Международная Жаутыковская олимпиада. Математика, 2005-2018

26 Pages·2018·2.019 MB·Russian

by  Коллектив

Международная
Жаутыковская олимпиада.
Математика.
2 I олимпиада, 2005
Первый день, старшеклассники
1. Докажите, что уравнение
𝑥5 +31 = 𝑦2
не имеет решения в целых числах.
2. Дано действительное число 𝑟 такое, что для некоторой последова-
тельности {𝑎 } положительных действительных чисел неравенство
𝑛
𝑎 +𝑎 +···+𝑎 ≤ 𝑟𝑎
1 2 𝑚+1 𝑚
выполняется для всех натуральных чисел 𝑚. Докажите, что 𝑟 ≥ 4.
3. Пусть 𝑆𝐴𝐵𝐶 – правильная треугольная пирамида, т.е. 𝑆𝐴 =
𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 и 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Найдите геометрическое место точек
𝐷 (𝐷 ̸= 𝑆) пространства, удовлетворяющих уравнению
|cos𝛿 −2cos𝛿 −2cos𝛿 | = 3,
𝐴 𝐵 𝐶
где угол 𝛿 = ∠𝑋𝑆𝐷 для каждого 𝑋 ∈ {𝐴,𝐵,𝐶}.
𝑋
Второй день, старшеклассники
4. Точка 𝑋 внутри выпуклого четырехугольника называется на-
блюдаемой из стороны 𝑌𝑍 этого четырехугольника, если основание
перпендикуляра из 𝑋 на прямую 𝑌𝑍 принадлежит замкнутому от-
резку [𝑌𝑍]. Точка внутри выпуклого четырехугольника называется
𝑘-точкой,еслионанаблюдаемавточностииз𝑘 сторончетырехуголь-
ника (например, каждая точка внутри квадрата является 4-точкой).
Докажите, что если внутри выпуклого четырехугольника существу-
ет 1-точка, то там существует и 𝑘-точка для каждого 𝑘 ∈ {2,3,4}.
5. Для любых положительных действительных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 дока-
жите неравенство
𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 4
+ + + ≥ .
𝑎+2𝑏 𝑏+2𝑐 𝑐+2𝑑 𝑑+2𝑎 3
6. Найдите все простые числа 𝑝, 𝑞, не превосходящие 2005 и такие,
что 𝑝2 +8 делится на 𝑞, а 𝑞2 +8 делится на 𝑝.
I олимпиада, 2005 3
Первый день, юниоры
7.Впрямоугольнойтаблице9×9(см.рис)от-
мечены 40 клеток. Горизонтальный или вер-
тикальный ряд из 9 клеток называется хоро-
шим, если в нем отмеченных клеток больше,
чем не отмеченных. Какое наибольшее сум-
марное количество хороших (горизонталь-
ных и вертикальных) рядов может иметь
данная таблица?
8. Даны целые числа 𝑚, 𝑛 такие, что 0 ≤ 𝑚 ≤ 2𝑛. Докажите, что
число 22𝑛+2 +2𝑚+2 +1 является полным квадратом тогда и только
тогда, когда 𝑚 = 𝑛.
9. На плоскости дано множество 𝐴 из 2𝑛 точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Докажите, что для любых двух
различных точек𝑎,𝑏 ∈ 𝐴 существует прямая,разбивающая 𝐴 на два
подмножества по 𝑛 элементов и такая, что 𝑎 и 𝑏 лежат по разные
стороны от этой прямой.
Второй день, юниоры
10. Для любых положительных действительных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐 дока-
жите неравенство
𝑐 𝑎 𝑏
+ + ≥ 1.
𝑎+2𝑏 𝑏+2𝑐 𝑐+2𝑎
11.Вписаннаяокружностьтреугольника𝐴𝐵𝐶 касаетсястороны𝐴𝐵
в точке 𝐷,а точка 𝑀 – середина этой стороны. Докажите,что точка
𝑀, центр вписанной окружности и середина отрезка 𝐶𝐷 лежат на
одной прямой.
