А.А. Чесноков
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Россия
Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, Новосибирск, Россия

Рассматривается система из четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая плоское
пластическое течение материала вне выпуклого отверстия с учетом эффекта инерции. Показано, что система имеет два семейства
кратных вещественных характеристик, каждому из которых соответствует один собственный и один присоединенный векторы.
В силу этого данная модель не является гиперболической в классическом смысле. Система уравнений преобразуется
к эволюционному виду, и на ее основе выполнены численные расчеты, иллюстрирующие влияние сил инерции на основные
параметры течения.
Ключевые слова: пластическое течение, силы инерции, криволинейные координаты, кратные характеристики, разностная схема

EVOLUTIONARY MODEL OF THE PLANE PLASTIC FLOW OF A MATERIAL
WITH ALLOWANCE FOR INERTIAL FORCES

B.D. Annin, V.V. Ostapenko and A.A. Chesnokov
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, Russia
Novosibirsk National Research State University, Novosibirsk, Russia

We consider a system of four quasi-linear first-order differential equations describing the planar plastic flow of a material outside
of a convex hole taking into account the effect of inertia. It is shown that the system has two sets of multiple real characteristics, for each one
eigenvector and one adjoined vector are appropriate. For this reason, this model is not hyperbolic in the classical sense. The system of equations
is transformed into a set of evolutionary equations, which is used for numerical calculations illustrating the effect of inertia forces on the main
parameters of the flow.
Key words: plastic flow, inertial forces, curvilinear coordinates, multiple characteristics, finite difference scheme

1. Математическая модель

Рассмотрим плоскую задачу об установившемся пластическом течении материала вне выпуклого
отверстия, границу L которого можно представить в параметрическом виде [1]:

x =FβcosβFβsinβ, y =FβsinβFβcosβ.
L L

Здесь x ,y — декартовы координаты точки, лежащей на кривой L; Fβ — 2π-периодическая опорная
L L
функция кривой L; β0,2π — угол между касательной к кривой L и осью Ox. Радиус кривизны
границы L определяется функцией ρβ=FβFβ; предполагается, что ρβ>0. Единичные
векторы, направленные по касательной и по нормали к точкам линии L, имеют вид t=(cosβ,sinβ) и
n=(sinβ, cosβ) соответственно.
Следуя [1], для описания течения материала воспользуемся криволинейной системой координат (α,β),
индуцированной кривой L с опорной функцией Fβ:

xα,β=FβcosβFβαsinβ, yα,β= FβsinβFβαcosβ, (1)

откуда якобиан преобразования Dx,y Dα,β=ρα>0. Координатные линии α=const0
представляют собой эквидистантные кривые с опорной функцией Fβα, а координатные линии
β=const образуют семейство прямых, ортогональных L.
Проекции вектора скорости перемещений на оси криволинейной системы координат обозначим через
U и V . Связь между компонентами вектора скорости в декартовых и криволинейных координатах

© Б.Д. Аннин, В.В. Остапенко, А.А. Чесноков, 2012
128 Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 127-133
зададим соотношением (u,v)=UnVt. Тогда компоненты тензора скоростей деформаций в
криволинейных координатах (1) запишутся как

U 1V 1 U  1 V 
ε = , ε =    V, ε =  U.
αα α αβ 2 α ρα β  ββ ρα β 

Плоская задача пластичности с учетом сил инерции, обуславливаемых только конвективным
переносом, сводится в криволинейных координатах к системе пяти уравнений для напряжений
(σ ,σ ,σ ) и поля скоростей (U,V) пластической среды [2, 3]:
αα αβ ββ

σ 1 σ σ σ  U V U 
αα  αβ  αα ββ γU   V,
α ρα β ρα  α ρα β 
σ 1 σ 2σ  V V V 
αβ  ββ  αβ γU   U, (2)
α ρα β ρα  α ρα β 
σ σ ε ε
ε ε =0, αα ββ  αα ββ , σ σ 24σ2 =4k2.
αα ββ σ ε αα ββ αβ
αβ αβ