12. Найдите все простые числа 𝑝, 𝑞, не превосходящие 2005 и такие,
что 𝑝2 +4 делится на 𝑞, а 𝑞2 +4 делится на 𝑝.
4 II олимпиада, 2006
Первый день
1. Найдите все натуральные числа 𝑛 такие, что 𝑛 = 𝜙(𝑛)+402, где
𝜙(𝑛)–функцияЭйлера(известно,чтоесли𝑝 ,...,𝑝 –всеразличные
1 𝑘
простые делители натурального числа 𝑛, то
(︂ )︂ (︂ )︂
1 1
𝜙(𝑛) = 𝑛 1− ... 1− ;
𝑝 𝑝
1 𝑘
кроме того, 𝜙(1) = 1).
2. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 взяты точки 𝐾 и 𝐿
соответственно, так, что 𝐵𝐾 = 𝐶𝐿. Пусть 𝑃 – точка пересечения
отрезков 𝐵𝐿 и 𝐶𝐾, а 𝑀 – точка внутри отрезка 𝐴𝐶 такая, что
прямая 𝑀𝑃 параллельна биссектрисе угла ∠𝐵𝐴𝐶. Докажите, что
𝐶𝑀 = 𝐴𝐵.
3. Прямоугольную таблицу 𝑚 × 𝑛 (4 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛) назовем хорошей,
если в каждую ее клетку можно вписать число 0 или 1 так, чтобы
одновременно выполнялись условия:
1) не все вписанные числа равны 0 и не все равны 1;
2) число единиц во всех квадратах 3×3 одно и то же;
3) число единиц во всех квадратах 4×4 одно и то же.
Найдите все пары натуральных чисел (𝑚,𝑛) (4 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛), для
которых существует хорошая таблица 𝑚×𝑛.
Второй день
4. Имеется куча из 100 камней. Разбиение этой кучи на 𝑘 новых куч
назовем особым,если,во-первых,количества камней в разных кучах
разные, и, во-вторых, при любом дальнейшем разбиении любой из
этих куч на две новые среди новых 𝑘+1 куч полученного разбиения
найдутсядвекучисодинаковымчисломкамней(любаякучасостоит,
по крайней мере, из одного камня).
а) Найдите наибольшее число 𝑘, при котором для данной кучи из
100 камней существует особое разбиение на 𝑘 куч.
II олимпиада, 2006 5
б) Найдите наименьшее число 𝐾, при котором существует особое
разбиение данной кучи на 𝑘 куч.
5. Докажите, что если сумма действительных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 равна
нулю, то для них выполняется неравенство
(𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑐+𝑏𝑑+𝑐𝑑)2 ≥ 6(𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏𝑑+𝑎𝑐𝑑+𝑏𝑐𝑑).
6. Про выпуклый шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 известно, что 𝐴𝐷 =
𝐵𝐶 +𝐸𝐹, 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 +𝐶𝐷, 𝐶𝐹 = 𝐷𝐸 +𝐴𝐵. Докажите, что 𝐴𝐵 =
𝐷𝐸
𝐶𝐷 = 𝐸𝐹.
𝐴𝐹 𝐵𝐶
6 III олимпиада, 2007
Первый день
1. Имеется 111 монет. Требуется разложить эти монеты по клеткам
квадратной доски 𝑛×𝑛 так, чтобы количества монет в любых двух
соседних по стороне клетках отличались ровно на 1 (в клетках мо-
жет быть по нескольку монет или не быть их вообще). При каком
максимальном 𝑛 это возможно?
2. Внутри выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑀
так, что ∠𝑀𝐵𝐶 = ∠𝑀𝐷𝐶, ∠𝑀𝐵𝐴 = ∠𝑀𝐶𝐷. Докажите, что угол
∠𝐴𝐷𝐶 равен одному из углов ∠𝐵𝑀𝐶 или ∠𝐴𝑀𝐵, если известно,
что ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐶.
3. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел
𝑛, для которых число 2𝑛 +3𝑛 делится на 𝑛2.
Второй день
4. Существует ли функция 𝑓 : R → R, где R – множество действи-
тельных чисел, такая, что для любых действительных чисел 𝑥, 𝑦
выполняется равенство:
𝑓(𝑥+𝑓(𝑦)) = 𝑓(𝑥)+sin𝑦?
5. Множество всех положительных действительных чисел разбито
на 3 непустых попарно непересекающихся множества.
a) Докажите, что можно выбрать 3 числа, по одному из каждого
множества, которые служат длинами сторон некоторого треуголь-
ника.
b) Всегда ли можно выбрать числа (по одному из каждого мно-
жества) так, чтобы они являлись длинами сторон прямоугольного
треугольника?
6.Провыпуклыйшестиугольник𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 известно,чтодиагонали
𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в одной точке 𝑀. Кроме того, треуголь-
ники 𝐴𝐵𝑀, 𝐵𝐶𝑀, 𝐶𝐷𝑀, 𝐷𝐸𝑀, 𝐸𝐹𝑀 и 𝐹𝐴𝑀 – остроугольные, а
III олимпиада, 2007 7
центры описанных окружностей этих треугольников лежат на од-
ной окружности. Докажите, что четырехугольники 𝐴𝐵𝐷𝐸, 𝐵𝐶𝐸𝐹
и 𝐶𝐷𝐹𝐴 имеют равные площади.
8 IV олимпиада, 2008
Первый день
1. Точки 𝐾,𝐿,𝑀,𝑁 – соответственно середины сторон 𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,
𝐷𝐴 выпуклого четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷. Прямая 𝐾𝑀 пересекает
диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Прямая 𝐿𝑁
пересекает диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 в точках 𝑅 и 𝑆 соответственно.
Докажите, что если 𝐴𝑃 ·𝑃𝐶 = 𝐵𝑄·𝑄𝐷, то 𝐴𝑅·𝑅𝐶 = 𝐵𝑆 ·𝑆𝐷.
2. Назовем многочлен 𝑃(𝑥) с целыми коэффициентами хорошим,
если его можно представить в виде суммы кубов нескольких мно-
гочленов (от переменной 𝑥) с целыми коэффициентами. Например,
многочлены 𝑥3−1 и 9𝑥3−3𝑥2+3𝑥+7 = (𝑥−1)3+(2𝑥)3+23 являются
хорошими.
a) Является ли многочлен 𝑃(𝑥) = 3𝑥+3𝑥7 хорошим?
b) Является ли многочлен 𝑃(𝑥) = 3𝑥+3𝑥7 +3𝑥2008 хорошим?
Обоснуйте ваши ответы.
3. Положим 𝐴 = {(𝑎 ,...,𝑎 )|𝑎 ∈ N,1 ≤ 𝑎 ≤ 𝑖 + 1} для всех 𝑖 =
1 8 𝑖 𝑖
1,...,8}. Назовем подмножество 𝑋 ⊂ 𝐴 разреженным, если для
любых двух различных элементов (𝑎 ,...,𝑎 ),(𝑏 ,...,𝑏 ) ∈ 𝑋 суще-
1 8 1 8
ствуют хотя бы три индекса 𝑖 таких, что 𝑎 ̸= 𝑏 .
𝑖 𝑖
Найдите наибольшее возможное количество элементов в разрежен-
ном подмножестве множества 𝐴.
Второй день
4. Для всякого натурального 𝑛 обозначим через 𝑆(𝑛) сумму цифр в
десятичной записи числа 𝑛.
Найдите все натуральные 𝑛 такие, что 𝑛 = 2𝑆(𝑛)3 +8.