Первые два уравнения системы (2) являются уравнениями движения сплошной среды; третье уравнение
выражает условие несжимаемости; четвертое — условие совпадения главных осей тензора напряжений и
тензора скоростей деформаций; замыкающее, пятое, уравнение выражает условие пластичности.
Положительные постоянные γ и k есть плотность и предел текучести.
Воспользуемся подстановкой Леви

σ =σksin2θ, σ =kcos2θ, σ =σksin2θ (3)
αα αβ ββ

и перейдем к безразмерным переменным (U,V)=v (U,V), σ=2kσ, где v — характерный масштаб скорости.
* *
В результате уравнения (2) принимают вид (штрихи опущены; e=2k1ρv2 — безразмерный параметр):
*

σ θ sin2θθ   U V U 
cos2θ   1eU   V,
α α ρα β   α ρα β 
1 σ θ cos2θθ   V V V 
sin2θ   1eU   U,
ραβ α ρα β   α ρα β 
(4)
U 1 V 
  U=0,
α ρα β 
V 1 U  2ctg2θV 
  V  U=0.
α ρα β  ρα  β 

Модель плоского стационарного пластического течения материала хорошо изучена в случае e=0, когда
в уравнениях равновесия не учитывается эффект инерции. При этом система уравнений (4) распадается на
две подсистемы. Из первой подсистемы определяются напряжения, из второй (с использованием найденных
напряжений) — поле скоростей. В рассматриваемом случае e0, что приводит к необходимости решать
полную систему из четырех уравнений. Интересно отметить, что в обоих случая (e=0 и e0) система
уравнений (4) имеет два семейства вещественных характеристик, задаваемых уравнениями

dβ ctgθ tgθ
=λ ; λ = , λ = . (5)
dα 1,2 1 ρα 2 ρα

Далее будет показано, что при e0 каждой кратной характеристике (5) соответствует лишь один
собственный вектор и при θ=πn 2 скорости характеристик становятся бесконечными. В силу этого
система уравнений (4) не является гиперболической, что представляет дополнительные трудности при ее
исследовании.
Б.Д. Аннин, В.В. Остапенко, А.А. Чесноков. Эволюционная модель плоского пластического течения материала… 129
2. Аналог характеристической формы уравнений пластического течения

Система уравнений пластического течения (4) представима в виде

AU BU =G , (6)
α β 1

где U=U,V,θ,σT — вектор-столбец искомых величин, A и B — матрицы, коэффициенты которых
зависят от искомого вектора U, вектор G — правая часть. Определители матриц A и B равны sin2θ и
1
ρα4sin2θ соответственно. Вырождение матриц и обращение скоростей характеристик в
бесконечность происходит при θ=πn 2 (n — целое число). Умножение векторного уравнения (6) на
матрицу A1 (при θπn 2) приводит систему (4) к эволюционному виду

U MU =G (7)
α β

с матрицей M=M ρα (координата α играет роль времени),

 0 1 0 0 
 1 2ctg2θ 0 0 
M= eU sin2θ eV 2Uctg2θ sin2θ ctg2θ 1sin2θ,
 
eV Uctg2θ eUVctg2θ2Uctg22θ 1sin2θ ctg2θ 
 

и правой частью G=G' ρα,

 U 
 V 2Uctg2θ 
G' ctg2θ2eUV Uctg2θ sin2θ .
 
sin2θeU2V2cos2θ2eUV Uctg2θctg2θ
 

Невырожденная матрица M имеет кратные вещественные собственные значения λ и λ , задаваемые
1 2
формулой (5). Каждому собственному значению соответствует лишь один правый собственный вектор-
столбец h =0,0,1,1T и h =0,0, 1,1T. Вычислим правые присоединенные собственные векторы p ,
1 2 i
удовлетворяющие уравнениям Mp =λp h , и составим матрицу перехода R, в которой первый и третий
i i i i
столбцы — собственные векторы, второй и четвертый — присоединенные собственные векторы:

0 2ραsin2 eV Uctgθ 0 2ραcos2 eV Utgθ
 
R=0 ραsin2 eV Uctgθ 0 ραsin2 eV Utgθ .
1 0 1 0 
 
1 0 1 0 

Подставим в (7) выражение U=RV и умножим слева на матрицу R1. В результате этих
преобразований система уравнений (7) принимает вид

V JV =K, (8)
α β

 σθ  λ 1 0 0
1eVUctgθUVctgθ ρα 01 λ 0 0
где V=R1U=   — новый искомый вектор, J=R1MR= 1  —
2 eVUtgθσUθVtgθ ρα  00 00 λ02 λ12
Жорданова форма матрицы M, K =R1GR VMR V — вектор, конкретное выражение которого
α β
здесь не приводится из-за его громоздкости.
130 Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 127-133
Уравнения пластического течения (8) представляют аналог характеристической формы системы (4), но,
в отличие от классических гиперболических систем [4], имеют недиагональную матрицу J. Несмотря на
это, можно показать, что задача Коши для уравнения (8) с заданными при α=0 гладкими «начальными»
данными, для которых собственные значения (5) ограничены, локально разрешима, то есть ее непрерывное
решение существует и единственно при достаточно малых и положительных значениях . В дальнейшем
ограничимся численным моделированием и исследованием только таких непрерывных решений.

3. Разностная схема

Для численного решения задачи Коши, описывающей при α>0 пластическое течение материала на
основе эволюционной системы уравнений (7) с начальными условиями U0,β=U β, будем
0
использовать следующую разностную схему:

Un1 Un Vn Vn
rn j1/2 j1/2  j1 j Un1 =0,
j1/2  h j1/2
n
Vn1Vn Un1 Un1 Vn Vn
rn j j  j1/2 j1/2 a j1 j1 = g ,
j  h 22 2h 2
n (9)
n1 n Un1 Un1 Vn1Vn1 n n n n
rn j1/2 j1/2 a j3/2 j1/2 a j1 j a j3/2 j1/2 a j1 j = g ,
j1/2  31 2h 32 h 33 2h 34 h 3
n
n1n Un1 Un1 Vn1Vn1 n1 n1 n n
rn j j a j1/2 j1/2 a j1 j1 a j1/2 j1/2 a j1 j1 = g ,
j  41 h 42 2h 43 h 44 2h 4
n

где r=ρα, а коэффициенты a и g будут представлены ниже.
ij i
При записи схемы (9) использованы следующие сокращенные обозначения для сеточных функций:
n1
fn = f(α ,β ), fn = f α ,β , β = jh, β =j1 2h, α = τ , где h — постоянный шаг
j n j j1/2 n j1/2 j j1/2 n m
m=0
разностной сетки по переменной β0,2π, а τ — переменный шаг по эволюционной переменной α,
n
выбираемый из условия устойчивости Куранта