5.Непересекающиесяокружности𝜔 и𝜔 сцентрами𝑂 и𝑂 касают-
1 2 1 2
ся прямой ℓ в точках 𝐴 и 𝐴 соответственно (окружности лежат по
1 2
одну сторону от ℓ). Точка 𝐾 – середина отрезка 𝐴 𝐴 . На окружно-
1 2
стях 𝜔 и 𝜔 выбраны точки 𝐵 и 𝐵 соответственно так,что прямые
1 2 1 2
𝐾𝐵 и 𝐾𝐵 касаются 𝜔 и 𝜔 соответственно (точка 𝐵 отлична от
1 2 1 2 1
𝐴 , а точка 𝐵 отлична от 𝐴 ). Прямые 𝐴 𝐵 и 𝐴 𝐵 пересекаются
1 2 2 1 1 2 2
IV олимпиада, 2008 9
в точке 𝐿, а прямые 𝐾𝐿 и 𝑂 𝑂 – в точке 𝑃.
1 2
Докажите, что точки 𝐵 , 𝐵 , 𝑃 и 𝐿 лежат на одной окружности.
1 2
6. Докажите, что для любых положительных действительных чисел
𝑎, 𝑏, 𝑐 таких, что 𝑎𝑏𝑐 = 1, выполнено неравенство
1 1 1 3
+ + ≥ .
(𝑎+𝑏)𝑏 (𝑏+𝑐)𝑐 (𝑐+𝑎)𝑎 2
10 V олимпиада, 2009
Первый день
1.Найдитевсетакиепарыцелыхчисел(𝑥,𝑦),что𝑥2−2009𝑦+2𝑦2 = 0.
2. Найдите все действительные 𝑎, для которых существует функция
𝑓 : R → R, удовлетворяющая неравенству
𝑥+𝑎𝑓(𝑦) ≤ 𝑦 +𝑓(𝑓(𝑥))
для всех 𝑥 ∈ R. (Здесь R – множество всех действительных чисел.)
3. Для выпуклого шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 площади 𝑆 докажите
неравенство
𝐴𝐶(𝐵𝐷+𝐵𝐹 −𝐷𝐹)+𝐶𝐸(𝐵𝐷+𝐷𝐹 −𝐵𝐹)+
√
+𝐴𝐸(𝐵𝐹 +𝐷𝐹 −𝐵𝐷) ≥ 2 3𝑆.
Второй день
4. На плоскости выбрана декартова система координат. Точки 𝐴 ,
1
𝐴 , 𝐴 , 𝐴 лежат на параболе 𝑦 = 𝑥2, а точки 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 ле-
2 3 4 1 2 3 4
жат на параболе 𝑦 = 2009𝑥2. Точки 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 лежат на одной
1 2 3 4
окружности,и точки 𝐴 и 𝐵 имеют одинаковые абсциссыпри любом
𝑖 𝑖
𝑖 = 1,2,3,4.
Докажите, что 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 , 𝐵 также лежат на одной окружности.
1 2 3 4
5. Дан четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, в котором ∠𝐵 = ∠𝐷 = 90∘. На
отрезке𝐴𝐵 выбранатакаяточка𝑀,что𝐴𝐷 = 𝐴𝑀. Лучи 𝐷𝑀 и 𝐶𝐵
пересекаютсявточке𝑁. Точки 𝐻 и 𝐾 –основанияперпендикуляров,
опущенных из точек 𝐷 и 𝐶 на прямые 𝐴𝐶 и 𝐴𝑁, соответственно.
Докажите, что ∠𝑀𝐻𝑁 = ∠𝑀𝐶𝐾.
6. В клетчатом квадрате 17×17 𝑛 клеток окрашены в черный цвет.
Назовем линией любой столбец, любую строку и любую из двух диа-
гоналей квадрата. За один шаг, если в некоторой линии есть хотя
бы 6 черных клеток, можно окрасить все ее клетки в черный цвет.
Найдите наименьшее такое 𝑛, что при некотором расположении ис-
ходных 𝑛 черных клеток можно за несколько шагов окрасить все
клетки квадрата.