τ = zh maxmax| |n,| |n, (10)
n  j  1 j 2 j 

характерного для гиперболических систем [4]. В формуле (10) величины |λ |n и |λ |n — сеточные
1 j 2 j
значения модулей скоростей характеристик (5); z<1 — коэффициент запаса устойчивости (в приводимых
ниже расчетах принимается z=0,5). Разностные граничные условия задаются исходя из требования
2π-периодичности функций по переменной β.
Опишем явную реализацию схемы (9). Сначала из ее первого уравнения найдем значения Un1 ,
j1/2
которыми воспользуемся во втором уравнении для вычисления Vn1. Затем Un1 и Vn1 применим для
j j1/2 j
определения θn1 из третьего уравнения схемы (9), а затем с помощью Un1 , Vn1 и θn1 найдем σn1 из
j1/2 j1/2 j j1/2 j
ее четвертого уравнения. После этого рассчитаем элементы a матрицы M и компоненты g вектора
ik k
G', входящие в схему (9); значения a и g во втором уравнении вычислим по известным величинам
22 2
Un1 , Vn и θn ; значения a и g в третьем уравнении определим через Un1 , Vn1 и θn ; значения
j1/2 j j1/2 3k 3 j1/2 j j1/2
a и g в четвертом уравнении найдем по величинам Un1 , Vn1 и θn1 .
4k 4 j1/2 j j1/2
Построенная таким образом разностная схема (9) имеет второй порядок аппроксимации по переменной
β и первый — по эволюционной переменной α. Схема допускает явную реализацию и в линейном
приближении является устойчивой при выполнении условия Куранта (10). Она представляет собой
отдаленный аналог схемы «крест» для уравнений газовой динамики [4] и подобна разностной схеме,
которая эффективно использована для численного моделирования в рамках уравнений мелкой воды
волновых течений жидкости, вызванных полным или частичным разрушением плотины гидросооружения
[5], сходом в воду берегового оползня [6], а также поднятием в результате землетрясения прибрежного
участка дна, приводящим к возникновению волны цунами [7]. Разностную схему (9) также можно
рассматривать как обобщение численных алгоритмов, которые применялись в работах [8, 9] для
моделирования пластических течений материалов без учета влияния сил инерции.
Б.Д. Аннин, В.В. Остапенко, А.А. Чесноков. Эволюционная модель плоского пластического течения материала… 131
4. Результаты численных расчетов

Система уравнений (4) при ρρ const имеет следующее, не зависящее от переменной β решение
0

U =C ρ α, V =0, θ=π 4, σ=lnρ αeU2 2C , (11)
1 0 0 2

в котором C и C — произвольные постоянные. Решение описывает инерционное пластическое течение
1 2
материала вне круглого отверстия радиуса ρ . На этом точном решении проведем тестирование
0
предложенного в предыдущем разделе численного алгоритма. Для этого при α=0 зададим численные
начальные данные, соответствующие решению (11) с ρ 1, C =0,2 и C =0,3, и исследуем сходимость
0 1 2
получаемого по схеме (9) разностного решения U α,β  к точному решению Uα при некотором
h j
 
фиксированном α=α* >0. Если α <α* <α , то для построения разностного решения U α*,β
n n1 h j
последний, n-й, шаг схемы по эволюционной переменной выбирается по формуле τ* =α*α <τ .
n n n
   
Положим, что при h0 разностное решение U α*,β сходится к точному решению U α* с
h j
порядком s в норме , если

U = U α*,β Uα* =Chs. (12)
h h j

       
Здесь f β max f β , f β — модуль вектора f β , C — величина, не зависящая от h. Для
j j j j
j
приближенного определения порядка сходимости s проведем расчет на двух сетках (с шагами h и h 2),
после чего применим формулу Рунге

s=log U U . (13)
2 h h/2

При α* =5 и h=2π100 из соотношений (12) и (13) получим: U =5,685102, U =2,914102,
h h/2
s=0,9641. Таким образом, разностное решение сходится к точному решению с первым порядком, что
связано с первым порядком аппроксимации по эволюционной переменной α. Приведем ошибку
разностного решения в норме  по каждой компоненте вектора искомых величин: U =0,097102,
h
σ =5,684102, U =0,050102, σ =2,914102. Постоянные компоненты V и θ решения (11)
h h/2 h/2
вычисляются точно (V =θ =0), поэтому ошибка разностного решения связана с погрешностями,
h h
возникающими при вычислении компонент U и σ.
Выполним те же расчеты, но в формуле (10) заменим h на h2, что обеспечивает второй порядок
аппроксимации как по переменной α, так и по пременной β. В этом случае точность разностного решения
существенно возрастает: U =0,040103, σ =2,991103, U =0,016103, σ =0,821103, и
h h h/2 h/2
порядок сходимости становится вторым U =2,991103, U =0,821103, s=1,8652.
h h/2
Следующие численные расчеты иллюстрируют влияние эффекта инерции при пластическом течении
материала. Пусть при α=0 на круглом отверстии (ρ=1) заданы значения скоростей и параметризации
напряжений (Рис. 1):

U =cosβ, V =0,1sinβ,
(14)
σ=0,250,2sinβ, =π 40,2cosβ.

Здесь  — параметр , отвечающий за амплитуду скоростей на отверстии.
Безразмерные напряжения σ , σ и σ вычислим по формулам (3) при k =12. Для оценки влияния
αα αβ ββ
инерционных эффектов проведем численное интегрирование уравнений (7) с условиями (14) на основе
схемы (9) при e=0 (классическая модель пластического течения) и различных значениях e>0 (модель,
учитывающая влияние инерции). Расчет проведем с шагом h=π 100 до α* =5; параметр  выберем
равным 0,35 и 0,5. Предположим, что отверстие является круглым (кривизна ρ=1).
132 Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 127-133
а б

Рис. 1. Поле скоростей (а) и напряжений (б) при α=0,  =0,35

Результаты сравнения в норме  численных решений уравнений (7) при e=0 и e0 приведены в таблице.
Значения σ не приводятся, поскольку они совпадают со значениями σ в силу подстановки Леви (3).
ββ αα
Таблица. Максимальное отличие между решениями уравнений (7) при e=0 и e0 для различных значений 
U V σ σ
e αα αβ
 =0,35  =0,5  =0,35  =0,5  =0,35  =0,5  =0,35  =0,5
0,5 0,0026 0,0137 0,0106 0,0534 0,0369 0,1111 0,0101 0,0407
1,0 0,0055 0,0335 0,0227 0,1222 0,0761 0,2564 0,0217 0,0902
1,5 0,0090 0,0608 0,0367 0,2103 0,1181 0,4454 0,0351 0,1498
2,0 0,0131 0,0940 0,0521 0,3190 0,1668 0,6897 0,0467 0,2086

Качественный характер решения, полученного при e0 и e=0, совпадает (см. Рис. 2), но с ростом
параметров  и e количественные различия усиливаются. Как видно из таблицы, с увеличением
параметра инерции e и/или «начальной» амплитуды скорости  наблюдается пропорциональный рост
расхождения решений, полученных по классической (e=0) и модифицированной (e0) моделям.
Таким образом, использование модели пластического течения с учетом эффекта инерции необходимо
в случаях достаточно больших значений амплитуд скоростей в окрестности отверстия и значений
параметра инерции (материал с высокой плотностью и низким пределом текучести).

а б

Рис. 2. Поле скоростей (а) и напряжений (б) в пластическом течении вне круга при α=5,  =0,35; сплошные
линии соответствуют e=2, пунктирные – e=0

Проведем аналогичный расчет распространения пластического состояния от границы эллипса
с полуосями a и b, что соответствует следующему выбору опорной функции:
Fβ= a2sin2βb2cos2β. При этом входящий в расчетные формулы (9) радиус кривизны границы L
имеет вид : ρβ=2 2a2b2 a2b2b2a2cos2β3/2.
Выполненные численные эксперименты свидетельствуют, что отклонение формы выпуклого отверстия
от круга (при одних и тех же граничных условиях для скоростей и напряжений) может привести как
к усилению, так и к ослаблению влияния эффекта инерции. На рисунке 3 показаны результаты расчета,
соответствующие пластическому течению вне эллипса с полуосями a=1,5 и b=0,5 при заданных
граничных условиях (14) с  =0,35. Как и в предыдущем примере, использовался шаг h=π 100, и расчет
проводился до значения α* =5. Сравнение графиков на рисунках 2 и 3 позволяет сделать вывод, что
изменение формы отверстия оказывает заметное влияние на основные параметры пластического течения.